1.4.2 充要条件(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.4.2　充要条件 学业标准 素养目标 1.理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题．(重点) 3．能对充要条件进行证明．(难点) 1.借助充要条件的判定与证明，提升逻辑推理等核心素养． 2．通过充要条件的应用，培养数学运算等核心素养. 导学 充要条件 若p：x∈A是q：x∈B的充分条件，则A是B的真子集吗？ [提示]　不一定，A⊆B.充分条件包括充分必要条件和充分不必要条件． 若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？ [提示]　A＝B. 如何证明“p是q的充要条件”？ [提示]　证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题． ◎结论形成 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　　) (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　) (4)两个三角形相似的充要条件是两个三角形对应边成比例．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当x＝0时，显然(2x－1)x＝0； 当(2x－1)x＝0时，x＝0或x＝， 所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件． 答案　B 3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　对于“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的． 答案　C 4．“ac＝bc”是“a＝b”的________条件． 解析　若ac＝bc，当c＝0时不一定有a＝b； 反之若a＝b，则有ac＝bc成立． 故ac＝bc是a＝b的必要不充分条件． 答案　必要不充分 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab≥0. [解析]　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)当|ab|＝ab时，有ab≥0，即p⇒q. 而当ab≥0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断．一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　 [触类旁通] 1．下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解析　(1)∵四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝； x－1＝⇒x＝1或x＝2， ∴p是q的充要条件． (3)∵m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0m＞0，∴p是q的充分不必要条件． 求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. [证明]　充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程有一个负根，符合题意； 当a＜0时，Δ＝4－4a＞0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且＜0，方程有一正一负两根，符合题意； 当0＜a≤1时，Δ＝4－4a≥0， 方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且 故方程有两个负根，符合题意， 综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根， 当a＝0时，方程为2x＋1＝0，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负两根或两个负根． 则＜0或 解得a＜0或0＜a≤1. 综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则a≤1. 故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．　 [触类旁通] 2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)因为ac<0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， 所以方程一定有两不等实根． 设两根为x1，x2，则x1x2＝<0， 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解析]　设A＝{x|x＜－2或x＞3}， B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8， 即实数m的取值范围为{m|m≥8}． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解．　 [触类旁通] 3．设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析　设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知AB， ∴或解得0≤a≤， 故所求实数a的取值范围是. 知识落实 技法强化 1.充要条件概念的理解． 2．充要条件的证明． 3．充分条件、必要条件、充要条件的应用. 在判断中条件和结论易辨别不清. 学科网（北京）股份有限公司 $$