1.4.1 充分条件与必要条件(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 学业标准 素养目标 1.理解充分条件、必要条件的概念． 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) 1.通过必要条件与充分条件的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助充分条件与必要条件的应用，提升数学运算等核心素养. 导学 充分条件与必要条件 观察命题： (1)若整数a是素数，则a是奇数； (2)若两个三角形全等，则它们的面积相等． 上述命题的形式是怎样的？ [提示]　“若……，则……”的形式． 在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ [提示]　条件是两个三角形全等，结论是两个三角形面积相等． 必要条件与命题“若p，则q”的真假性有什么关系？ [提示]　当命题“若p，则q”为真命题时，q是p的必要条件． 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ [提示]　不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． 如何理解充分条件必要条件中的“充分”和“必要”？ [提示]　“充分”即条件充分，有充足的理由；“必要”即必须要有，缺之不可． ◎结论形成 命题 真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q pq 条件 关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 定理 关系 判定定理给出了结论成立的充分条件； 性质定理给出了结论成立的必要条件 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．(　　) (2)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．(　　) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　) (4)若a∈R，则“|a|＝1”是“a＝1”的充分条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(2021·天津卷)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立； 若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立， 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件， 故选A. 答案　A 3．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件． 答案　充分 4．若p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 答案　必要 (1)下列各题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． (2)“a＞2，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件． [解析]　(1)①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m＜－2，∴12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． (2)由a＞2，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4， ∴是充分条件． [答案]　(1)③　(2)充分 1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． 2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．　 [触类旁通] 1．下列命题中p是q的充分条件吗？ (1)在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB； (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 解析　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B＞∠C⇒AC＞AB，所以p是q的充分条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． 在以下各题中，分析p与q的关系． (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． [解析]　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．也可利用集合的关系判断，已知条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．　 [触类旁通] 2．分析下列各题中p与q的关系． (1)p：α为锐角，q：α＝45°； (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0. 解析　(1)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解析]　p：3a<x<a， 即集合A＝{x|3a<x<a，a＜0}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是. [母题变式] 1．(变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解析　p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a，a＞0}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以⇒a∈∅. 2．(变条件)将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析　p：3a<x<a，其中a<0， 即集合A＝{x|3a<x<a，a＜0}． q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－1≤a<0. 所以a的取值范围是{a|－1≤a<0}． [素养聚焦] 通过充分条件与必要条件的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中. 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　 [触类旁通] 3．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析　因为A是B的充分不必要条件，所以AB，又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}． 因此a＋2≤－1或a≥3， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}． 知识落实 技法强化 1.充分条件、必要条件的概念． 2．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 3．充分条件、必要条件的判断． 4．充分条件与必要条件的应用. 1.充分条件、必要条件不唯一． 2．求参数范围注意能否取到端点值. 学科网（北京）股份有限公司 $$