1.3.2 补集及综合应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　补集及综合应用 导学 全集与补集 方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？ [提示]　方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集为{2，，－}，数学学科中很多问题都是在某一范围内进行研究．如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的．类似这些给定的集合就是全集． 若集合U＝{x|x是高一一班同学}，A＝{x|x是高一一班参加足球队的同学}，B＝{x|x是高一一班没有参加足球队的同学}，则集合U，A，B有何关系？ [提示]　U＝A∪B，集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合． ◎结论形成 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题的全集一定是R.(　　) (2)集合∁BC与∁AC相等．(　　) (3)A∩∁UA＝∅.(　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝(　　) A．∅　　　　　　 B． {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5} 解析　因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}， 所以根据补集的定义得∁UA＝{2,4,5}，故选C. 答案　C 3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________. 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}， ∴∁UA＝{x|0＜x＜1}． 答案　{x|0＜x＜1} 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________． 解析　先求出∁UA＝{x|x<0}， ∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}． ∴∁UA⊆∁UB. 答案　∁UA⊆∁UB (1)(2022·北京卷)已知全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，则∁UA＝(　　) A．(－2,1]　　　　 B．(－3，－2)∪[1,3) C．[－2,1) D．(－3，－2]∪(1,3) (2)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2，或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________. [解析]　(1)易得∁UA＝(－3，－2]∪(1,3)． (2)解法一　在集合U中，∵x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 解法二　可用Venn图表示． 则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． [答案]　(1)D　(2){－5，－4,3,4}　{－5，－4，5} 1．解答本题，依据A∪(∁UA)＝U，求全集U是关键环节． 2．求补集运算， 一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．　 [触类旁通] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1，或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3，或x≥1}，求∁RA，∁RB. 解析　借助数轴，由图可知： ∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}． 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. [解析]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． ∵∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 1．解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 2．解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，可先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．　 [触类旁通] 2．(1)(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝，N＝，则＝(　　) A．∁U B．N∪∁UM C．∁U D．M∪∁UN 解析　(1)由题设，易知M＝{2,4,5}，对比选项，选择A. (2)由题意可得M∪N＝， 则∁U＝，选项A正确； ∁UM＝，则N∪∁UM＝，选项B错误； M∩N＝，则∁U＝，或，选项C错误； ∁UN＝，或，则M∪∁UN＝，或，选项D错误； 故选A. 答案　(1)A　(2)A 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解析]　解法一(直接法) 由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 解法二(集合间的关系) 由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}， A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． [母题变式] 1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析　由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B， 所以－m≥4，解得m≤－4， 即m的取值范围是{m|m≤－4}． 2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析　由已知A＝{x|x≥－m}， ∁UB＝{x|x≤－2，或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2， 即m的取值范围为{m|m≥2}． [素养聚焦] 通过与补集有关的运算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中. 解答本题的关键是利用补集的含义，借助数轴转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区间端点的问题．　 [触类旁通] 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x>a}，且∁UA⊆B，求实数a的取值范围． 解析　∵A＝{x|x<1}，U＝R， ∴∁UA＝{x|x≥1}， ∵∁UA⊆B，如图所示， ∴a<1. ∴实数a的取值范围为{a|a<1}． 知识落实 技法强化 1.全集与补集及性质． 2.交、并、补集的综合运算． 3.利用集合间的关系求参. 自然数集容易遗漏0这一重要元素，解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况. 学科网（北京）股份有限公司 $$