1.2 集合间的基本关系(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　集合间的基本关系 学业标准 素养目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念．(重点) 2．能用符号和Venn图表达集合间的关系．(难点) 3．掌握列举有限集的所有子集的方法．(难点) 1.通过集合的基本关系的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助Venn图表示集合的关系，形成逻辑推理、直观想象等核心素养. 导学1 子集与真子集 生物学中，动物分为脊椎动物和无脊椎动物．脊椎动物又分为鱼类、爬行类、鸟类、两栖类、哺乳类五大类．把所有哺乳类动物组成一个集合A，所有脊椎动物组成一个集合B.集合A中元素与集合B有关系吗？集合A与集合B有什么关系？ [提示]　A中元素与集合B有关系，A中每一个元素都属于B.此时集合B包含集合A，即集合A是集合B的子集． 怎样理解集合间的包含关系？ [提示]　(1)“A⊆B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 给出集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．集合A与集合B有什么关系？集合B中的元素与集合A有什么关系？ [提示]　A⊆B.集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中． ◎结论形成 1．子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子 集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或B A) 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 导学2 集合相等 两个集合：A＝{x|x是三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．A是B的子集吗？B是A的子集吗？两集合相等吗？ [提示]　A是B的子集且B是A的子集，两集合相等． 怎样认识两集合相等？ [提示]　集合相等的三个关注点： (1)如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B.这是证明两个集合相等的重要依据． (2)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等． (3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在． ◎结论形成 1．条件：A⊆B，且B⊆A. 2．表示：A＝B. 导学3 空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“∈”“⊆”的意义是一样的．(　　) (2)集合{0}是空集．(　　) (3)空集是任何集合的真子集．(　　) (4)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．集合{1}的子集有(　　) A．4个　　 B．3个　　　 C．2个　　 D．1个 解析　集合{1}的子集有∅，{1}共2个． 答案　C 3．下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中． 答案　C 4．若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，则a＋b＝________. 解析　∵A＝B，∴集合A，B中的元素相同， 故a＝3，b＝1，则a＋b＝4. 答案　4 (1)(多选)下列关系正确的为(　　) A．0∈{0}　　　　　　 B．{0,1}＝{(0,1)} C．∅{0} D．{(a，b)}＝{(b，a)} (2)指出下列各组集合之间的关系． ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． (1)[解析]　A正确，0是集合{0}的元素；B错误，集合{0,1}含有两个元素0,1；{(0,1)}含有一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；C正确，∅是任何非空集合的真子集；D错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选A、C. [答案]　AC (2)[解析]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③解法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 解法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM. 判断集合间关系的方法 (1)定义法 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B.若是，则A⊆B；否则，A不是B的子集． 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A.若是，则B⊆A；否则，B不是A的子集． 若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. (2)数形结合法 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．　 [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P　　　　　　　 B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 解析　因为集合M为函数y2＝2x中x的取值集合，为数集，而P为曲线y2＝2x上的点的集合，为点集，因此，M与P互不包含． 答案　D (1)若集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}，则A的真子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． [解析]　(1)因为集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}， 所以集合A＝{0,1}， 所以A的真子集个数为：22－1＝3，故选C. (2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2，4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案]　(1)C　(2)7 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． (5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．　 [触类旁通] 2．(1)集合M＝{x∈N|－2＜x≤3}的真子集个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 (2)写出集合{a，b，c}的所有子集． (1)解析　集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15. 答案　C (2)解析　此集合一个元素也没有的子集为∅； 含有一个元素的子集为：{a}，{b}，{c}； 含有两个元素的子集为：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 含有三个元素的子集为：{a，b，c}， 因此，此集合的子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，一共有8个子集． (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．1 C. D．－1 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围． (1)[解析]　A⊆B，则2a－2＝0，a＝1，A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意，选B. [答案]　B (2)[解析]　∵A⊆B， ∴解得 故3≤m≤4. ∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}． [母题变式] (变条件)若将本例(2)中的“A⊆B”改为“B⊆A”，求实数m的取值范围． 解析　当B＝∅时，m－6>2m－1， 即m<－5； 当B≠∅时， 解得即m∈∅. 故实数m的取值范围是{m|m<－5}． 1．利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示． 2．涉及“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．　 [触类旁通] 3．设集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|a－1≤x≤2a＋1}，已知B⊆A，求实数a的取值范围． 解析　当B＝∅时，a－1＞2a＋1，解得a＜－2；当B≠∅时， 解得4＜a＜. 综上所述，a的取值范围为aa＜－2，或4＜a＜. 知识落实 技法强化 1.子集、真子集的概念与性质． 2.子集的个数． 3.由集合间的关系求参数. 1.在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位； 2.求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$