1.1.1 集合的概念(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　集合的概念 学业标准 素养目标 1.通过实例了解集合的含义，掌握集合中元素的三个特性． 2．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集符号表示．(重点) 3．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 1.通过集合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据元素与集合的关系及集合表示的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　集合的概念 导学1 元素与集合的概念 高一(2)班的全体男同学能构成一个集合吗？高一(2)班的全体高个子同学能构成一个集合吗？ [提示]　构成集合的元素应是确定的，不能含糊不清，全体男同学是确定的，能构成一个集合；而“高个子”标准不明确，故全体高个子同学不能构成一个集合． 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？ [提示]　2个，集合中的元素不能重复． ◎结论形成 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称为集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素具有确定性，互异性，无序性． 导学2 元素与集合的关系 如果教官喊“一班的同学集合”，你会立即去集合吗？ [提示]　如果属于一班就会立即去集合；如果不属于一班，就不去集合． ◎结论形成 1．属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 导学3 常见的数集及表示符号 数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．(　　) (2)参加杭州亚运会闭幕式的全体人员是一个集合．(　　) (3)由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是同一个集合．(　　) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列元素与集合的关系判断正确的是(　　) A．0∈N　　　　　　 B．π∈Q C.∈Q D．－1∉Z 答案　A 3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________. 解析　由题意可知a＋1＝4，即a＝3. 答案　3 4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素． 答案　2 (多选)考查下列每组对象，能构成集合的是(　　) A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．我省参加高考的学生 [解析]　A中“美丽的”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD. [答案]　BCD 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．　 [触类旁通] 1．(多选)考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　) A．不超过20的非负整数 B．方程x2－9＝0在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D.的近似值的全体 解析　对于A，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； 对于B，方程的两个解是x＝±3，能构成集合； 对于C，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； 对于D，“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合． 答案　AB (1)(多选)下列选项正确的是(　　) A.∈R　　　　　　 B．∉Q C．|－3|∈N D．|－|∈Q (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，A、B、C正确，D错误． (2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N， 若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求； 若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求； 若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. [答案]　(1)ABC　(2)C 判断元素与集合间关系的方法 判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．　 [触类旁通] 2．下列结论不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R 解析　A中，当a＝0时，显然不成立． 答案　A 题型三　元素特性的应用(一题多变) 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． [解析]　由题意，可知a＝1或a2＝a. (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. [母题变式] 1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1. 2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． 解析　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素， 所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. [素养聚焦] 通过利用元素互异性问题引起的计算、讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 　 [触类旁通] 3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解析　 ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意， 综上所述，a＝0或a＝－1. 知识落实 技法强化 1.集合的含义． 2.元素的特性及与集合的关系． 3.常用数集及其表示. 对于含参数的问题，应分类讨论，并且利用元素的特性检验所求结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$