专题02圆中常见辅助线的四种添加方法-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题02圆中常见辅助线的四种添加方法 题型01遇直径时构造90°的圆周角 【典例分析】 【例1】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，为的直径，交于E点，交于D点，且D为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，点C、D、E、F、G在以为直径的上，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1-3】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 题型02连半径构造等腰三角形 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点，，在上，C为的中点．若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【例2-2】（22-23九年级·山东临沂·期末）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【例2-3】（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：在中，． (1)求作：的外接圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)若的外接圆的圆心到边边的距离为，且，则边上的高为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 题型03作垂径 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（     ） A．25 B．8 C．5 D．13 【例3-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【例3-3】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，则圆O 的半径为（   ） A． B． C．5 D．6 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求与的长． 【变式3-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 题型04构造弦 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的切线，A、B为切点，点C、D在上．若则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知经过四边形的B、D两点，并与四条边分别交于点，且． (1)如图①，连接，若是的直径，求证：； (2)如图②，若的度数为，请直接写出和β之间的数量关系． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02圆中常见辅助线的四种添加方法 题型01遇直径时构造90°的圆周角 【典例分析】 【例1】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，为的直径，交于E点，交于D点，且D为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意连接，可得，再证，可得是等腰三角形，是等腰三角形，继而得到本题答案． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质，圆周角定理，内角和定理 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，点C、D、E、F、G在以为直径的上，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得到，则，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， 【变式1-3】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）65° 【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB＝90°，得到AD⊥BC，即可得解； （2）连接OE，OD，得到∠DOE＝50°，得到∠DAC＝∠DOE＝25°，即可得解； 【详解】（1）证明：连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC； （2）解：连接OE，OD． ∵的度数＝50°， ∴∠DOE＝50°， ∴∠DAC＝∠DOE＝25°， ∵AD⊥BC， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键． 题型02连半径构造等腰三角形 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点，，在上，C为的中点．若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系． 连接，由，得，又为的中点．故，即知． 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， 故选：B 【例2-2】（22-23九年级·山东临沂·期末）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． （1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵ ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵是半径 ∴为的切线 【例2-3】（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连接，作于点G，则，从而得到，，由勾股定理可求出，从而得到，再由，可求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线．    （2）解：连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答； 【详解】∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， ， 过点作， 则， ， ， 连接，过点作， 则， ， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）已知：在中，． (1)求作：的外接圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)若的外接圆的圆心到边边的距离为，且，则边上的高为 ． 【答案】(1)画图见解析(2) 【分析】本题考查作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）作的角平分线，线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可． （2）连接，勾股定理解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）连接． 在中， ，则， ， ， ， 故答案为 【变式2-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为 题型03作垂径 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（     ） A．25 B．8 C．5 D．13 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理，得到的长度，在中，应用勾股定理，求出的长度，即可求解， 本题考查了，垂径定理，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：连接， ∵的直径为26， ∴，， ∵，弦的长为24， ∴， 在中，， ∴， 故选：B 【例3-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 【例3-3】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用等腰三角形性质得到，利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和定理求得，即可解题． （2）根据垂径定理得到，利用30度所对直角边等于斜边的一半得到，利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ，， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：是的直径，且于点M，   ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形性质、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、30度所对直角边等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，则圆O 的半径为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】如图，作辅助线，设的半径为，运用勾股定理列出，求出即可解决问题；该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【详解】如图，连接. 设的半径为，则 弦, ； 由勾股定理得：, 解得： 故选：A． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求与的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）连，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）过点O作于F，根据勾股定理求出，由垂径定理可得，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于F，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，垂径定理，等边对等角等等，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键 【变式3-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明； （2）过点O作于G，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，， ∵，， ∴，， ∵与相切于M， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； （2）解：过点O作于G，连接， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 题型04构造弦 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的切线，A、B为切点，点C、D在上．若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆相切的性质，圆的内接四边形性质，属于基础题．结合直线与圆相切的性质即可求解． 【详解】解：连接， 是的切线，， ， ， ． 故选：D 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，、分别与相切于、两点，，点是劣弧上异于点、的一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取点，连接，，，，由切线的性质求得，由多边形内角和定理求得，在根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求得答案．熟练掌握相关定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接，，，， ∵、切于点、， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理可得：， ∴， 故选：D 【变式4-2】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知经过四边形的B、D两点，并与四条边分别交于点，且． (1)如图①，连接，若是的直径，求证：； (2)如图②，若的度数为，请直接写出和β之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据等角的余角相等证明即可． （2）利用三角形内角和定理，圆内接四边形对角互补的性质，圆周角定理解决问题即可． 【详解】（1）连接，如图①： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）结论：；理由如下： 如图②中，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦直径的关系，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】 （1）根据圆内接四边形，角平分线以及等腰三角形的性质，得出，证明，进而根据，即可得出结论； （2）连接交于点，先证明四边形是矩形，得出，垂径定理可得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）与相切，理由如下， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形内接于，则， 又， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又是的半径 ∴与相切， （2）解：如图所示，连接交于点， ∵是的直径， ∴， 又是的切线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴，则， 在中， 即直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 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