第19讲 圆与方程章末复习与测试（三大题型归纳+测试卷）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第19讲 圆与方程章末复习与测试 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求圆的方程 3 题型02 直线与圆、圆与圆的位置关系 6 题型03 轨迹问题 9 单元测试 14 一、求圆的方程 1．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 2.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)当两圆相切时，切点与两圆圆心共线 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径的和、差的绝对值的大小关系来判断两圆的位置关系． 3．直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养 三、轨迹问题 1．求与圆有关的轨迹问题的四种方法 2．通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养 题型01求圆的方程 【解题策略】 　求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答． 过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) 【典例分析】 【例1】求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 题型02 直线与圆、圆与圆的位置关系 【解题策略】 (1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程． (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题　 【典例分析】 【例2】已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【变式2】（23-24高二上·安徽·期中）圆与圆的位置关系为 ． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型03 轨迹问题 【解题策略】 (1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等． (2)求轨迹方程的步骤：①建系设点；②列出动点满足的轨迹条件；③把轨迹条件坐标化；④化简整理；⑤检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分 【典例分析】 【例3】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·湖北随州·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．已知直线过定点，则定点的坐标是 ；线段中点的轨迹方程为 ． 【变式2】（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点 ，若的中点为，则点的轨迹方程为 【变式3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）（1）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程； （2）已知圆C的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，求点M的轨迹，并判断该轨迹与圆C的位置关系. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 8．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时 D．当直线与圆相切时，或 11．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知直线：和圆：，则（    ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 三、填空题 12．（23-24高二上·上海·课后作业）填空： （1）“且”是“表示圆的方程”的 条件． （2）直线与圆的位置关系是 ． 13．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 16．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，圆心在第一象限，该圆与轴相切，且圆过点，直线的方程为. (1)求圆的标准方程； (2)证明：直线与圆相交； (3)当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦长. 17．（23-24高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 18．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 19．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 圆与方程章末复习与测试 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求圆的方程 3 题型02 直线与圆、圆与圆的位置关系 6 题型03 轨迹问题 9 单元测试 14 一、求圆的方程 1．求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 2.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)当两圆相切时，切点与两圆圆心共线 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径的和、差的绝对值的大小关系来判断两圆的位置关系． 3．直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养 三、轨迹问题 1．求与圆有关的轨迹问题的四种方法 2．通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养 题型01求圆的方程 【解题策略】 　求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答． 过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) 【典例分析】 【例1】求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程． 解　方法一　设所求圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0， 化为一般方程得x2＋y2－x＋y－＝0.故圆心坐标为， 代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－. 再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 方法二　解方程组 得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)． 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上， 所以 解得 故所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，即可求出结果. 【详解】由题可设圆心为，半径为， 所以且，解得， 故圆的方程为，即， 故选：B. 【变式2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题意求出点坐标和直线的斜率即可求解； （2）根据四边形为平行四边形求出点坐标，又由得，从而半径为，进而写出圆的标准方程. 【详解】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为 题型02 直线与圆、圆与圆的位置关系 【解题策略】 (1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程． (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题　 【典例分析】 【例2】已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程． 解　(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0. 示意图如图所示，作MC⊥AB于点C. 在Rt△MBC中，BC＝AB＝，MB＝2， 故MC＝＝1， 又M(1,1)， 故由点到直线的距离公式得＝1， 解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0. (2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2， 且AB＝2，所以符合题意． 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论． 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D 【变式2】（23-24高二上·安徽·期中）圆与圆的位置关系为 ． 【答案】外切 【分析】由两圆的圆心距与半径之和半径之差的关系，判断两圆位置关系. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆，圆心坐标为，半径， 两圆圆心距，所以两圆外切. 故答案为：外切 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含 题型03 轨迹问题 【解题策略】 (1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等． (2)求轨迹方程的步骤：①建系设点；②列出动点满足的轨迹条件；③把轨迹条件坐标化；④化简整理；⑤检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分 【典例分析】 【例3】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解　如图所示，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)，连接MO1，NO2， 在Rt△PMO1中， PM2＝PO－1， 在Rt△PNO2中， PN2＝PO－1. 又因为PM＝PN， 所以PM2＝2PN2， 即PO－1＝2(PO－1)，即PO＋1＝2PO， 所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]， 整理得x2＋y2－12x＋3＝0， 即为所求点P的轨迹方程． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·湖北随州·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．已知直线过定点，则定点的坐标是 ；线段中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】（1）根据圆与圆的性质可得直线的方程，从而求得所过的定点； （2）求直线和的交点即为的中点. 【详解】（1）因为是圆的两条切线，所以，， 所以四点共圆，连接，设中点为， 如图所示： 圆①，可化为， 故圆心，半径，所以， ，圆的半径， 故圆的方程为：， 即②， 易知线段是圆和圆的公共弦， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：， 当时，， 故直线经过定点. （2）， 所以直线的方程为：，即， 联立，消得： 由圆的性质得：线段的中点即为直线与的交点，且， 故线段的中点的轨迹方程为：. 故答案为：； 【变式2】（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点 ，若的中点为，则点的轨迹方程为 【答案】 【分析】设，求的以为圆心为半径的圆的方程，由此求得直线的方程，进而求得定点坐标；设出点坐标，利用勾股定理求得点的轨迹方程. 【详解】设，圆的圆心为，半径， 则， 故以为圆心，半径为的圆的方程为： ， 即， ①， 圆②， ②-①并化简得直线的方程为：， 也即， 所以，所以定点坐标为. 设，由于是弦的中点，所以， 设定点为， 则， 即， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：； 【变式3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）（1）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程； （2）已知圆C的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，求点M的轨迹，并判断该轨迹与圆C的位置关系. 【答案】（1）；（2），相交 【分析】（1）根据题意设线段AB中点M的坐标为，用表示端点A的坐标，代入圆的方程整理即可得结果； （2）以AB中点为坐标原点建系，设，根据题意求点点M的轨迹，并结合两圆的位置关系分析判断. 【详解】（1）设线段AB中点M的坐标为， 因为端点B的坐标是，则端点A的坐标是， 且端点A在圆上， 则，整理得， 所以线段AB中点M的轨迹方程为. （2）以AB中点为坐标原点建系，则， 圆C的圆心为，半径， 设， 因为，则， 整理得， 可知点M的轨迹为以为圆心，半径的圆， 又因为， 所以两圆相交.   【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系. 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆心距，故两圆外离. 故选：A 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解. 【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可. 【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、， 则的中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：B 5．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 6．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】D 【分析】对于A，只需将直线的方程整理成关于的方程，依题即得；对于B，因A项得到的直线过的定点恰在圆内，故直线必与圆相交；对于C，利用两直线垂直可求得，即说明存在这样的直线；对于D，利用直线过的定点恰在圆内，只需使时即得最短弦长. 【详解】对于A项，由直线方程可整理为：， 因,故需使，即直线过定点，故A项正确； 对于B项，由A项知直线过定点，而该点到圆心的距离为， 而，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确； 对于C项，直线的斜率为，直线的斜率为， 由可得，即时，，故C项正确； 对于D项，如图，因直线过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长， 易知当且仅当时弦心距最长，此时弦心距即为，最短弦长为，故D项错误. (说理如下：过点作直线，交圆于点,过点作，垂足为， 在中，显然,而, 其中为圆的半径，则易得，即是直线与圆相交最短的弦长) 故选：D. 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 8．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再过点P作圆的两条切线，由图形可得，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图， 显然，当PM，PN为两切线时取等号； 因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，， 由圆的对称性易得，显然是锐角， 在中，， 又，所以， 所以，∴． 故选：B． . 【点睛】关键点睛：本题解题的突破口是通过过点作圆的切线，化三动点问题为一动点问题，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用直线和圆的位置关系求解参数范围即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为2， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 10．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时 D．当直线与圆相切时，或 【答案】BC 【分析】圆的一般方程化成标准方程，得圆心坐标和半径判断选项AB，由直线过圆心计算的值判断选项C，由直线与圆相切的条件判断选项D. 【详解】圆：，化成标准方程为， 则圆心坐标为，B选项正确； 圆的半径为，A选项错误； 当直线平分圆时，直线过圆心，则有，解得，C选项正确； 直线：，过定点，因为， 则点在圆内，所以直线与圆不可能相切，D选项错误. 故选：BC 11．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知直线：和圆：，则（    ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，结合垂直关系分析判断；对于B：将直线方程化为，即可得定点；对于C：判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；对于B：根据题意结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对A：因为直线：的斜率为， 当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确； 对B：由可得，， 令，解得，所以直线恒过定点，故B错误； 对C：因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确； 对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高二上·上海·课后作业）填空： （1）“且”是“表示圆的方程”的 条件． （2）直线与圆的位置关系是 ． 【答案】 必要不充分 相切 【分析】（1）根据圆的一般方程的概念求解； （2）根据直线与圆的位置关系的判断方法求解. 【详解】（1）因为“表示圆的方程”时， 且且, 所以“且”是“表示圆的方程” 的必要不充分条件. （2）把圆方程化为标准方程可得, 所以圆心为，半径为, 所以圆心到直线的距离为， 所以直线和圆相切. 故答案为:必要不充分；相切. 13．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 【答案】（或，填一条即可） 【分析】先判断出圆与圆相交，作出图象，结合图象可得一条公切线方程为，另一条公切线与直线关于直线对称，用点斜式设出另一条直线，则有，求解即可. 【详解】解：由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为. 因为，所以5，圆与圆相交， 则圆与圆的公切线有两条， 如图所示： 根据图象可以直接观察出一条公切线方程为， 直线的方程为， 根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称. 易知直线与直线的交点为， 设另一条公切线的方程为， 即，原点到其距离为， 所以，则另一条公切线的方程为. 故答案为：（或，填一条即可） 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】先对曲线进行变形，结合的取值范围，可得其图象为以为圆心，为半径的圆的下半部分，画出曲线及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果. 【详解】因为曲线，所以， 解得，曲线可化为， 两边同时平方有，，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点， 当直线过时，即，解得， 当直线过时，即，解得，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 【答案】(1)或 (2)两圆相交 【分析】（1）把两圆的一般方程转化为标准方程，在根据两圆外切的条件列式求解即可. （2）把代入方程直接判断两圆位置关系即可. 【详解】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. （2）当时，，所以两圆相交. 16．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，圆心在第一象限，该圆与轴相切，且圆过点，直线的方程为. (1)求圆的标准方程； (2)证明：直线与圆相交； (3)当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）设出圆C的标准方程，根据题意建立方程组，即可解出； （2）通过变形求出直线所过定点的坐标，判断定点与圆C的位置关系，进而得证； （3）结合图象，判断出直线与定点和圆心连线垂直时弦长最短，求出此时直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程，从而利用垂径定理求出最短弦长. 【详解】（1）设圆的方程为； 由已知可得：，所以圆的方程为； 把点代入上式，得，解得， 所以圆的标准方程为：. （2）证明：直线：，可化为， 又，所以，解得，即直线恒过定点. 而，所以定点在圆内， 故直线：与圆相交. （3）由题意，直线被圆截得弦长最短时，直线， 设直线的斜率为，且直线的斜率为， 所以，得， 故的方程为，即为. 圆心到的距离为， 此时弦长为：. 17．（23-24高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据相关点法，即可结合向量的坐标运算求解， （2）根据两圆的半径与圆心距之间的关系即可求解. 【详解】（1）设，，，， 由，可得，，， 又因为，可得B的轨迹方程为： （2）由，可得，，， 代入，可得B的轨迹方程为：， 所以B的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆， 所以当时，，两圆外离； 当时，，两圆外切； 当时，，两圆相交． 18．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)，过定点， (2) (3) 【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. 【详解】（1），，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为，即， 经判断直线过定点，即所以直线过定点 （2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为点，直线过的定点为点， 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过. 点的轨迹方程为 （3）设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 19．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由直线过点C，且被圆H截得的弦长为2，列式求解即可； （3）设，，圆：，将点，代入圆，若，存在，则方程组有解，即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点，根据两圆位置关系可知，由不等式组即可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【详解】（1）解：由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是， 的方程为， 的垂直平分线是，即， 由，解得，所以圆心是，， 圆的方程是； （2）解：弦长为，圆心到的距离． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设，即， 则，，的方程为； 综上，直线的方程是或； （3）解：因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$