第17讲 重难点拓展：基本不等式（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第17讲 重难点拓展：基本不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 巧用“1”的代换求最值问题 1 题型02 分离消元法求最值 3 题型03 利用基本不等式证明不等式 5 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 10 创新拓展 18 题型01 巧用“1”的代换求最值问题 【解题策略】 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 【典例分析】 【例1】若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【变式2】已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值． 【变式3】（23-24高一上·甘肃·期末）已知.若，求的最小值. 题型02 分离消元法求最值 【解题策略】 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 【典例分析】 【例2】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 【变式演练】 【变式1】已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 【变式2】（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【变式3】已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 题型03 利用基本不等式证明不等式 【解题策略】 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 【典例分析】 【例3】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 【变式演练】 【变式1】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋≥9. 【变式2】已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【变式3】已知a，b都是正数，求证：≤≤≤. 【夯实基础】 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•城关区校级期中）已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．8 三．填空题（共3小题） 2．（2024春•黄浦区校级期末）若正数，满足，则的最小值为 　　． 3．（2023秋•斗门区校级月考）已知，，若，则的最小值为 　　． 4.设正数，满足，的最小值为　　． 5．（2023秋•深圳期末）已知，，若，则的最小值为 　　． 四．解答题（共2小题） 6．（2023秋•汉寿县校级期中）（1）已知，为正数，且满足，求的最小值； （2）已知，求的最大值． 7．（2022春•会宁县校级期中）已知，，求证：． 【能力提升】 一．多选题（共4小题） 1．（2023秋•岳阳期末）已知实数，满足且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D．的最小值为9 2．（2023秋•汕尾期末）已知，为正数，且，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•开福区校级期末）若，，，则下列说法正确的有　　 A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 4．（2023秋•河池月考）下列说法正确的有　　 A．若，则的最大值是 B．若，，都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若，则的最小值是4 二．填空题（共2小题） 5．（2023秋•建邺区期末）若，，均为正数，且，则的最小值是 　　． 6．（2023秋•浦东新区校级期中）已知正数，满足，则取到最小值时，　　． 三．解答题（共4小题） 7．（2023秋•莲池区校级期中）解答下列问题： （1）设正数，满足，求的最小值； （2）已知，，比较与的大小． 8．（2023秋•重庆期中）（1）已知，求的最小值； （2）若、，且满足条件，求的最小值． 9．（2023秋•长治期末）已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 10．（2023秋•西安期末）若，，且． （1）求的取值范围； （2）求的最小值，以及此时对应的的值． 【创新拓展】 一．多选题（共1小题） 1．（2023秋•浑南区校级月考）下列说法正确的是　　 A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•盐城期末）已知正实数，满足，则的最小值为 　　． 三．解答题（共6小题） 3．（2023秋•镇江月考）已知，为正实数． （1）若，求的最小值； （2）若，，试判断与的大小关系并证明． 4．（2023秋•江北区校级月考）（1）已知，，求的取值范围； （2）若实数，，满足．试判断与的大小并说明理由． 5．（2023秋•石河子校级月考）（1）已知，，，比较与的大小； （2）已知，，，求的取值范围； 6．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 重难点拓展：基本不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 巧用“1”的代换求最值问题 1 题型02 分离消元法求最值 3 题型03 利用基本不等式证明不等式 5 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 10 创新拓展 18 题型01 巧用“1”的代换求最值问题 【解题策略】 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 【典例分析】 【例1】若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　∵＋＝1，x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝即x＝4，y＝12时，等号成立． 即x＋y的最小值为16. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【答案】D 【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【变式2】已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值． 解　因为x>0，y>0，x＋8y＝xy， 所以＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时等号成立． 所以x＋2y的最小值为18. 【变式3】（23-24高一上·甘肃·期末）已知.若，求的最小值. 【答案】8. 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 题型02 分离消元法求最值 【解题策略】 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 【典例分析】 【例2】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 【变式演练】 【变式1】已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 解　由题意可知y＝， 所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 所以xy的最小值为9. 【变式2】（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】由题意转换成二次函数的最值来做即可. 【详解】由题意，，所以， 所以等号成立当且仅当，即的最大值为. 故答案为：. 【变式3】已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 答案　5＋2 解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0， 所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2. 题型03 利用基本不等式证明不等式 【解题策略】 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 【典例分析】 【例3】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【变式演练】 【变式1】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋≥9. 证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【变式2】已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明　由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， 则(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【变式3】已知a，b都是正数，求证：≤≤≤. 证明　∵＋≥2， ∴≤， 即≤. 又∵2＝ ≤＝， ∴≤. 又由基本不等式得≥， 故≤≤≤， 当且仅当a＝b时，等号成立． 【夯实基础】 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•城关区校级期中）已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．8 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解． 【解答】解：因为，，且， 则， 当且仅当且，即时等号成立，此时则的最小值为4． 故选：． 【点评】本题主要考查了利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题． 三．填空题（共3小题） 2．（2024春•黄浦区校级期末）若正数，满足，则的最小值为 　16　． 【分析】由题意知正数，满足，则展开即为基本不等式应用． 【解答】解：由题意知正数，满足， 则，当，时取到等号． 故答案为：16． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于简单题． 3．（2023秋•斗门区校级月考）已知，，若，则的最小值为 　　． 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答． 【解答】解：由，，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 4.设正数，满足，的最小值为　9　． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正数，满足， ， 当且仅当且，即时取等号， 故答案为：9． 【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 5．（2023秋•深圳期末）已知，，若，则的最小值为 　3　． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：， 则，即， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题． 四．解答题（共2小题） 6．（2023秋•汉寿县校级期中）（1）已知，为正数，且满足，求的最小值； （2）已知，求的最大值． 【分析】（1）利用“1的代换”，得到，展开利用均值不等式计算得到答案． （2）化简整理，得到，再利用均值不等式计算得到答案． 【解答】解：（1），为正数，且满足， 故， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9； （2）， ，故，则， 当且仅当，即时等号成立， 故，当且仅当时等号成立，的最大值为1． 【点评】本题主要考查基本不等式及其应用、函数最值的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题． 7．（2022春•会宁县校级期中）已知，，求证：． 【分析】利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出． 【解答】证明：，，， ， ， ，当且仅当时取等号． 【点评】熟练掌握两数和的平方以及重要不等式是解题的关键．综合法的应用． 【能力提升】 一．多选题（共4小题） 1．（2023秋•岳阳期末）已知实数，满足且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D．的最小值为9 【分析】根据不等式的性质，判断出、两项的正误；通过举反例，判断出项的正误；利用基本不等式求最值，判断出项的正误． 【解答】解：因为且，所以，可得，故项正确； 根据题意，当时，，故项不正确； 由，各项都乘以，可得，故项正确； ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9，项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题． 2．（2023秋•汕尾期末）已知，为正数，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质，判断出项的正误；通过举反例判断出、两项的正误；利用基本不等式求最值，判断出项的正误，可得答案． 【解答】解：根据、为正数，且，可知，所以，故正确； 当时，，故不成立，不正确； ，当且仅当时，等号成立，故正确； 当时，，故不成立，不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题． 3．（2023秋•开福区校级期末）若，，，则下列说法正确的有　　 A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 【分析】：利用基本不等式的应用条件即可判断；：利用基本不等式求出的最小值，进而可以求解；：利用“1”的代换以及基本不等式化简即可判断求解；：先统一变量把所求关系式化为关于的关系式，再利用基本不等式化简即可判断求解． 【解答】解：因为，，且，则，， ：因为，当且仅当时取等号，所以， 同理，则，故错误， ：因为， 当且仅当时取得最大值为6，所以取得最大值为，故正确， ，当且仅当时取得最小值为，故正确， ：因为 ，当且仅当时取得最大值为，故正确， 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 4．（2023秋•河池月考）下列说法正确的有　　 A．若，则的最大值是 B．若，，都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若，则的最小值是4 【分析】选项，由基本不等式求出积的最大值；选项，变形得到，换元后由基本不等式求出最值；选项，由等式得到，从而得到，由基本不等式求出最值；选项，变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值． 【解答】解：选项，由题设，， 则， 当且仅当，即时等号成立，不正确； 选项，由，则， 且， 令，则，， 所以原式等于， 当且仅当，即，即时等号成立，正确； 选项，由且，，则， 故， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4，错误； 选项，由题设，而， 又， 当且仅当，时等号成立，所以，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 二．填空题（共2小题） 5．（2023秋•建邺区期末）若，，均为正数，且，则的最小值是 　　． 【分析】将，即，由“1”的活用及基本不等式的性质可得的最小值． 【解答】解：，，均为正数，且，即， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题． 6．（2023秋•浦东新区校级期中）已知正数，满足，则取到最小值时，　　． 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以取到最小值时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 三．解答题（共4小题） 7．（2023秋•莲池区校级期中）解答下列问题： （1）设正数，满足，求的最小值； （2）已知，，比较与的大小． 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解即可． （2）作差法比较与的大小关系． 【解答】解：（1）因为正数，满足， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （2）由题意，， 因为，，所以，， 所以当时，； 当时，． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中应用，还考查了比较法在不等式大小比较中的应用，属于基础题． 8．（2023秋•重庆期中）（1）已知，求的最小值； （2）若、，且满足条件，求的最小值． 【分析】（1）利用换元法，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解； （2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）因为，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 此时，函数的最小值为9； （2）若、，且满足条件， 所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 9．（2023秋•长治期末）已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【分析】（1）由已知结合基本不等式可直接求解； （2）先对所求式子进行变形，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为，，． （1）当时，，当且仅当时取等号， 解得，即的最小值为9； （2）当时，， 所以， ，当且仅当时取等号， 故的最小值为5． 【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 10．（2023秋•西安期末）若，，且． （1）求的取值范围； （2）求的最小值，以及此时对应的的值． 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值； （2）利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案． 【解答】解：（1），， ，得， 解得，明显可得， 的取值范围为，； （2）由得，，结合，得， ， 当且仅当时，等式成立，解得， ， 即当时，取最小值为17． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 【创新拓展】 一．多选题（共1小题） 1．（2023秋•浑南区校级月考）下列说法正确的是　　 A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 【分析】对每一个选项逐项计算判断即可． 【解答】解：对于， 当且仅当，即时取等号，故正确； 对于， ， 当且仅当，即，取等号，故正确； 对于 ，当且仅当即，时取等号，故不正确； 对于，当且仅当，即等号，故正确； 故选：． 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属难题． 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•盐城期末）已知正实数，满足，则的最小值为 　　． 【分析】由，结合基本不等式求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 因为，为正实数，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 三．解答题（共6小题） 3．（2023秋•镇江月考）已知，为正实数． （1）若，求的最小值； （2）若，，试判断与的大小关系并证明． 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得． （2）判断大小，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【解答】解：（1）、为正实数，且， 则， 当且仅当，即 时取等号， 取得最小值9． （2）， 证明如下：，为正实数，且，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以． 【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 4．（2023秋•江北区校级月考）（1）已知，，求的取值范围； （2）若实数，，满足．试判断与的大小并说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，结合不等式性质运算求解； （2）令，，，可得，根据“1”的应用结合基本不等式分析判断即可． 【解答】解：（1）设，其中，， 则，解得，即， 因为，，则，， 可得，所以的取值范围为，； （2）令，，，则，，， 可得，即， 则 ， 当且仅当，即，，，时，等号成立， 可得， 即． 【点评】本题考查了不等式的性质，基本不等式的运用，是中档题． 5．（2023秋•石河子校级月考）（1）已知，，，比较与的大小； （2）已知，，，求的取值范围； 【分析】（1）利用作差法比较即可， （2）利用乘1法，根据基本不等式即可求出． 【解答】解：（1）， ，，， ，，，， 又， ， ． （2），，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的取值范围是，． 【点评】本题考查了不等式的大小比较和基本不等式的应用，属于中档题． 6．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为； （2）， 当且仅当即即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用基本不等式求解即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）因为，，则，即， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. （2）由与均为负数，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以当时，取得最小值. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$