第1章三角形的证明 暑假自主提升训练题 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》 暑假自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．已知等腰中，，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 2．的三边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．18 D．24 7．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，在中，，，点D，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 10．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    11．如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，且，则 ． 12．如图，在中，，，，点D是斜边上的一个动点，把沿直线翻折，使点A落在点处，当平行于的一条直角边时，的长为 ．    13．如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 14．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， ． 15．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 16．如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④，一定成立的有 （填序号） 三、解答题 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 18．如图，平分，，于E，交的延长线于点F．试判断与相等吗？请说明理由    19．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状． 20．如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．    (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长； (2)若，，，连接． ①求证：O点在线段的垂直平分线上； ②求的度数（用含的式子表示）． 21．如图，在中，，过点作，且满足，连接． (1)试说明平分． (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证： ． (3)在（2）的条件下，用尺规作的平分线，交于点，求证： ． 22．在中，，，线段、交于． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数； (2)如图2，若点在线段的延长线上，且，，，求的长； (3)如图3，若点在内部，且，，求的度数 参考答案 1．解：当为腰长，为底边时，由于，不满足三角形三边关系，故不符合题意； 当为腰长，为底边时，由于，满足三角形三边关系，符合题意，故的周长为， 故选：C． 2．解：A、，能判定为直角三角形，不符合题意； B、，不能判定为直角三角形，符合题意； C、，得到，能判定为直角三角形，不符合题意； D、，能判定为直角三角形，不符合题意； 故选B． 3．解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ∴要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点， 故选：D ． 4．解：到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 5．解：根据题意可知，垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 6．解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 7．解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 8．解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ 故选：C． 9．解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 10．解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 11．解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵垂直，即垂直，， ∴， 故答案为：． 12．解：，， ，， ①当时，    由折叠得：， ， ， 由折叠得： ， ， ，， ，， ； ②当时，    ， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， 故答案：或． 13．解：由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 14．解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 故答案为：． 15．解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 16．解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又 ， ， ， 在和中， ， ， ，结论③正确； 又 ， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ，结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故答案是：①②③⑤． 17．解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∵的周长为， ∴， 即的长为8． 18．解：相等．理由： 因为平分，，， 所以，， 因为，， 所以， 在与中，，，， 所以 所以. 19．（1）解： ， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 20．（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵的周长与四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∵平分，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴O点在线段的垂直平分线上； ②∵，即， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（1）解：平分，理由如下： ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，即平分． （2）解：根据作图如下： 在和中， ， ∴, ∴， ∴, ∵， ∴． （3）证明：如图所示，延长交于点M，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（1）解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图作，且，连接交于点，交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，，且， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ． （3）， 理由：延长交于点，交于点， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$