3.1.2函数的表示法（十一大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.1.2函数的表示法 知识点1 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点2 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 题型一 函数的三种表示法 1．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 2．已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 3．已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 5．作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 6．已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 题型二 待定系数法求函数解析式 7．设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 8．已知为二次函数且，，则 ． 9．已知函数为一次函数，且，则 ． 10．若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是 ． 11．（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式． （2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式． 题型三 换元法求函数解析式 12．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则的值域是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，则 . 16．已知，则的解析式是 ． 17．已知函数满足，则函数值域为 . 题型四 方程组法求函数解析式 18．已知函数满足，则等于（    ） A．－3 B．3 C．－1 D．1 19．已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 20．函数满足，则 . 21．已知，则 ． 22．若函数满足条件，则的最小值为 ． 题型五 求分段函数的值 23．定义：．若，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 24．已知函数，则 . 25．设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 26．设函数，则的值为 ； 27．定义在整数集上的函数满足：，则 ． 题型六 已知分段函数的值求参数 28．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 29．已知函数，若，则的值是（     ） A． B．3或 C．或 D．3或或 30．已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知函数，若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 32．已知函数，如果，那么实数的值为 . 33．已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 题型七 分段函数的值域 34．设a，，记，则函数的最大值 ． 35．函数的值域为 ． 36．已知函数，则的值域 .（用列举法表示） 37．已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 38．作出下列函数的图象并求出其值域． (1)； (2)． 39．已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 题型八 解分段不等式 40．已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知，若，则实数a的取值范围是 ． 42．设函数，则 ，不等式的解集是 . 43．已知函数则满足的的取值范围是 ． 44．已知函数，若，则实数a的取值范围为 . 45．已知函数，则不等式的解集为 ． 46．已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 题型九 画出具体函数图象 47．作出下列函数的草图． (1)； (2)； (3)； (4)． 48．已知函数. (1)求，的值； (2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）. 49．已知函数． (1)在给定的坐标系中，作出函数的图象； (2)若，求m的值. 50．已知二次函数的解析式为．    (1)求解方程，并写出方程的解集； (2)比较下列和的大小； (3)在平面直角坐标系下，作出二次函数的图象． 51．已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 题型十 根据实际问题作函数图象 52．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 53．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 54．向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   55．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   56．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 57．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑） (1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象． 题型十一 新定义问题 58．德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 59．（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 60．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，．写出满足的一个x的值 ；关于x的方程的解集为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2函数的表示法 知识点1 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点2 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 题型一 函数的三种表示法 1．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 2．已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【详解】由表可知：，则. 故选：C. 3．已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以， 故选：B. 4．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC 5．作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 【答案】答案见解析 【详解】函数的图象是一些离散的点，图象如图所示： 将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点， 所有这些点组成的集合（点集）为，这些点组成的曲线就是函数的图象． 6．已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示，    而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示：    （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 题型二 待定系数法求函数解析式 7．设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 8．已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 9．已知函数为一次函数，且，则 ． 【答案】15 【详解】由题意知，设一次函数的解析式为， 由，得， 解得，所以， 所以. 故答案为：15. 10．若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是 ． 【答案】. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 11．（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式． （2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式． 【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x. 【详解】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b， 即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立， ∴解得∴f（x）＝－2x－9. （2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点， ∴解得 ∴g（x）＝3x2－2x. 题型三 换元法求函数解析式 12．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以， 综上，. 故选：B 13．已知，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 在中， 设，即, ∴即， 在中，，开口向下，对称轴， ∴， ∴的值域是， 故选：A. 14．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得. 所以， 因此的解析式为. 故选：D. 15．已知函数，则 . 【答案】 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 16．已知，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】令，则，所以． 所以． 故答案为：. 17．已知函数满足，则函数值域为 . 【答案】 【详解】令，则，所以， 所以的解析式为，其中. 当时，，所以值域为, 故答案为： 题型四 方程组法求函数解析式 18．已知函数满足，则等于（    ） A．－3 B．3 C．－1 D．1 【答案】A 【详解】解：由           ①， 用代入得    ②， 由②×2－①得，， 所以， 故选：A. 19．已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①， 所以②， 得， 即， 所以． 故选：C. 20．函数满足，则 . 【答案】 【详解】由题意，建立，消去可得：， 整理可得，则. 故答案为：. 21．已知，则 ． 【答案】. 【详解】因为  ①， 把换成有：    ②， 联立①②式有：， 解得. 故答案为：. 22．若函数满足条件，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】∵函数满足条件， 所以可得， ∴， ∴， 当且仅当即，时取等号. 故答案为： 题型五 求分段函数的值 23．定义：．若，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】依题意可得， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以． 故选：A． 24．已知函数，则 . 【答案】 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 25．设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 【答案】 【详解】由的周期为2得，， 故答案为：1． 26．设函数，则的值为 ； 【答案】1 【详解】,, 故答案为：1 27．定义在整数集上的函数满足：，则 ． 【答案】2011 【详解】因为， ， ， ， ， 所以，其中k为整数， 则． 故答案为：2011 题型六 已知分段函数的值求参数 28．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由已知得： 当时，，解得：，或（舍）， 当时，，解得：， 综上：的值为或, 故选：C. 29．已知函数，若，则的值是（     ） A． B．3或 C．或 D．3或或 【答案】A 【详解】函数，由，得，解得；或，无解， 所以的值是. 故选：A 30．已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】，， 解得， 故选：B. 31．已知函数，若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则有， ∴； 若，则， ∴，此时若，则有． 故选：D． 32．已知函数，如果，那么实数的值为 . 【答案】或. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故答案为：或 33．已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 题型七 分段函数的值域 34．设a，，记，则函数的最大值 ． 【答案】1 【详解】根据题意，联立方程组，解得，即两函数的交点坐标为， 则两函数和图图象，如图所示， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. 35．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】①当时，； ②当时，， ③当时，， 所以，， 函数图象如下图，    所以，函数的值域为. 故答案为： 36．已知函数，则的值域 .（用列举法表示） 【答案】 【详解】因为函数， 由分段函数性质可得的值域为， 故答案为：. 37．已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【详解】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 38．作出下列函数的图象并求出其值域． (1)； (2)． 【答案】(1)图像见解析， (2)图像见解析， 【详解】（1）因为， 列表如下： x … 1 2 3 … y … 4 2 1 2 3 … 当时,图像是反比例函数图像的一部分； 当时,图像是直线的一部分,作该分段函数的图像如图所示, 由图可得函数的值域是. （2）当,即时,； 当,即时,； 所以， 作该分段函数的图像如图所示, 由图可得函数的值域是. 39．已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【答案】(1)答案见解析 (2)图象见解析 (3) 【详解】（1） （2）画出函数图象如下：    （3）由图象可看出，函数值域为. 题型八 解分段不等式 40．已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：A 41．已知，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上所得， a的取值范围是. 故答案为：． 42．设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 43．已知函数则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】画出的图象，数形结合可得解得． 故答案为：    44．已知函数，若，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，显然不成立； 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得． 综上所述，a的取值范围为或 故答案为： 45．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】函数 当，函数单调递增， 则化为 解得， 故答案为：． 46．已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 题型九 画出具体函数图象 47．作出下列函数的草图． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）列表： 0 1 1 描点，连线：    （2）列表： 0 1 2 3 3 0 0 3 描点，连线：    （3）列表： 0 1 1 0 1 描点，连线：    （4）列表： 1 2 2 1 描点，连线得第一象限内的图象，并作出其关于原点对称的曲线，如图．      48．已知函数. (1)求，的值； (2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）. 【答案】(1)， (2)作图见解析 【详解】（1）由已知可得，，. （2）在坐标系中描点，，，，， 作出的简图 49．已知函数． (1)在给定的坐标系中，作出函数的图象； (2)若，求m的值. 【答案】(1)图见解析 (2)的值为或或 【详解】（1）函数的图象，如图所示， （2）当时，， 当时，， 当时，； 综上所述：的值为或或. 50．已知二次函数的解析式为．    (1)求解方程，并写出方程的解集； (2)比较下列和的大小； (3)在平面直角坐标系下，作出二次函数的图象． 【答案】(1)； (2)； (3)作图见解析. 【详解】（1）方程化为：，解得或， 所以原方程的解集为. （2）因为， 所以. （3）函数图象的对称轴为，顶点为，与x轴交点为，与y轴交于点， 所以函数的图象如下：    51．已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析，的值域为 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 所以. （2）解：得，由此画出的图象如下图所示：    由图象知，的值域为． 题型十 根据实际问题作函数图象 52．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 53．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】A 【详解】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 54．向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 55．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 56．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为开始时是匀速行驶，所以这位同学离学校的距离匀速减少， 途中停留一段时间，故此段时间内这位同学与学校的距离不变， 然后加快速度赶到了学校，所以这位同学与学校的距离减少的幅度越来越快， 故符合这一过程的是B中图象. 故选：B. 57．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑） (1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象． 【答案】(1)() (2)定义域为，值域为 (3)作图见解析 【详解】（1）依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm， 于是得水的面积为(m2)， 所以，()． （2）由(1)知，函数的定义域是， 显然在上A(h)随h增大而增大，，， 所以函数的定义域为，值域为． （3）由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而， 于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示. 题型十一 新定义问题 58．德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】． 故选：D． 59．（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足； 对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足； 对于C：当时，时，解得或， 当时，时，无解，综上C满足； 对于D：当时，解得，故D满足. 故选：BCD 60．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，．写出满足的一个x的值 ；关于x的方程的解集为 ． 【答案】 (答案不唯一) 【详解】根据取整函数的定义，当时，，故取； ，即，解得. 故答案为：(答案不唯一)； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$