第23章图形的相似 基础题过关检测★【15个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第23章图形的相似 基础题过关检测★【15个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．点的坐标 二．规律型：点的坐标 三．坐标确定位置 四．坐标与图形性质 五．三角形中位线定理 六．坐标与图形变化-平移 七．关于原点对称的点的坐标 八．黄金分割 九．平行线分线段成比例 一十．相似三角形的判定 一十一．相似三角形的判定与性质 一十二．相似三角形的应用 一十三．作图-相似变换 一十四．位似变换 一十五．作图-位似变换 思维导图 考点精讲精练 一．点的坐标 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 1．（2024春•农安县期末）下列坐标中，在第二象限内的点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•长沙期末）若点在轴上，则的值为 　　． 4．（2024春•滨海新区期末）已知点是轴负半轴上一点，且与点的距离为4，则点的坐标为 　　． 5．（2024春•巫山县期末）点到轴的距离为 　　． 二．规律型：点的坐标 · 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 6．（2024春•南宁期末）如图，树叶盖住的点的坐标可能是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•江北区期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 三．坐标确定位置 · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 8．（2024春•香洲区期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 9．（2024春•浏阳市期末）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．幸福小区3号楼501号 B．南偏西 C．才常路89号 D．东经，北纬 四．坐标与图形性质 · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 10．（2024春•芜湖期末）在平面直角坐标系中，有，两点，当轴时，点在点的右侧，且，两点间的距离是6，那么的算术平方根是　　 A． B．2 C． D．4 11．（2024春•青秀区校级期末）如图，平面直角坐标系中，的边经过原点，点在轴上，若，，，，是边上的高，则的长度为　　 A．1 B．2 C． D． 12．（2024春•荔湾区期末）点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 13．（2024•广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2024春•广平县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴下方，且轴．若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•安州区期末）已知，实数，，满足． （1）求，，的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点（点在上面），，． ①如图（1），若点与重合，，求点的坐标； ②如图（2），若点与不重合，，，求的面积． 五．三角形中位线定理 · 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 16．（2024春•海沧区期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．下列线段中，是的中位线的是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•苍南县期末）如图，要测量池塘边上，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，连结，，并取，的中点，，连结．测出的长为20米，则，两地的距离为　　 A．20米 B．40米 C．米 D．米 18．（2024•柯桥区模拟）问题提出： （1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为 　　． 问题探究： （2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点，求的最小值． 问题解决： （3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离． 六．坐标与图形变化-平移 · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 19．（2024春•光明区期末）点向右平移2个单位长度，得到的点的坐标是　　 A． B． C． D． 20．（2024•崂山区二模）已知点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为　　 A． B． C．7 D．1 21．（2024春•连州市期末）点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•雷州市期末）如图，点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点：点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向 上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点：点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点按这个规律平移得到点，则点的横坐标为　　． 23．（2024春•硚口区期末）已知，两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是 　　． 24．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形进行平移，使点与坐标原点重合，得到三角形，其中，分别为点，的对应点．（1）画出三角形； （2）若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是 　　． （3）求三角形的面积． 25．（2024春•天山区校级期末）与△在平面直角坐标系中的位置如图 （1）分别写出下列各点的坐标： 　　；　　；　　 （2）若点是内部一点，则平移后△内的对应点的坐标为　　． （3）求的面积． 七．关于原点对称的点的坐标 · 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 26．（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为　　 A． B．4 C． D．6 八．黄金分割 · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 27．（2023秋•南山区期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 　　． 28．（2024春•青浦区校级期末）点是线段上的一点，如果，，那么　　． 九．平行线分线段成比例 · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 29．（2024•绥江县二模）如图，在中，、分别为，上的点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 30．（2024春•莱西市期末）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为 　　． 一十．相似三角形的判定 · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 31．（2024•永昌县三模）如图，已知点是矩形的边上一点，于点，求证：． 一十一．相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 32．（2024•张店区二模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 33．（2024•青山区校级三模）如图，四边形是正方形，以为底边向正方形外部作等腰直角三角形，连接，分别交，于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　　． 34．（2024春•苏州期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点，．连接，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 一十二．相似三角形的应用 · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 35．（2024春•莱西市期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是　　 A． B． C． D． 一十三．作图-相似变换 · 作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 36．（2024•广东模拟）如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 一十四．位似变换 · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 37．（2024•蒸湘区一模）如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为 　　． 一十五．作图-位似变换 · 作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 38．（2024•西吉县一模）在边长为的正方形网格中如图所示． （1）以点为位似中心，在的异侧作出位似图形△，使它与的位似比为． （2）作出绕点顺时针旋转90度后的图形△． 39．（2024•东安县一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题． （1）画出绕点顺时针旋转得到的△，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限． 40．（2024•固原模拟）已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到△，并写出点的坐标． 第23章图形的相似 基础题过关检测★【15个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．点的坐标 1．（2024春•农安县期末）下列坐标中，在第二象限内的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限进行判断即可． 【解答】解：、在第一象限内，故本选项不符合题意； 、在第四象限内，故本选项不符合题意； 、在第二象限内，故本选项符合题意； 、在第三象限内，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点是解题的关键． 2．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，可得答案． 【解答】解：位于第一象限的是， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3．（2024春•长沙期末）若点在轴上，则的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据轴上点的纵坐标为0求出的值即可． 【解答】解：点在轴上， ， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 4．（2024春•滨海新区期末）已知点是轴负半轴上一点，且与点的距离为4，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据与点的距离为4，是轴负半轴上一点即可推出答案． 【解答】解：与点的距离为4，是轴负半轴上一点， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了点的坐标以及勾股定理的应用，正确作出图形是解答本题的关键． 5．（2024春•巫山县期末）点到轴的距离为 　3　． 【答案】3． 【分析】根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解． 【解答】解：点到轴的距离为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查的是点的坐标，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． 二．规律型：点的坐标 6．（2024春•南宁期末）如图，树叶盖住的点的坐标可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先判断出树叶盖住的点在第一象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：由图可知，树叶盖住的点在第一象限，四个选项中只有在第一象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 7．（2024春•江北区期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出相遇一次需要的时间，找出点的变化规律，再计算求解． 【解答】解：、相遇一次学的时间为：， ，，，，，四个点一个周期， ， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标的变换规律，找到变化规律是解题的关键． 三．坐标确定位置 8．（2024春•香洲区期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 棋子“炮”的坐标为． 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 9．（2024春•浏阳市期末）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．幸福小区3号楼501号 B．南偏西 C．才常路89号 D．东经，北纬 【答案】 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、幸福小区3号楼501号，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 、南偏西，只确定方向，不确定距离，即无法确定物体位置，故本选项符合题意； 、才常路89号，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 四．坐标与图形性质 10．（2024春•芜湖期末）在平面直角坐标系中，有，两点，当轴时，点在点的右侧，且，两点间的距离是6，那么的算术平方根是　　 A． B．2 C． D．4 【答案】 【分析】根据轴，可得，根据点在点的右侧，且，两点间的距离是6，可得，得出，的值，进而求的算术平方根，即可求解． 【解答】解：轴， ，解得：， 点在点的右侧，且，两点间的距离是6， ，解得：， ， 的算术平方根是， 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，掌握算术平方根是解题的关键． 11．（2024春•青秀区校级期末）如图，平面直角坐标系中，的边经过原点，点在轴上，若，，，，是边上的高，则的长度为　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点点，得出，，，最后利用三角形的面积解决问题． 【解答】解：如图：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点， ，，． ，，； ， 由， 得， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高是解题的关键． 12．（2024春•荔湾区期末）点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以， 解得， 所以，， 则点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键． 13．（2024•广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出，的值，进而得出点所在象限． 【解答】解：因为单项式与单项式的和仍是一个单项式， 所以，， 解得，， 所以点所在的象限为第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意求出，的值并熟知每个象限内点的坐标特征是解题的关键． 14．（2024春•广平县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴下方，且轴．若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂直轴的点的横坐标相同，纵坐标相差的绝对值是两点的距离求解即可． 【解答】解：点，点在轴下方，且轴．若， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键． 15．（2024春•安州区期末）已知，实数，，满足． （1）求，，的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点（点在上面），，． ①如图（1），若点与重合，，求点的坐标； ②如图（2），若点与不重合，，，求的面积． 【答案】（1），，． （2）①，②4． 【分析】（1）依据题意，由，从而，，，进而计算可以得解； （2）①依据题意，由，，，从而，再设，可得，又过点作于，的反向延长线交轴于点，，可得，进而可得，从而，又，则，最后可得，进而可以得解． ②依据题意，过作于，并延长交轴于点，又，，从而，故，再证得，从而．又，结合，，可得，故，此时设，又，借助得方程，求出，故可得计算得解． 【解答】解：（1）． ，，， 解得：，，． （2）①，，， ． 设， ， ． ． ． 如图，过点作于，的反向延长线交轴于点． ， ． ． 又由题意，， ． ． ． 又， ． 又， ． ． ②如图，过作于，并延长交轴于点． ，， ． ． ，， ． 又， ． ． ，，， ． ，， ． ． 设， 又， ， ． ． ，即． ． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 五．三角形中位线定理 16．（2024春•海沧区期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．下列线段中，是的中位线的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线的概念判断即可． 【解答】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的中位线，连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 17．（2024春•苍南县期末）如图，要测量池塘边上，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，连结，，并取，的中点，，连结．测出的长为20米，则，两地的距离为　　 A．20米 B．40米 C．米 D．米 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 的长为20米， 米， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 18．（2024•柯桥区模拟）问题提出： （1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为 　3　． 问题探究： （2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点，求的最小值． 问题解决： （3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得出答案； （2）由折叠得：，得出点在以点为圆心，长为半径的上运动，由勾股定理求出的长，则可得出答案； （3）延长至点，使，连接，求出．过点作交延长线于点，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【解答】解：（1）点，分别是，的中点， ， ， ， 故答案为：3； （2）在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点， ，，，． 由折叠得：， 点在以点为圆心，长为半径的上运动， 作，连接交于点，如图②， ， 当点，，三点共线，即点和点重合时，取得最小值，最小值为的长． 在中，， 的最小值为； （3）如图③，延长至点，使，连接， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ， 当最小时，最小， 由，可看作点在以点为圆心，长为半径的圆上，连接， 设与的交点为点；则的最小值为的长．过点作交的延长线于点， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． 过点作交延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值， 点与点之间的最小距离为． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段的性质：两点之间线段最短，解直角三角形，解题的关键是作辅助线构造三角形中位线． 六．坐标与图形变化-平移 19．（2024春•光明区期末）点向右平移2个单位长度，得到的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【解答】解：点向右平移2个单位长度，得到的点的坐标是，即． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 20．（2024•崂山区二模）已知点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为　　 A． B． C．7 D．1 【答案】 【分析】根据点的对应点在轴上得出纵坐标变化的规律，根据点对应点在轴上得出横坐标变化的规律，再根据平移规律解答即可． 【解答】解：点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 点的横坐标加5，点的纵坐标减3， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化平移，掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键． 21．（2024春•连州市期末）点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平移变换的规律解决问题． 【解答】解：，两点的坐标分别为，， 点向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点， ， 点向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点， ． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 22．（2024春•雷州市期末）如图，点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点：点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向 上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点：点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点按这个规律平移得到点，则点的横坐标为　　． 【分析】从特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题； 【解答】解：点的横坐标为，点的横坐为标，点：的横坐标为，点的横坐标为， 按这个规律平移得到点为， 故答案为 【点评】本题考查坐标与图形变化平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 23．（2024春•硚口区期末）已知，两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据平移后点或点在轴上，再结合平移的性质即可解决问题． 【解答】解：当平移后点的对应点在轴上时， ， 解得． 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 所以点对应点的坐标为． 当平移后点的对应点在轴上时， ， 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 则， 所以点对应点的坐标为． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 24．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形进行平移，使点与坐标原点重合，得到三角形，其中，分别为点，的对应点．（1）画出三角形； （2）若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是 　　． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）画图略； （2）； （3）6． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）点与坐标原点重合， 将点、、分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点， 如图，△即为所求： （2）若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是； 故答案为：； （3）的面积为． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移和三角形面积，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 25．（2024春•天山区校级期末）与△在平面直角坐标系中的位置如图 （1）分别写出下列各点的坐标： 　　；　　；　　 （2）若点是内部一点，则平移后△内的对应点的坐标为　　． （3）求的面积． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标； （2）首先根据与的坐标观察变化规律，的坐标变换与点的变换一样，写出点的坐标； （3）先求出所在的矩形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示： ，、； （2）变换到点的坐标是， 横坐标减4，纵坐标减4， 点的对应点的坐标是； （3）的面积为：． 故答案为：，、；． 【点评】此题主要考查了平移变换作图，三角形的面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解． 七．关于原点对称的点的坐标 26．（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为　　 A． B．4 C． D．6 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【解答】解：点和点关于原点成中心对称， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 八．黄金分割 27．（2023秋•南山区期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 　　． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 28．（2024春•青浦区校级期末）点是线段上的一点，如果，，那么　2　． 【答案】2． 【分析】，符合黄金分割，求出的值，再减去即可求出其值． 【解答】解：， 点是的黄金分割点， ， ，， ， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了黄金分割知识点，理解黄金分割并熟记其的比值并应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 九．平行线分线段成比例 29．（2024•绥江县二模）如图，在中，、分别为，上的点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，可得出，进而可得出，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值． 【解答】解：，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”及“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”是解题的关键． 30．（2024春•莱西市期末）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为 　3.2　． 【答案】3.2． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得；， ， 故答案为：3.2． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 一十．相似三角形的判定 31．（2024•永昌县三模）如图，已知点是矩形的边上一点，于点，求证：． 【分析】先利用等角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【解答】证明：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质． 一十一．相似三角形的判定与性质 32．（2024•张店区二模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点（点，均不与的顶点重合），连接，．若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作且，连接，，先证明，再由平行线的性质得到，，证明得到，则当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，在中，由勾股定理得，据此可得答案． 【解答】解：如图所示，过点作且，连接，， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 33．（2024•青山区校级三模）如图，四边形是正方形，以为底边向正方形外部作等腰直角三角形，连接，分别交，于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　②④　． 【答案】②④． 【分析】由四边形是正方形，是等腰直角三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出，得到；故②正确；由，，得到，于是得到与不相似，故①错误；过作，则，，根据相似三角形的性质得到，即，进一步得到③错误；设，，求得，得到，推出，故④正确． 【解答】解：如图，连接，交于，过点作于， 四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， 与不相似，故①错误， ， ， ，， 又， ，故②正确， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，即， ， ， ，故③错误， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ，故④正确． 方法二：四边形是正方形，是等腰直角三角形， ，，，， ，， 在和中， ， ，故④正确， 综上所述：正确的结论有②④， 故答案为：②④． 【点评】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 34．（2024春•苏州期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点，．连接，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可以得到，根据等腰三角形的性质得出，，根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据得出，求出，求出，，根据三角形的面积得出，，从而求出的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可． 【解答】（1）证明：是垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ，， 而，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 一十二．相似三角形的应用 35．（2024春•莱西市期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案． 【解答】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 答：建筑物的高度是． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键． 一十三．作图-相似变换 36．（2024•广东模拟）如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）作，交于点，即可求解； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，作，交于点， 根据作图可得， 又， ； （2）解：， ， ，． ， 解得：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握作一个角等于已知角是解题的关键． 一十四．位似变换 37．（2024•蒸湘区一模）如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】由以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段得出点的对应点是点，且位似比为，再根据点的坐标即可得出点的坐标． 【解答】解：以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， 点的对应点是点， ，位似比为， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键． 一十五．作图-位似变换 38．（2024•西吉县一模）在边长为的正方形网格中如图所示． （1）以点为位似中心，在的异侧作出位似图形△，使它与的位似比为． （2）作出绕点顺时针旋转90度后的图形△． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程． 【分析】（1）延长到，使，延长到，使，则可得到△； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，从而得到△． 【解答】解：（1）如图1，△为所作； （2）如图2，△为所作． 【点评】本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解决问题的关键．也考查了旋转变换． 39．（2024•东安县一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题． （1）画出绕点顺时针旋转得到的△，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为； （2）图见解析． 【分析】（1）用旋转的性质，分别作出对应点、、，依次连接即可得到△和点的坐标； （2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案． 【解答】解：（1）△如下图，点的坐标为； （2）位似三角形如图所示△． 【点评】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，掌握旋转变换和位似变换的性质是解题关键． 40．（2024•固原模拟）已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到△，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解答． （2）画图见解答；． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【点评】本题考查作图轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$