第23章图形的相似培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第23章图形的相似 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．规律型：点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．坐标与图形变化-平移 五．坐标与图形变化-旋转 六．黄金分割 七．平行线分线段成比例 八．相似三角形的性质 九．相似三角形的判定 一十．相似三角形的判定与性质 一十一．相似三角形的应用 思维导图 考点精讲精练 一．规律型：点的坐标 · 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 1．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则第2018秒时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2018•锦江区校级自主招生）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到，，，，，，，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为　　 A．886 B．903 C．946 D．990 3．（2020春•柳州期末）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，，依此规律，则点的坐标是　　 A．， B．， C．， D． 4．（2022•渝中区校级开学）如图，一只蚂蚁从点出发，向正西方向走1个单位长度到达点；再向正北方向走2个单位长度到达点，再向正东方向走3个单位长度到达点，再向正南方向走4个单位长度到达点，再向正西方向走5个单位长度到达点，，按如此规律走下去，当蚂蚁走到点时，蚂蚁的坐标为 　　． 二．坐标确定位置 · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 5．（2023春•凯里市校级期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系． （1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置； （2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 三．坐标与图形性质 · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 6．（2024春•潮阳区期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． （1）点的“2属派生点” 的坐标为　 　； （2）若点的“3属派生点” 的坐标为，则点的坐标　 　； （3）若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 7．（2023春•武威期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． （1）在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，　　； （2）在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； （3）当点在线段上的运动过程中，射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系． 8．（2023春•威县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，是轴上一动点． （1）点的坐标是 　　，点的坐标是 　　；与的关系是 　　； （2）当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标； （3）若，，，判断，，之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明． 四．坐标与图形变化-平移 · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 9．（2023春•渭滨区期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． （1）分别写出各顶点的坐标； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 10．（2023春•林州市期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，点在第四象限，将线段平移至线段的位置，点的对应点是点，点的对应点是点． （1）如图①，点的坐标是，点的坐标是，连接．若在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点的坐标． （2）如图②，当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，且时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 五．坐标与图形变化-旋转 · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 11．（2020•天台县模拟）如图，的半径为2，圆心在坐标原点，正方形的边长为2，点、在第二象限，点、在上，且点的坐标为，现将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），，按上述方法旋转2020次后，点的坐标为　　 A． B．， C．， D． 六．黄金分割 · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 12．著名数学家华罗庚倡导优选法，就是对生产和科学试验中提出的问题，根据数学原理，通过尽可能少的试验次数，迅速求得最佳方案的方法．这个数学原理就是利用中国古代黄金分割比值的近似值0.618乘以任意一个数，所得的另一个数，就是最佳的方案． 某医院急诊室的护士利用体温表给病人量体温，按常规测一次体温需3分钟时间，实际上是　 　分钟时测的体温，同3分钟时测的体温一样，这　 　分钟与　 　分钟之间的分界点，就是用优选法产生出来的． 七．平行线分线段成比例 · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 13．（2017秋•天心区校级月考）如图，在三角形中，为的中点，，，连接交于点，则的值为　　． 八．相似三角形的性质 · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14．（2018•梁子湖区模拟）如图，，，，为的中点，，将绕点旋转一周，直线，交于点，连接，则的最小值是　　 A． B． C．3 D． 九．相似三角形的判定 · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 15．（2023秋•岑溪市期末）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，用表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 一十．相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 16．（2024•凉州区二模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 17．（2023•夏津县二模）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结， ①； ②； ③由点、、、构成的四边形是菱形； ④． 其中正确的结论是　　 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 18．（2022•安徽三模）如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 19．（2021秋•紫金县期末）如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②为中点；③；④，其中结论正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2023•越秀区校级二模）如图，在等边三角形中，点，分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则； ②若，，则；③；④若，则的最小值为，其中正确的是　　 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 21．（2019秋•余杭区期末）如图，在中，，，．点为边上的动点，作菱形，使点、在边上，点在边上．若这样的菱形能作出2个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 22．（2018•龙湾区一模）如图，在矩形中，，分别是，的中点，与相交于点，与相交于点，，相交于点，，相交于点，若，记和的面积和为，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 23．（2021•和平区校级自主招生）如图，在正方形中，，延长至，使，连结，点、分别在边、上运动（不与端点重合），且，连结、，分别交于点、，连结，以下结论正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④连结，则可能平分； ⑤点到直线最小距离为． A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2020•芗城区校级一模）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是　　 A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 25．如图，等腰直角的直角边长为3，为斜边上的一点，且，为上一点，若度，则以为边的正方形的面积为　　 A． B． C．4 D．6 26．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．（2020秋•崇川区月考）如图，中，，，，于点，是线段上一点，，，连接、．设、的中点分别为、．设与的交点为，则的值为　　 A． B． C． D． 28．（2019秋•吴兴区期末）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　　 A． B．5.5 C． D． 29．（2019•湖北自主招生）如图，点在内，点、、分别在边、、上，且，，，，，，，则　　 A． B． C． D． 30．如图，在中，设，，分别在边，，上，已知，，交于一点，且，则　　． 31．（2020•浙江自主招生）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．则下列结论①，②，③，④中，正确的是 　　． 32．（2018•香坊区三模）如图，点为正方形对角线上一点，连接，延长交于点，作交于，连接，若，，则线段长为　　． 33．（2022•南岗区模拟）如图，中，，，、分别在、上，，于点，，，则　　． 34．（2021•安徽模拟）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点． （1）则　　； （2）　　． 35．（2023•深圳模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，点为的中点，过点作的垂线分别交，于点，，连接交于点，若，，则的长为 　　． 36．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为 　　． 37．（2023秋•包河区校级月考）如图所示，已知，、相交于点，，． （1）若，求． （2）若，求． 38．（2023•越秀区校级开学）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 一十一．相似三角形的应用 · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 39．（2014•达州）如图，以点为支点的杠杆，在端用竖直向上的拉力将重为的物体匀速拉起，当杠杆水平时，拉力为；当杠杆被拉至时，拉力为，过点作，过点作，垂足分别为点、． ①△△； ②； ③； ④． 其中正确的说法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2023•碑林区校级自主招生）如图，平台上有一棵直立的大树，平台的边缘处有一棵直立的小树，平台边缘外有一个向下的斜坡．小明想利用数学课上学习的知识测量大树的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端与小树顶端的影子恰好重合，且都落在斜坡上的处，经测量，长米，长2米，小树高1.8米，斜坡与平台所成的．请你帮小明求出大树的高度（结果保留一位小数）． 第23章图形的相似 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．规律型：点的坐标 1．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则第2018秒时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出弧长，然后根据运动速度分别表示1，2，3，秒的点的坐标，再观察寻找规律得出第2018秒时，点的坐标． 【解答】解：由题意可知每段线段长为2个单位长度，弧长， 设第秒运动到为自然数）点，观察发现规律： ，，，，，，，，， 可知纵坐标每6个点1次循环， ，的纵坐标等于的纵坐标为，其横坐标为， ． 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标规律，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键． 2．（2018•锦江区校级自主招生）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到，，，，，，，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为　　 A．886 B．903 C．946 D．990 【答案】 【分析】根据点的坐标变化寻找规律即可． 【解答】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到 ，，，，，，， 发现： 当时，有1个点，共1个点， 当时，有3个点，时，1个点，共4个点； 当时，有4个点，，1个点，，1个点，共6个点； 当时，有5个点，，1个点，，1个点，，1个点，共8个点； 当时，有6个点，，1个点，，1个点，，1个点，，1个点，共10个点； 当，有个点，共个点； 且为正整数， 得， 时，， 且当时，， ， 当时，， ， 个粒子所在点的横坐标为990． 故选：． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律． 3．（2020春•柳州期末）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，，依此规律，则点的坐标是　　 A．， B．， C．， D． 【答案】 【分析】】根据正方形的性质可找出部分点的坐标，根据坐标的变化即可找出，为自然数），再根据，即可找出点的坐标． 【解答】】解：观察，发现：、，，，，，，，，， ，为自然数）． ， ，即点的坐标是． 故选：． 【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点坐标的变化找出变化规律“，为自然数）”是解题的关键． 4．（2022•渝中区校级开学）如图，一只蚂蚁从点出发，向正西方向走1个单位长度到达点；再向正北方向走2个单位长度到达点，再向正东方向走3个单位长度到达点，再向正南方向走4个单位长度到达点，再向正西方向走5个单位长度到达点，，按如此规律走下去，当蚂蚁走到点时，蚂蚁的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】先研究点横坐标的规律，再研究点纵坐标的规律，然后就可以推得所求点的坐标． 【解答】解：先研究点横坐标的规律， ，，，，的横坐标依次为，，2，2，，，4，4，，，6，6，，，8，8，． 总结规律为，的横坐标都为， 对于，由，， 点的横坐标为． 再研究点纵坐标的规律， ，，，，的纵坐标依次为0，2，2，，，4，4，，，6，6，，，8，8，，． 除外，每4个一循环，正负交替， 对于，余数为3， 点纵坐标为， ． 故答案为：． 【点评】本题是一个阅读理解，猜想并总结规律的题目，解答此题的关键是首先确定点的坐标的规律，然后就可以进一步推得所求点的坐标． 二．坐标确定位置 5．（2023春•凯里市校级期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系． （1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置； （2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【分析】（1）结合图象利用各方向角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【解答】解：（1）保龙仓在图书馆南偏西方向上，且距离图书馆； 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）如图所示： 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 三．坐标与图形性质 6．（2024春•潮阳区期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． （1）点的“2属派生点” 的坐标为　　； （2）若点的“3属派生点” 的坐标为，则点的坐标　 　； （3）若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【分析】（1）根据“属派生点”计算可得； （2）设点的坐标为、，根据“属派生点”定义及的坐标列出关于、的方程组，解之可得； （3）先得出点的坐标为，由线段的长度为线段长度的2倍列出方程，解之可得． 【解答】解：（1）点的“2属派生点” 的坐标为，即， 故答案为：； （2）设点的坐标为、， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）点在轴的正半轴上， ，． 点的坐标为，点的坐标为 线段的长为到轴距离为． 在轴正半轴，线段的长为， ，即， ． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 7．（2023春•武威期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． （1）在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，　2或8　； （2）在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； （3）当点在线段上的运动过程中，射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系． 【答案】（1）或； （2）； （3）或． 【分析】（1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时②当时；③当时，分别表示即可； （3）结论：或．分两种情形分别画出两个图形进行求解即可． 【解答】解：（1），满足关系式， ，， ，， ， 当点到的距离为2个单位长度时，，或， 或， 故答案为：2或8； （2）①当时，点在上，此时，． ②当时，点在上，此时，，由于点在第四象限，纵坐标小于0，则； ③当时，点在上，此时，， ； （3）当点在线段上时，或．分四种情况： ①如图1中，，理由如下： ， ， ； ②如图2中，，理由如下： ， ， ； ③如图3中，结论：，理由如下： 连接， ，， ； ④如图4中，结论：，理由如下： 在轴负半轴，在线段上，设交于， ，， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握矩形的性质、图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识是解题的关键． 8．（2023春•威县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，是轴上一动点． （1）点的坐标是 　　，点的坐标是 　　；与的关系是 　　； （2）当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标； （3）若，，，判断，，之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明． 【答案】（1），，，； （2）或； （3）当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【分析】（1）由点，可得，，即可得出点的坐标，由平移的性质可以得出点的坐标和与的关系； （2）由可得，是等高三角形，得到，由，得到，分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时；当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案． 【解答】解：（1）点，， ，， ， ， ， 由平移的性质可得：，， ， 点可以看成点向右平移4个单位长度，点可以看成点向右平移4个单位长度， 可以看成向右平移4个单位长度， ，， 故答案为：，，，； （2）， ，是等高三角形， ， ， ， ①当点在线段上时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或； （3）如图，当点在线段上时，． ， 理由：过点作， ，， ，， ， ， 如图，当点在的延长线上时，， ， 理由：过点作， ，， ，， ， ； 如图，当点在的延长线上时，， ， 理由：过点作， ，， ，， ， ， 综上所述：当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、平移的性质、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是采用分类讨论的思想解题，属于中考常考题型． 四．坐标与图形变化-平移 9．（2023春•渭滨区期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． （1）分别写出各顶点的坐标； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【分析】（1）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标； （2）连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1），，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． ，，； （2）连接，由图可知，， 如果将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由到的方向，平移的距离是5个单位长度． 【点评】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 10．（2023春•林州市期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，点在第四象限，将线段平移至线段的位置，点的对应点是点，点的对应点是点． （1）如图①，点的坐标是，点的坐标是，连接．若在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点的坐标． （2）如图②，当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，且时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）或． （2）猜想：．证明见解析部分． 【分析】（1）设，构建方程求解； （2）利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【解答】解：（1）设． 由题意，， ， ， 则有， ， 或． （2）猜想：． 理由：如图②中，设交于点． ， ， ， ． 【点评】本题考查坐标与图形的变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 五．坐标与图形变化-旋转 11．（2020•天台县模拟）如图，的半径为2，圆心在坐标原点，正方形的边长为2，点、在第二象限，点、在上，且点的坐标为，现将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），，按上述方法旋转2020次后，点的坐标为　　 A． B．， C．， D． 【分析】如图，由题意发现12次一个循环，由余数为4，推出的坐标与相同，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意发现12次一个循环， 余数为4， 的坐标与相同， ，， ，， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形的变化旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 六．黄金分割 12．著名数学家华罗庚倡导优选法，就是对生产和科学试验中提出的问题，根据数学原理，通过尽可能少的试验次数，迅速求得最佳方案的方法．这个数学原理就是利用中国古代黄金分割比值的近似值0.618乘以任意一个数，所得的另一个数，就是最佳的方案． 某医院急诊室的护士利用体温表给病人量体温，按常规测一次体温需3分钟时间，实际上是　1.854　分钟时测的体温，同3分钟时测的体温一样，这　 　分钟与　 　分钟之间的分界点，就是用优选法产生出来的． 【分析】根据黄金分割的意义，把对应的数乘以0.618即为结果． 【解答】解：根据题意得：； ． 故本题答案为：1.854；1.854；1.146． 【点评】此题主要是正确理解题意进行计算． 七．平行线分线段成比例 13．（2017秋•天心区校级月考）如图，在三角形中，为的中点，，，连接交于点，则的值为　3　． 【分析】作交于，交的延长线于．根据，设，求出，即可解决问题； 【解答】解：作交于，交的延长线于． ， 可以设，则， ，设，则， ，， ， ， ， ，，， ， 故答案为3． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 八．相似三角形的性质 14．（2018•梁子湖区模拟）如图，，，，为的中点，，将绕点旋转一周，直线，交于点，连接，则的最小值是　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明，得到，得到，求出和，根据三角形三边关系解答即可． 【解答】解：取的中点，连接、， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，又是的中点， ， 为的中点，是的中点， ， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 九．相似三角形的判定 15．（2023秋•岑溪市期末）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，用表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻，，，．当时，为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案； （2）根据题意，在矩形中，可分为、两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案． 【解答】解：（1）对于任何时刻，，，． 当时，为等腰直角三角形，即：， 解得：， 所以，当时，为等腰直角三角形． （2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有： ，解得， 即当时，； ②当时，，那么有： ，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点评】本题比较复杂，考查了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题． 一十．相似三角形的判定与性质 16．（2024•凉州区二模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 17．（2023•夏津县二模）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结， ①； ②； ③由点、、、构成的四边形是菱形； ④． 其中正确的结论是　　 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ③先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，③正确； ②连接，根据是等边三角形，平分，平分，可得到三边的距离相等，所以，②正确； ④连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，④正确；即可得出结论． 【解答】解：四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中位线， ，故①正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ，， 平行四边形是菱形，故③正确； 连接，如图： 是等边三角形，平分，平分， 到三边的距离相等， ， ，故②正确； 四边形是菱形，平行四边形是菱形， ， ．故④正确． 综上所述：正确的是①②③④， 故选：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大． 18．（2022•安徽三模）如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行公理，平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【解答】解：，， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ，， ①，②， ①②得， ， ， ， ，， ， ， ，故，选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．故选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行公理，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，平行公理，平行线分线段成比例定理． 19．（2021秋•紫金县期末）如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②为中点；③；④，其中结论正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】如图，作于．首先证明，推出，再证明，推出，推出，再证明，推出，再证明即可证明，由此即可一一判断； 【解答】解：如图，作于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ，故①正确， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是中点，故②正确， ， ，， ，故③正确， 设，则，，， ，， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（2023•越秀区校级二模）如图，在等边三角形中，点，分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则； ②若，，则；③；④若，则的最小值为，其中正确的是　　 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到①正确；过作于，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到③正确；以为边作等边三角形，连接，证明点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设于圆交点，即为的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 【解答】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 如图，过作交于， ，， ，， ， ， ；故①正确； 过作于， 则， ， ， ， ，或，故②错误； 在等边中，，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ．故③正确； 以为边作等边三角形，连接， ，， ， ， 点，，，四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心， 设与圆交点，即为的最小值，与交于点， ，， 垂直平分， ， ， 在中，， ，， ， 即的最小值为，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：． 【点评】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键． 21．（2019秋•余杭区期末）如图，在中，，，．点为边上的动点，作菱形，使点、在边上，点在边上．若这样的菱形能作出2个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】求出几种特殊位置的的值判断即可． 【解答】解：如图1中，当四边形是正方形时，设正方形的边长为． 在中，，，， ， 则，， ， ， ， ， 观察图象可知：时，菱形的个数为0． 如图2中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为． ， ， ， 解得， ， 如图3中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为． ， ， ， ， ， ， 观察图象可知：当或时，菱形的个数为0，当或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．此时 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度． 22．（2018•龙湾区一模）如图，在矩形中，，分别是，的中点，与相交于点，与相交于点，，相交于点，，相交于点，若，记和的面积和为，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】首先证明、、、共线，四边形是菱形，设，则，连接交于，则，，由，可得，推出，推出，由和的面积和为，可得，推出，可得． 【解答】解：连接． 四边形是矩形，，， 四边形，四边形都是矩形，且是全等的矩形， ，，， ， 连接，在和中， ， ， ，， 、、共线，同法可证，、、共线，则易证四边形是菱形， ，设，则，连接交于，则，， ， ， ， ， 和的面积和为， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 23．（2021•和平区校级自主招生）如图，在正方形中，，延长至，使，连结，点、分别在边、上运动（不与端点重合），且，连结、，分别交于点、，连结，以下结论正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④连结，则可能平分； ⑤点到直线最小距离为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】①正确．首先证明，再利用三边关系证明； ②正确．利用相似三角形的性质证明即可； ③正确．根据三角形的三条高交于一点证明即可； ④正确．利用四点共圆，当时，满足条件； ⑤正确．设的中点为，过点作于点．利用相似三角形的性质求出，由，推出点在为直径的圆上运动，推出当点落在上时，点到的距离最小． 【解答】解：如图，， ， ， ，故①正确． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，故②正确． 连接交于点，同法可证， ，都是的高， ，故③正确． 连接 ， ，，，四点共圆， 当时，，故④正确． 设的中点为，过点作于点． ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在为直径的圆上运动， 当点落在上时，点到的距离最小，最小距离，故⑤正确， 故选：． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三条高交于一点，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 24．（2020•芗城区校级一模）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是　　 A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】 【分析】设，边上的高为，想办法求出、，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【解答】解：在中，，，， ，设，边上的高为， ， ， ， ， ，， ， 当时，的值随的增大而减小， 当时，的值随的增大而增大． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型． 25．如图，等腰直角的直角边长为3，为斜边上的一点，且，为上一点，若度，则以为边的正方形的面积为　　 A． B． C．4 D．6 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，求得，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，通过，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论． 【解答】解：是等腰直角三角形，直角边， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 以为边的正方形的面积为：． 故选：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】①根据题目已知，可以判断①正确； ②证明可以判断②正确； ③过点作的平行线，根据线段比例关系，得出面积比可以判断③正确； ④过点作两条垂线，利用三角形全等可以判断④正确； ⑤链接，，结合勾股定理和相似可以求出、的长，判断⑤正确． 【解答】解：①在正方形中，， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ②在正方形中，， ， ， ，为的中点，四边形是正方形， ， ， 故②正确； ③如图所示，过点作， ， ③， ， ，， ， 故③正确； ④过点作于点，交的延长线上于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①得， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 故④正确； ⑤如图所示，连接，， 设，则，， ，， ， ， 由面积可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，故选：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生要有较强的综合知识，解决复杂问题的能力． 27．（2020秋•崇川区月考）如图，中，，，，于点，是线段上一点，，，连接、．设、的中点分别为、．设与的交点为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图2中，取中点，中点，连接、，在中，求出，即可解决问题；如图3中，取中点，连接，由，推出，推出，由，可以求出，，即可解决问题． 【解答】解：如图2中，取中点，中点，连接、， 则，，，且，， 在中，， 如图3中，取中点，连接， ，，， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 28．（2019秋•吴兴区期末）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　　 A． B．5.5 C． D． 【分析】设正方形边长为，由与边成的角为，与边成的角为，利用的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题． 【解答】解：设正方形边长为，由与边成的角为，与边成的角为， 在、、，中， 可得① ② 解得，； 两边平方相加得， 所以正方形的边长． 故选：． 【点评】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽． 29．（2019•湖北自主招生）如图，点在内，点、、分别在边、、上，且，，，，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于，延长交于，易证得四边形、四边形为平行四边形，则，，根据相似三角形的判定易得，利用相似比可得，再判断，利用相似比可得，则，所以，于是解得． 【解答】解：延长交于，延长交于，如图， ，，， 四边形、四边形为平行四边形， ，， ，， ， 即， ， ，， ， 即， ， ， ， 即， ． 即的长为． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 30．如图，在中，设，，分别在边，，上，已知，，交于一点，且，则　　． 【分析】设，，，根据等高三角形的面积的比等于底的比得到，同理，，于是得到，通过化简得到，从而得到． 【解答】解：设，，， ， 同理，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了坐标与图形性质． 31．（2020•浙江自主招生）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．则下列结论①，②，③，④中，正确的是 　①②③④　． 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得；则可得，利用三角形外角的性质，即可求得；在上截取，连接，易得点，，，四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得，则可证得；易证得，由相似三角形的对应边成比例，即可得． 【解答】解：四边形是菱形， ， ， ， 即是等边三角形， 同理：是等边三角形 ， 在和中， ， ； 故①正确； ， ， ； 故②正确； 在上截取，连接， ， 点，，，四点共圆， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 故③正确； ，， ， ， ． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 32．（2018•香坊区三模）如图，点为正方形对角线上一点，连接，延长交于点，作交于，连接，若，，则线段长为　　． 【分析】如图，连接，延长到，使得，连接，作于，于．首先证明，利用参数构建方程解决问题即可． 【解答】解：如图，连接，延长到，使得，连接，作于，于． 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，， ， ，设，则， 在中，， ， 解得（舍弃）或3， ， ，，， ，设， ， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 33．（2022•南岗区模拟）如图，中，，，、分别在、上，，于点，，，则　　． 【答案】． 【分析】过点作交于点，连接，连接交于点，通过推导角度可知，且四边形为矩形，设为，表示出，利用相似可求出，进而可得结果． 【解答】解：过点作交于点，连接，连接交于点， 由题意可知：为等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得或（舍， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形与四边形综合知识，需要同学们熟练掌握等腰直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，选择适当的辅助线将这一条件联系起来是解题关键． 34．（2021•安徽模拟）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点． （1）则　　； （2）　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设，，则，得出，则可求出答案； （2）过作，，设正方形的边长是4，根据等边三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， 在正方形中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 设，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， ； 故答案为：； （2）如图，过作，， 设正方形的边长是4， 为正三角形， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题属于几何的综合题，是中考填空题的压轴题，考查的正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，证明三角形相似． 35．（2023•深圳模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，点为的中点，过点作的垂线分别交，于点，，连接交于点，若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值求出，，再根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，连接，根据平分线的性质，易证，进而证明，得到，利用特殊角的三角函数值求出，，进而得到，，然后证明，得到，进而求得，即可求出的长． 【解答】解：过点作交于点， ， ，， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 连接， 点为的中点，， 垂直平分， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，灵活运用三角函数值求边长是解题关键． 36．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，于点，作于，于，与交于点，取的中点，连接，，证明，可得，设，则，所以，根据勾股定理可得，进而可得的最小值． 【解答】解：如图，过点作于点，于点，作于，于，与交于点， 取的中点，连接，， 在中， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，解决本题的关键是得到． 37．（2023秋•包河区校级月考）如图所示，已知，、相交于点，，． （1）若，求． （2）若，求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由得，进一步得出结果； （2）根据得出，，从而，先求得，进而求得结果． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2），， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 38．（2023•越秀区校级开学）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据一季度性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． 一十一．相似三角形的应用 39．（2014•达州）如图，以点为支点的杠杆，在端用竖直向上的拉力将重为的物体匀速拉起，当杠杆水平时，拉力为；当杠杆被拉至时，拉力为，过点作，过点作，垂足分别为点、． ①△△； ②； ③； ④． 其中正确的说法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出，然后求出△△，判断出①正确； 根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确； 根据杠杆平衡原理：动力动力臂阻力阻力臂列式判断出③正确； 求出的大小不变，判断出④正确． 【解答】解：，， ， △△，故①正确； ， 由旋转的性质得，，， ，故②正确； 由杠杆平衡原理，，故③正确； 是定值， 的大小不变， ，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键． 40．（2023•碑林区校级自主招生）如图，平台上有一棵直立的大树，平台的边缘处有一棵直立的小树，平台边缘外有一个向下的斜坡．小明想利用数学课上学习的知识测量大树的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端与小树顶端的影子恰好重合，且都落在斜坡上的处，经测量，长米，长2米，小树高1.8米，斜坡与平台所成的．请你帮小明求出大树的高度（结果保留一位小数）． 【分析】延长交于点，过点作的延长线于点，在直角三角形中，利用角的性质求出和，再利用相似求出长度；最后由，求出即大树的高度即可． 【解答】解：延长交于点，过点作的延长线于点 ， 的长为2米， 米，米 ， 又米 米 大树的高度为15.8米． 【点评】本题考查了相似三角形在解决实际问题中的应用，明确相似三角形的判定定理及其性质，是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$