第23章图形的相似 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第23章图形的相似 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．点的坐标 二．规律型：点的坐标 三．坐标确定位置 四．坐标与图形性质 五．三角形中位线定理 六．坐标与图形变化-平移 七．关于原点对称的点的坐标 八．坐标与图形变化-旋转 九．平行线分线段成比例 一十．相似三角形的判定与性质 一十一．相似三角形的应用 一十二．作图-相似变换 一十三．位似变换 思维导图 考点精讲精练 一．点的坐标 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 1．（2024春•长寿区校级月考）如果是任意实数，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024春•鼓楼区校级期末）平面直角坐标上，在第四象限内有一点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点坐标为 　　． 3．（2024春•余姚市期末）当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则　　． 二．规律型：点的坐标 · 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 4．（2024春•纳溪区期末）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断运动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是　　 A． B． C．0 D．1 6．（2024春•广州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向依次排列：，，，，，，根据这个规律，第2024个点的坐标为 　　． 7．（2024•新会区校级四模）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是 　　． 三．坐标确定位置 · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 8．（2024春•官渡区期末）官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为　　 A． B． C． D． 9．（2024•平遥县二模）住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为 　　． 10．（2024春•南昌期末）已知点在轴上，则点的坐标为 　　． 四．坐标与图形性质 · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 11．（2024春•晋江市期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，下列说法正确的是　　 A．轴 B．轴 C． D． 12．（2024春•通州区期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点，且直线轴，求点的坐标． 五．三角形中位线定理 · 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 13．（2024春•拱墅区期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024春•济阳区期末）如图，在中，，，、分别是、的中点，，则的长是　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6 15．（2024春•北碚区校级期末）如图，在中，、分别是、边上的中点，延长至，使，连接．若，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 16．（2024春•青山湖区校级月考）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若，则EF的长为 　 　． 17．（2024春•五华县期末）如图，在中，平分，于点，点是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，写出线段、、的数量关系，并证明你的结论． 六．坐标与图形变化-平移 · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 18．（2024春•铁西区校级月考）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点的坐标是　　 A． B． C． D． 19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系中，已知，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点，线段上任一点在平移后的对应点为，其中，，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，，的值为　　 A．， B．， C．， D． 20．（2024春•厦门期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点为点．若点，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 21．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•启东市期末）在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是　　 A． B． C． D． 23．（2024•内蒙古）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 　　． 24．（2024春•广州期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，且． （1）在平面直角坐标系中画出三角形并求出三角形的面积； （2）若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，请写出点，，的对应点，，的坐标；若三角形内某一点经过上述平移后与点对应，请写出点的坐标． 七．关于原点对称的点的坐标 · 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 25．（2024春•仓山区期末）平面直角坐标系中，，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为　　 A． B． C． D． 八．坐标与图形变化-旋转 · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 26．（2024•湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 27．（2024•东湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 九．平行线分线段成比例 · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 28．（2024•连云港二模）如图，，若，，则　　． 一十．相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 29．（2024•金东区二模）如图，在中，，于点，，，点是上一点，且，连结并延长交于点，则的面积为 　　． 30．（2024春•南开区期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （Ⅰ）用含有的式子表示和； （Ⅱ）求的大小． 31．（2024•柯桥区模拟）如图，在中，是上的点，是上一点，且，． （1）求证：； （2）若是的中线，求的值． 32．（2024•松山区二模）如图①，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）当点和点重合时，求； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由． 33．（2024•雨花台区模拟）如图，中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 一十一．相似三角形的应用 · 相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 34．（2024•辽阳三模）如图，是放大镜成像原理图，若物体的高为，，，则像的高为　　 A． B． C． D． 35．（2024•深圳模拟）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为　　 A． B． C． D． 36．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 　　； （2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到． 一十二．作图-相似变换 · 作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 37．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 38．（2024•柯桥区模拟）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点，使． （2）在图2中找一点，使． 一十三．位似变换 · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 39．（2023秋•义乌市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 40．（2024•渝中区校级二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知，则的长等　　 A．3 B． C． D．4 第23章图形的相似 中档题拓展训练★★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．点的坐标 1．（2024春•长寿区校级月考）如果是任意实数，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】求出点的横坐标大于纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：， 点的横坐标大于纵坐标， 点一定不在第二象限． 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，求出点的横坐标与纵坐标的大小关系是解题的关键． 2．（2024春•鼓楼区校级期末）平面直角坐标上，在第四象限内有一点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】解：点在第四象限，到轴的距离是4，到轴的距离是5， 点的横坐标是5，纵坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 3．（2024春•余姚市期末）当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则　4　． 【答案】4． 【分析】根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值； 【解答】解：点为爱心点， ， ， 又， ， 解得， ，即． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了点的坐标，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键． 二．规律型：点的坐标 4．（2024春•纳溪区期末）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断运动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据所给运动方式，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：观察蚂蚁运动的方式可知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为，为正整数）， 当时， ，， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现点的坐标可表示为，为正整数）是解题的关键． 5．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【分析】根据所给函数图象，发现点纵坐标的变化规律，再根据中心对称图形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点的坐标为， 则． 因为函数图象关于点中心对称， 所以， 将代入函数解析式得， ， 即， 所以的值为1． 故选：． 【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算得出点的坐标，进而发现是解题的关键． 6．（2024春•广州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向依次排列：，，，，，，根据这个规律，第2024个点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据所给的点的排序可知，第为奇数）个点的坐标为，据此可解决问题． 【解答】解：根据所给点的排列方式可知， 第为奇数）个点的坐标为． 又， 所以第2025个点的坐标是． 则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度， 所以第2024个点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查点的坐标排列规律，能根据所给点的排列得出第为奇数）个点的坐标为是解题的关键． 7．（2024•新会区校级四模）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是 　　． 【答案】． 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2024次碰到球桌边时小球的位置． 【解答】解：由图可得，点第一次碰撞后的位置的坐标为， 第二次碰撞后的位置的坐标为， 第三次碰撞后的位置的坐标为， 第四次碰撞后的位置的坐标为， 第五次碰撞后的位置的坐标为， 第六次碰撞后的位置的坐标为，， 小球位置每6次为一个周期依次循环， ， 小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是， 故答案为：． 【点评】本题考查点坐标规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 三．坐标确定位置 8．（2024春•官渡区期末）官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以建立直角坐标系即可求解． 【解答】解：根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以确定直角坐标系中原点， 金刚塔的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查坐标确定位置，能够根据已知的点确定原点的位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键． 9．（2024•平遥县二模）住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解． 【解答】解：由骑手点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系： 小明家点的坐标为； 故答案为． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 10．（2024春•南昌期末）已知点在轴上，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据轴上点的坐标的横坐标为0，可得出的值，代入即可得出点的坐标． 【解答】解：由题意点横坐标为0，即， 解得：， 则点的纵坐标为：． 所以点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是坐标轴上的点的坐标的特征，注意轴上的点的横坐标为0． 四．坐标与图形性质 11．（2024春•晋江市期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，下列说法正确的是　　 A．轴 B．轴 C． D． 【答案】 【分析】根据垂直于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点坐标为，点坐标为， 则，两点的横坐标相等，纵坐标不相等， 所以轴． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂直于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 12．（2024春•通州区期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点，且直线轴，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点． 【分析】（1）根据轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）由平行于轴的点的横坐标相同，可得，即，求得的值，再将的值代入求得纵坐标即可解答． 【解答】解：（1）点在轴上，纵坐标为0， ， ； （2）直线轴，点， ，， 点． 【点评】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． 五．三角形中位线定理 13．（2024春•拱墅区期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定得出，再求出即可． 【解答】解：是的中位线，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，能熟记三角形中位线性质是解此题的关键． 14．（2024春•济阳区期末）如图，在中，，，、分别是、的中点，，则的长是　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理求出． 【解答】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 由勾股定理得：， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 15．（2024春•北碚区校级期末）如图，在中，、分别是、边上的中点，延长至，使，连接．若，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由、分别是、边上的中点，可得是的中位线，从而可得，，，故，又，，，则，，进而可得，可得，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，、分别是、边上的中点， 是的中位线． ，，． ． ， ． ． ，，， ，． ． ． ． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．（2024春•青山湖区校级月考）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若，则EF的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据条件可得四边形BCFE为平行四边形，即可求解． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴， ∵CF∥BE， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质、中位线定理等知识点．掌握相关几何结论是解题关键． 17．（2024春•五华县期末）如图，在中，平分，于点，点是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，写出线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题． （2）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）结论：， 理由：如图2中，延长交的延长线于点． ， ， ，， ， ， ，， ，， ． 【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 六．坐标与图形变化-平移 18．（2024春•铁西区校级月考）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减列式计算即可得解． 【解答】解：将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系中，已知，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点，线段上任一点在平移后的对应点为，其中，，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，，的值为　　 A．， B．， C．， D． 【答案】 【分析】利用图象法判断即可． 【解答】解：观察图象可知，当，时，的面积最大． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 20．（2024春•厦门期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点为点．若点，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平移的性质，结合点和点的坐标，可表示出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【解答】解：因为点平移后的对应点为点， 所以，， 所以，， 即点平移后对应点的坐标为， 所以点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 21．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：将点向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2， 所以点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 22．（2024春•启东市期末）在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：平移后的坐标为，即坐标为， 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律． 23．（2024•内蒙古）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】过点作轴于点，利用点，的坐标表示出线段，的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，则结论可得． 【解答】解：过点作轴于点，如图， 点、， ，． 线段平移得到线段， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ． ， ． ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 24．（2024春•广州期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，且． （1）在平面直角坐标系中画出三角形并求出三角形的面积； （2）若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，请写出点，，的对应点，，的坐标；若三角形内某一点经过上述平移后与点对应，请写出点的坐标． 【答案】（1）7； （2），，的坐标分别为，，，点的坐标为． 【分析】（1）利用非负性求出和的值，求出，的坐标，即可画出三角形；把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）根据平移变换的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）， ，， ，， 、的坐标分别为，， 如图所示： 的面积； （2）把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形， ，，的坐标分别为，，，点的坐标为． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，非负数的性质和三角形的面积，掌握平移的规律是解题的关键． 七．关于原点对称的点的坐标 25．（2024春•仓山区期末）平面直角坐标系中，，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再由坐标原点关于直线对称的点为，可得出直线的解析式，求出直线与直线的交点坐标，再利用中点坐标公式即可得出点的坐标． 【解答】解：设直线的解析式为， ，，， ， 解得， 直线的解析式为， 坐标原点关于直线对称的点为， 直线的解析式为， ， 解得， 直线与直线的交点坐标为，， 设点，则，， ，， ，． 故选：． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化对称，关于原点对称的点的坐标，熟知轴对称的性质是解题的关键． 八．坐标与图形变化-旋转 26．（2024•湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 27．（2024•东湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依次求出每次旋转后点的对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得， 旋转2秒后点的对应点的坐标为， 旋转3秒后点的对应点的坐标为， 旋转4秒后点的对应点的坐标为， 旋转5秒后点的对应点的坐标为， ， 由此可见，点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现， 又因为余1， 所以旋转2025秒后点的对应点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现是解题的关键． 九．平行线分线段成比例 28．（2024•连云港二模）如图，，若，，则　3　． 【答案】3． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，再求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 一十．相似三角形的判定与性质 29．（2024•金东区二模）如图，在中，，于点，，，点是上一点，且，连结并延长交于点，则的面积为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于，先根据勾股定理求出，根据的等积变换可以求出的长，从而可以求得和的长，在根据勾股定理求出的长，同理可以求出的长，然后根据的等级变换，求出的长，最后根据和相似，求出的长，从而可以求得的面积． 【解答】解：过点作于，如图： 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，需要学生熟练运用勾股定理，三角形的面积公式，根据等积变换来求三角形的高是本题解题的关键． 30．（2024春•南开区期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （Ⅰ）用含有的式子表示和； （Ⅱ）求的大小． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2）连接，由勾股定理得，可得，即可求解． 【解答】解：（1）， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ，； （2）如图，连接， 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 31．（2024•柯桥区模拟）如图，在中，是上的点，是上一点，且，． （1）求证：； （2）若是的中线，求的值． 【答案】（1）见解答过程； （2）． 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由三角形的外角性质可得：，，可证得，则有，再结合（1）的结论，以及是的中线，即可求解． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）是的外角，是的外角， ，， 由（1）可知，，， ， ， 是的中线， ， ， 由（1）得：， ， ， 即． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 32．（2024•松山区二模）如图①，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）当点和点重合时，求； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求的长； （2）先证明，再得到； （3）证明，得到是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）如图所示，连接， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， 当点和点重合时， ，， 在中，； （2）如图所示， ，， ，， ， ， ， ，， ； （3）如图所示，过点作于点， ，， ，， 则四边形是矩形， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，掌握定理和判定方法是解题的关键． 33．（2024•雨花台区模拟）如图，中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4.8． 【分析】（1）先根据证明，得，再根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）先根据（1）可得：，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，证明，列比例式可得的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键． 一十一．相似三角形的应用 34．（2024•辽阳三模）如图，是放大镜成像原理图，若物体的高为，，，则像的高为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得，过作于，则，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：根据题意得， 过作于， 则， ， △△， ， ， ， △， ， ， ， 答：像的高为， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 35．（2024•深圳模拟）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：， ， ，， ， ， ， 解得：， 像到小孔的距离为， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 36．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 　11.3　； （2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到． 【答案】（1）11.3； （2）旗杆高度为12米； （3）雕塑高度约为． 【分析】（1）由影长恰好等于自己的身高，知是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故， （2）证明，可得，故，即旗杆高度为12米； （3）由，得，设 ，，则，知，同理可得，即得，从而，解出即可得雕塑高度约为． 【解答】解：（1）影长恰好等于自己的身高， 是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， ， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，， 又， ， ，即， 解得， 旗杆高度为12米； （3）如图： ，， ， ， 设 ，，则， ， 同理可得， ， ， 解得； 经检验，是原方程的解， 故， 雕塑高度约为． 【点评】本题考查解直角三角形应用，涉及相似三角形判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 一十二．作图-相似变换 37．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】过点作于点，点即为所求（由，，推出，再根据，可以证明． 【解答】解：如图，点即为所求． 【点评】本题考查作图相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 38．（2024•柯桥区模拟）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点，使． （2）在图2中找一点，使． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程． 【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可； （2）取格点以及的中点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，即为所求； （2）如图2所示，点即为所求． 由作图可知，为线段的垂直平分线， ， ， ． 【点评】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 一十三．位似变换 39．（2023秋•义乌市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用位似的性质得到与的周长之比，然后利用点、的坐标得到，，从而得到与的周长之比． 【解答】解：与是以原点为位似中心的位似图形， 与的周长之比， ，， ，， 与的周长之比． 故选：． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 40．（2024•渝中区校级二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知，则的长等　　 A．3 B． C． D．4 【答案】 【分析】根据题意推知，两个三角形的位似比为得到相似比为． 【解答】解：与关于点位似，位似比为， ，且相似比为， ，即， ． 故选：． 【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记位似图形与相似图形间的关系是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$