第22章一元二次方程 基础题过关检测★【12个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章一元二次方程 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程-直接开平方法 四．解一元二次方程-配方法 五．解一元二次方程-公式法 六．解一元二次方程-因式分解法 七．根的判别式 八．根与系数的关系 九．由实际问题抽象出一元二次方程 一十．一元二次方程的应用 一十一．高次方程 一十二．无理方程 思维导图 考点精讲精练 一．一元二次方程的定义 · 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1．（2024春•庐阳区校级期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A．1 B． C．0 D． 2．（2024春•道外区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 3．（2024•工业园区模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是　　 A．2 B． C．3 D． 4．（2024春•肇源县期末）写出有一个根为0的关于的一元二次方程：　　． 5．（2024•红花岗区三模）已知是一元二次方程的根，代数式的值是 　　． 三．解一元二次方程-直接开平方法 · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 6．（2024春•青浦区校级期末）解关于的方程：． 四．解一元二次方程-配方法 · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 7．（2024春•石景山区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 五．解一元二次方程-公式法 · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 8．（2023秋•龙泉驿区期末）解下列方程： （1）； （2）（请用配方法解）． 六．解一元二次方程-因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 9．（2024春•通州区期末）一元二次方程的解完全正确的是　　 A． B．， C．， D．， 10．（2024•兴庆区校级一模）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•湖州期末）如表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是　　 0 1 2 3 10 4 0 0 A． B． C．或 D．或 12．（2024春•思明区校级期末）（1）解方程：； （2）计算：． 13．（2024春•宁波期末）（1）计算：； （2）解方程：． 14．（2024春•湖州期末）（1）计算：； （2）解方程：． 15．（2024春•历城区期末）解下列方程． （1）； （2）． 七．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 16．（2024•鞍山二模）关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2024•和平区校级三模）一元二次方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 18．（2024•黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 八．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 19．（2024•平顶山三模）关于的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根为　　 A． B． C． D．或 20．（2024•兴宁市校级模拟）已知y1、y2是一元二次方程y2+3y＝0的两个实数根，下列结论正确的是（　　） A．y1•y2＝0 B．y1+y2＝3 C． D．y1＝y2 21．（2024春•丽水期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是　　 A． B． C．1 D． 22．（2024春•庐阳区校级期末）关于的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 　　． 23．（2024•盐城三模）若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 　　． 九．由实际问题抽象出一元二次方程 · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 24．（2024•龙岩模拟）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•彰武县期末）某校初一年级开展了一班一特色活动，一班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动，试验园的形状是长16米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为120平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为　　 A． B． C． D． 26．（2024•蒸湘区一模）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•南岗区期末）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请个球队参加比赛，下列算式正确的是　　 A． B． C． D． 28．（2024•满洲里市模拟）某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•玉环市期末）劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•房山区期末）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元．若设每件成本的平均降低率是，则可列方程为：　　． 一十．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 31．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪．则该矩形草坪边的长是　　米． A．6 B．8 C．10 D．6或10 32．（2024•南阳模拟）国产动画电影《舒克贝塔五角飞碟》于2024年元旦档上映，电影的点映及预售总票房突破400万元，若票房以后每天按相同的增长率增长，则一天后票房总收入将达到 　　万元．（用含的代数式表示） 33．（2024春•南岗区期末）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至，则平均每次降息的百分率为 　　． 34．（2024春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为 ．请补全关于的方程： 　　． 35．（2024春•顺义区期末）列方程解应用题： 斑马鱼是生物学研究的模式生物，具有很高的科研价值．若选取一条斑马鱼作为观察实验样本，对其视网膜厚度进行量化分析，此时它的视网膜厚度为（微米），两周后视网膜厚度达到了（微米）．假设每周视网膜厚度的增长率相同，求这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率． 36．（2024春•嘉兴期末）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边，的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 37．（2024春•贵池区期末）端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进、两种端午节礼盒，其中种礼盒进货价为28元盒，种礼盒进货价为22元盒．（注：利润销售价进货价） （1）该超市第一次用7200元购进、两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量； （2）端午节临近时，该超市发现种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使种礼盒平均每天销售利润为240元？ 38．（2024春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 试营业发现 每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元． 探究一 若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利 　　元．（用含有的代数式表示） 探究二 某天该奶茶店总盈利为630元．则当日卖出了多少杯奶茶？ 一十一．高次方程 · 高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 39．（2024春•浦东新区期中）已知关于的方程是二项方程，那么　　． 一十二．无理方程 · 无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 40．（2024春•长宁区期末）方程的实数根是 　　． 第22章一元二次方程 基础题过关检测★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的定义 1．（2024春•庐阳区校级期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A．1 B． C．0 D． 【答案】 【分析】理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2，结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（2024春•道外区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【解答】解：、中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； 、中含有1个未知数，故是一元二次方程，符合题意； 、，该方程含有2个未知数，故本选项不合题意； 、，该方程是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 二．一元二次方程的解 3．（2024•工业园区模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【分析】把代入方程的出新方程，解方程即可． 【解答】解：把是一元二次方程得： ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于的方程， 4．（2024春•肇源县期末）写出有一个根为0的关于的一元二次方程：　　． 【分析】设方程的两根是0和1，因而方程是即，本题答案不唯一． 【解答】解：设方程的另一根为1， 则根据因式分解法可得方程为， 即； 本题答案不唯一． 故答案为：． 【点评】本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可． 5．（2024•红花岗区三模）已知是一元二次方程的根，代数式的值是 　3　． 【答案】3． 【分析】把代入一元二次方程得到，然后利用代数式变形可得到代数式的值． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解一元二次方程-直接开平方法 6．（2024春•青浦区校级期末）解关于的方程：． 【答案】． 【分析】利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：， ， ， 因为， 所以， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 四．解一元二次方程-配方法 7．（2024春•石景山区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解答】解：， ， 则， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 五．解一元二次方程-公式法 8．（2023秋•龙泉驿区期末）解下列方程： （1）； （2）（请用配方法解）． 【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案． （2）根据配方法即可求出答案． 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，． （2）， ， ， ， ， ， ． ，． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 六．解一元二次方程-因式分解法 9．（2024春•通州区期末）一元二次方程的解完全正确的是　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解： ， ，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．（2024•兴庆区校级一模）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答． 【解答】解： 正方形面积（阴影部分）， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程的一般步骤是解题的关键． 11．（2024春•湖州期末）如表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是　　 0 1 2 3 10 4 0 0 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】由表知，当或时，，据此可得答案． 【解答】解：由表知，当或时，， 所以方程的根是或， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 12．（2024春•思明区校级期末）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2） ． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2024春•宁波期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解；（1）原式 ； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法，二次根式的化简等知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． 14．（2024春•湖州期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）先计算乘法、化简二次根式，再计算减法即可； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， ， 则或， 解得，． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 15．（2024春•历城区期末）解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【分析】利用因式分解法及配方法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， 则或， 所以，． （2）， ， ， ， 则， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 七．根的判别式 16．（2024•鞍山二模）关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据方程没有实数根得出，解之求出的范围，结合各选项可得答案． 【解答】解：根据题意，得：， 解得：， 的值可以是3， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 17．（2024•和平区校级三模）一元二次方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】求出方程的判别式，利用判别式判别根的情况即可． 【解答】解：△， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解题的关键． 18．（2024•黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】由根的判别式可得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【解答】解：根据题意得， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 八．根与系数的关系 19．（2024•平顶山三模）关于的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根为　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】求出的值，再解一元二次方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是1， ， 解得， ，即， 解得，， 另一个根为3； 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是求出和能用因式分解法解一元二次方程． 20．（2024•兴宁市校级模拟）已知y1、y2是一元二次方程y2+3y＝0的两个实数根，下列结论正确的是（　　） A．y1•y2＝0 B．y1+y2＝3 C． D．y1＝y2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵y1、y2是一元二次方程y2+3y＝0的两个实数根， ∴y1+y2＝﹣3，y1•y2＝0，Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，故A正确，B、C错误， ∴y1≠y2，故D错误， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2，则，是解题的关键． 21．（2024春•丽水期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】求出的值，利用因式分解法解方程，可得结论． 【解答】解：方程的一个根是， ， ， 方程为， ， 或， ，． 故另一个根为1． 故选：． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解方程解的定义． 22．（2024春•庐阳区校级期末）关于的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据根与系数的关系，得出，，求出与的值，然后计算即可得出答案． 【解答】解：方程的两根之和为，两根之积为3， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键． 23．（2024•盐城三模）若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 　　． 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为，从而得出另一个根． 【解答】解：设方程的另一个根为，则 ， 解得． 故答案为． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 九．由实际问题抽象出一元二次方程 24．（2024•龙岩模拟）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由该超市一月份的营业额及第一季度平均每月增长率，可得出该超市二、三月份的营业额，结合该超市第一季度的总营业额是700万元，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：该超市一月份的营业额为200万元，且第一季度平均每月增长率为， 该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元． 根据题意得：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（2023秋•彰武县期末）某校初一年级开展了一班一特色活动，一班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动，试验园的形状是长16米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为120平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】若设小道的宽为米，则种植蔬菜的部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据种植面积为120平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设小道的宽为米，则种植蔬菜的部分可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2024•蒸湘区一模）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， ． 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 27．（2024春•南岗区期末）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请个球队参加比赛，下列算式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【解答】解：由题意得， ， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环比赛． 28．（2024•满洲里市模拟）某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题利用基本数量关系：商品原价平均每次降价的百分率）现在的价格，列方程即可． 【解答】解：由题意可列方程是：． 故选：． 【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价平均每次降价的百分率）现在的价格． 29．（2024春•玉环市期末）劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可先用的代数式表示出2023年的产量，那么2023年的产量增长率），把相应数值代入即可求解． 【解答】解：2023年的产量为， 2024年的产量在2023年产量的基础上增加，为， 则列出的方程是． 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 30．（2024春•房山区期末）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元．若设每件成本的平均降低率是，则可列方程为：　　． 【答案】． 【分析】设每件成本的平均降低率是，根据题意可得，原来的成本降价百分率）现在的成本，据此列方程即可． 【解答】解：由题意得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 一十．一元二次方程的应用 31．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪．则该矩形草坪边的长是　　米． A．6 B．8 C．10 D．6或10 【答案】 【分析】设草坪的长为米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解． 【解答】解：设草坪的长为米，则宽为， 由题意得，， 解得：，， 墙为16米， 不合题意． 故， （米． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 32．（2024•南阳模拟）国产动画电影《舒克贝塔五角飞碟》于2024年元旦档上映，电影的点映及预售总票房突破400万元，若票房以后每天按相同的增长率增长，则一天后票房总收入将达到 　　万元．（用含的代数式表示） 【答案】． 【分析】因为票房以后每天按相同的增长率增长，一天后 票房总收入将达到万元． 【解答】解：票房以后每天按相同的增长率增长，一天后票房总收入将达到万元． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 33．（2024春•南岗区期末）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至，则平均每次降息的百分率为 　20　． 【答案】20． 【分析】设平均每次降息的百分率为，利用该银行经过最近的两次降息后一年期存款的年利率该银行降息前一年期存款的年利率平均每次降息的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每次降息的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 平均每次降息的百分率为． 故答案为：20． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2024春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为 ．请补全关于的方程： 　　． 【答案】． 【分析】如果设通道的宽度为 ，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程． 【解答】解：设通道的宽度为 ， 那么草坪的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 35．（2024春•顺义区期末）列方程解应用题： 斑马鱼是生物学研究的模式生物，具有很高的科研价值．若选取一条斑马鱼作为观察实验样本，对其视网膜厚度进行量化分析，此时它的视网膜厚度为（微米），两周后视网膜厚度达到了（微米）．假设每周视网膜厚度的增长率相同，求这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率． 【答案】． 【分析】设这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为，利用两周后这条斑马鱼视网膜厚度初检时这条斑马鱼视网膜厚度这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2024春•嘉兴期末）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边，的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】（1），； （2）． 【分析】任务一：利用的长长方形硬纸板的宽收纳盒的高，可求出的长；利用的长（长方形硬纸板的长收纳盒的高，可求出的长； 任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，制作的收纳盒的高为， ，． 答：该收纳盒的底面的边的长为，的长为； 任务二：设该收纳盒的高为 ，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高维． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，求出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 37．（2024春•贵池区期末）端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进、两种端午节礼盒，其中种礼盒进货价为28元盒，种礼盒进货价为22元盒．（注：利润销售价进货价） （1）该超市第一次用7200元购进、两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量； （2）端午节临近时，该超市发现种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使种礼盒平均每天销售利润为240元？ 【答案】（1）种礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒； （2）将销售价定为每盒28元时，才能使种礼盒平均每天销售利润为240元． 【分析】（1）设种礼盒购进盒，则种礼盒购进盒，利用总价单价数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即购进种礼盒的数量），再将其代入中，即可求出购进种礼盒的数量； （2）设销售价定为每盒元，则每盒的销售利润为元，平均每天可售出盒，利用总利润每盒的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设种礼盒购进盒，则种礼盒购进盒， 根据题意得：， 解得：， ． 答：种礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒； （2）设销售价定为每盒元，则每盒的销售利润为元，平均每天可售出盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又为了尽快减少库存， ． 答：将销售价定为每盒28元时，才能使种礼盒平均每天销售利润为240元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 38．（2024春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 试营业发现 每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元． 探究一 若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利 　　元．（用含有的代数式表示） 探究二 某天该奶茶店总盈利为630元．则当日卖出了多少杯奶茶？ 【答案】（1）； （2）当日卖出了70杯奶茶． 【分析】探究一：根据当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元．即可得出结论； 探究二：根据某天该奶茶店总盈利为630元．列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：探究一：由题意可知，若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利元， 故答案为：； 探究二：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当日卖出了70杯奶茶． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 一十一．高次方程 39．（2024春•浦东新区期中）已知关于的方程是二项方程，那么　0　． 【分析】根据关于的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【解答】解：关于的方程是二项方程， ，即， 故答案为：0． 【点评】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题关键． 一十二．无理方程 40．（2024春•长宁区期末）方程的实数根是 　　． 【答案】． 【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方，得， 解得：， 经检验是原方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$