第22章一元二次方程培优题突破练习★★★【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章一元二次方程 培优题突破练习★★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程-直接开平方法 三．解一元二次方程-公式法 四．解一元二次方程-因式分解法 五．根的判别式 六．根与系数的关系 七．一元二次方程的应用 八．高次方程 九．无理方程 思维导图 考点精讲精练 一．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 1．（2024•营山县一模）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 二．解一元二次方程-直接开平方法 · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2．（2023春•龙口市期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为　　 A．1，5 B．，3 C．，1 D．，5 三．解一元二次方程-公式法 · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 3．（2022•路北区校级一模）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　 A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 四．解一元二次方程-因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 4．（2024•禹城市模拟）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 5．（2024春•新昌县期末）解方程： （1） （2） 五．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 6．（2018•鞍山）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D． 7．（2023春•西湖区校级期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 8．（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 9．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 10．（2024•桓台县二模）实数，，满足，则　　 A． B． C． D． 11．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 12．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个． ①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么； ③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 13．（2024•渠县校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 14．（2008秋•慈溪市月考）已知双曲线与直线没有交点，则的取值范围是　　． 15．方程恒有相异两实根，若方程也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则的取值范围是　　． 16．（2020•黄州区校级模拟）若方程有实根，则　　 17．（2017秋•涪城区校级期末）已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是　　． 18．（2022春•上虞区期末）已知关于的方程 （1）求证：无论取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根，满足，求的值． 19．（2022秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 20．（2023秋•龙胜县期中）已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 六．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 21．（2013•雨花区校级自主招生）设，是方程的两个实根，实数，满足：，，则的值为　　 A．2005 B．2003 C． D． 22．（2021•武进区校级自主招生）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 23．将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推．下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或2或5；③关于的方程为正整数）只有2个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 24．（2004•芜湖）关于的方程有两个乘积为1的实数根，方程有一个大于0且小于4的实数根，则的整数值是　　． 25．（2009春•丽水期末）已知，是方程的两根，则的值为　 　． 26．（2004•厦门）已知关于的方程．、是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）；（2）；（3）， 则正确结论的序号是　　．（在横线上填上所有正确结论的序号） 27．（2022秋•兴文县期中）对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记为、，则　 　． 28．已知关于的二次方程的两根为、，且，则　　，　　． 29．设，，，是四个不同的实数，如果，是方程的两根，，是方程的两根，那么的值为　　． 30．（2022秋•黄冈期末）已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求的值． 七．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 31．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有　　个． 32．（2010•柯城区校级模拟）中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 　　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 　　人被感染． 33．（2022秋•茶陵县期末）如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 34．（2024春•南岗区校级月考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 35．（2022秋•海口期末）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？ （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 36．（2023春•莱芜区期中）如图，在矩形中，，、、、分别从、、、出发，沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若，则，，． （1）当为何值时，点、重合； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 37．（2021秋•城关区期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 八．高次方程 · 高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 38．（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 39．填空： （1）方程的根为　　． （2）方程的根为　　． （3）方程的根为　　． （4）方程的根为　　． 九．无理方程 · 无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 40．（2013•青羊区校级自主招生）方程的实数根的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第22章一元二次方程 培优题突破练习★★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的解 1．（2024•营山县一模）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【答案】 【分析】因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值． 【解答】解：， ， 或， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，． 二．解一元二次方程-直接开平方法 2．（2023春•龙口市期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为　　 A．1，5 B．，3 C．，1 D．，5 【答案】 【分析】根据已知方程的解得出或，求出即可． 【解答】解：一元二次方程的两根分别为，1， 方程中或， 解得：或3， 即方程的两根分别为和3， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 三．解一元二次方程-公式法 3．（2022•路北区校级一模）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　 A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】 【分析】根据，可得，分4种情况讨论：①时，解得；②时，解得或（舍；③时，解得或（舍；④时，方程无解． 【解答】解：，， ， ①时，，解得； ②时，，解得或（舍； ③时，，解得或（舍； ④时，方程无解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 四．解一元二次方程-因式分解法 4．（2024•禹城市模拟）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【答案】 【分析】因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值． 【解答】解：， ， 或， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，． 5．（2024春•新昌县期末）解方程： （1） （2） 【分析】（1）十字相乘法将左边因式分解，得到两个一元一次方程，进一步求解可得； （2）移项后提取公因式，得到两个一元一次方程，进一步求解可得． 【解答】解：（1）， 或， 解得：或； （2）， ， 则或， 解得：或． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 五．根的判别式 6．（2018•鞍山）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D． 【答案】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 7．（2023春•西湖区校级期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， ， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或， 或， ． 故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 8．（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【答案】 【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解． 【解答】解：平分，， ，， ， ， ， 是的内角平分线的交点， ， 同理可得出：， ， ， ， 即：， 即△， 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出是解题关键． 9．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤令，则存在实数、，使得；正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 10．（2024•桓台县二模）实数，，满足，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，． 【解答】解：设一元二次方程为 当时，原方程化为 所以一元二次方程为有实数根， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是用特殊值法． 11．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】 【分析】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 12．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个． ①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么； ③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】①“”、“ ”、“ ”打乱顺序分6种情况进行讨论，并计算即可； ②根据△，分别求出每一个一元二次方程中的参数的取值范围； ③对于每个代数式进行配方即可求出最值． 【解答】解：，，，， ①； ； ； ； ； ； 或或，即共有三种不同结果， 故①符合题意； ②当，有两个不相等的实数根，则； 当，即有两个不相等的实数根，则△，； 当，即有两个不相等的实数根，则△，； ，方程都有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③；；， 的最小值为0， 故③符合题意； 综上，符合题意得有①②③，即3个， 故选：． 【点评】本题考查的是跟的判别式和正负数，利用一元二次方程跟的判别式判断跟的情况和配方法求最值是解题的关键． 13．（2024•渠县校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【答案】 【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解． 【解答】解：平分，， ，， ， ， ， 是的内角平分线的交点， ， 同理可得出：， ， ， ， 即：， 即△， 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出是解题关键． 14．（2008秋•慈溪市月考）已知双曲线与直线没有交点，则的取值范围是　　． 【分析】根据方程解析式，可以得到，即可转化为一个一元二次方程，利用判别式求出的取值范围． 【解答】解：因为双曲线与直线没有交点， 即方程无解， 去分母，得， △， 解得． 【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力． 15．方程恒有相异两实根，若方程也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则的取值范围是　　． 【分析】由方程恒有相异两实根，则△，而△，得为任意实数，由方程也有相异两实根，△，即；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求的范围． 【解答】解：方程恒有相异两实根， △，而△， 又方程有相异两实根， △，即； 对于二次函数，，它们的对称轴相同，且与轴都有两个不同得交点，要让与轴两个交点都在与轴两个交点之间，则要满足与轴的交点在与轴的交点上方，如图， 则有， 所以的取值范围是． 故答案为． 【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解决不等式的问题． 16．（2020•黄州区校级模拟）若方程有实根，则　．　 【分析】由二次方程有实根，得到△，即△，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到，的方程组，解方程组即可求出它们的比． 【解答】解：方程有实根， △，即△， 化简得：， ，而， ，，解得，， 所以． 故答案为． 【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力． 17．（2017秋•涪城区校级期末）已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是　　． 【分析】根据字母系数与方程的关系分情况讨论方程的解是否符合题意即可求出答案． 【解答】解：当时，， ，方程的解大于小于0， 不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ①当时，，解得， 解得，， 不符合题意； ②当时， 解得，，符合题意． 当， 化简，得， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了字母系数与方程的关系，解决本题的关键是分情况讨论． 18．（2022春•上虞区期末）已知关于的方程 （1）求证：无论取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根，满足，求的值． 【分析】（1）证明其根的判别式大于零即可； （2）由得到，然后代入到，即可求得的值． 【解答】解：（1）证明：方程的根的判别式△ 无论取何实数恒成立 这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解由根与系数的关系．得 则 ，，则 是方程的根， 则 整理，得一 解，得，． 【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况． 19．（2022秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△，即可得出，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：是直角三角形， 理由是：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 即， ， 是直角三角形． 【点评】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根；等边三角形的三边相等等． 20．（2023秋•龙胜县期中）已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当或时，把代入方程可解得，则方程化为，解得，，所以，或，，然后计算的周长． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，这个方程总有实数根； （2）解：当时，△，解得，方程化为，解得，而，故舍去； 当或时，把代入方程得，解得，方程化为，解得，，即，或，， 所以的周长． 【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质． 六．根与系数的关系 21．（2013•雨花区校级自主招生）设，是方程的两个实根，实数，满足：，，则的值为　　 A．2005 B．2003 C． D． 【答案】 【分析】由根与系数关系，，是方程的两个实根可得：，； 化简式子的值为：； 将，，，代入即可得出结果． 【解答】解：，是方程的两个实根可得：，， 故， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，有一定难度，关键要掌握，是方程的两根时，，． 22．（2021•武进区校级自主招生）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围． 方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而，可以看成是二次函数的图象与轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量时，对应的函数值的符号，即可得出结论． 【解答】解：方法1、方程有两个不相等的实数根， 则且△， 由， 解得， ，， 又， ，， 那么， ， 即， 解得， 最后的取值范围为：． 故选． 方法2、由题意知，，令， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， 抛物线与轴的交点分别在1两侧， 当时，时，， ， （不符合题意，舍去）， 当时，时，， ， ， ， 故选：． 【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 2、根与系数的关系为：，． 23．将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推．下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或2或5；③关于的方程为正整数）只有2个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 【解答】解：由题意得，，， ，． ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 依次类推， ，， ，， ，故①正确； ， ， ， 为正整数，为整数，为整数， 或或， 解得或或，故②正确； 关于 的方程， 当时，， ， ， 整理，得， 即， △， 此时原方程有两个不相等的实数根； 当时，， ， ， 即， 整理，得， △， 此时原方程无实数根， 关于的方程为正整数）只有2个实数根，故③正确； ， 当时，取得最小值，故④错误． 故正确的结论有①②③共3个． 故选：． 【点评】本题考查算式变画规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键． 24．（2004•芜湖）关于的方程有两个乘积为1的实数根，方程有一个大于0且小于4的实数根，则的整数值是　，　． 【分析】先利用两根之积为1与根的判别式求得的值，把方程化简后，求得其两根， 再由方程有一个大于0且小于4的实数根，求得的整数值． 【解答】解：关于的方程有两个乘积为1的实数根， 即， 解得， 方程有两个实根，因而△， ； 则方程就是， 即， 解得，， 方程有一个大于0且小于4的实数根， 得到， 解得， 的整数值是，． 故答案为：，． 【点评】本题根据一元二次方程根与系数的关系求得的值，利用因式分解法解一元二次方程求得方程的解，根据方程的解的范围求得的范围是解决本题的关键． 25．（2009春•丽水期末）已知，是方程的两根，则的值为　4　． 【分析】可以将代数式变形为含有两根和、两根积的形式，再利用根与系数的关系，将两根和、两根积的值代入即可求得． 【解答】解：，是方程的两根， ，， ，， ，， ． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系以及方程解的含义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 26．（2004•厦门）已知关于的方程．、是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）；（2）；（3）， 则正确结论的序号是　（1）（3）　．（在横线上填上所有正确结论的序号） 【分析】（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确； （2）根据两根之积就可以判定是否正确； （3）利用根与系数的关系可以求出的值，然后也可以判定是否正确． 【解答】解：（1）方程中， △ （1）正确； （2），故（2）错误； （3）， 即，， ， 正确． 故填空答案：（1）（3）． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握． 27．（2022秋•兴文县期中）对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记为、，则　　． 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【解答】解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， 原式 ， 故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 28．已知关于的二次方程的两根为、，且，则　1　，　　． 【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再利用根与系数的关系可得：， ，而，，即可求得的值，即可求得方程，解方程求得方程的两根，从而求得的值． 【解答】解：由题意知， ， ， 而， ， ， 解得：，． 又方程有两根， △， ， 舍去． 当时，原方程化为：， 解得，，， ． 故填空答案：1，． 【点评】1、根与系数的关系为：，． 2、将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 3、一元二次方程有根，则△． 29．设，，，是四个不同的实数，如果，是方程的两根，，是方程的两根，那么的值为　1210　． 【分析】根据根与系数的关系：若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数即可求解． 【解答】解：，是方程的两根，，是方程的两根， ，，． 又，，得①， 同理有②， ①②得：， 因为，故， 所以原式． 故答案为1210． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． 30．（2022秋•黄冈期末）已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求的值． 【分析】（1）由根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义可把化为关于的方程，则可求得的值． 【解答】解： （1）关于的一元二次方程有两个实数根， △，即，解得； （2）、是方程的两个实数根， ，， ， ， 即，解得或， 又， ． 【点评】本题主要考查根的定义及根的判别式，由根的判别式求得的取值范围是解题的关键． 七．一元二次方程的应用 31．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有　6　个． 【答案】答：符合要求的新三角形有6种． 【分析】分别以三边为腰分情况画图． 【解答】解：如图所示： 如图1，以4为腰的等腰三角形； 如图2，以5为腰的等腰三角形； 如图3，作的中垂线，得等腰； 如图4，以5为腰的等腰三角形； 如图5，同理得等腰三角形； 如图6，同理得等腰三角形； 符合要求的新三角形有6种． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及作图，熟知等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． 32．（2010•柯城区校级模拟）中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 　8　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 　　人被感染． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，在第二轮传染中作为传染源的有人，则第二轮得病的有人，则两轮后有人得病．根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人． 依题意列方程：，即， 解方程得：，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人， 经三轮传播，将有人被感染． 【点评】本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，故人数应该累加． 33．（2022秋•茶陵县期末）如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 【分析】设道路宽为米，根据耕地的面积道路的面积试验田的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设道路宽为米， 根据题意得：， 解得：，． ， 舍去． 答：道路宽为1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积道路的面积试验田的面积，列出关于的一元二次方程是解题的关键． 34．（2024春•南岗区校级月考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【分析】（1）一边的长为，则另一边，根据长方形面积公式可得函数解析式； （2）根据得出关于的方程，解方程即可得． 【解答】解：（1）设矩形苗圃的一边的长为，则， ，； （2）根据题意，得：， 解得：或， 答：当或时，所围矩形苗圃的面积为． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据面积公式得出函数解析式是解题的关键． 35．（2022秋•海口期末）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？ （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】（1）根据每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童装降价5元，每天可售出件，再根据每件盈利40元，即可得出每天的盈利； （2）设每件应降价元，每天可以多销售的数量为件，每件的利润为，由总利润每件的利润数量建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件， 每件童装降价5元，每天可售出件； 每天可盈利：（元； （2）设每件应降价元，由题意，得 ， 解得：，， 则每件童装应降价10元或20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 36．（2023春•莱芜区期中）如图，在矩形中，，、、、分别从、、、出发，沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若，则，，． （1）当为何值时，点、重合； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由于若，则，，，而点、重合，那么，解这个方程即可求出的值； （2）由于当点到达点时，，此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧． 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点在点的左侧时，由此即可得到关于的方程，解方程即可； ②当点在点的右侧时，由此也可以列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1），重合， ， ，（舍去）， 当时，，重合； （2）因为当点到达点时，，此时点和点还未相遇， 所以点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，依题意得 ， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形； ②当点在点的右侧时，依题意得 ， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形， 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 37．（2021秋•城关区期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 【分析】此题利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润，由此列方程解答即可． 【解答】解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得，； 扩大销售， 答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元． 【点评】此题考查最基本的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润． 八．高次方程 38．（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由可得则、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由此画出函数图象求解即可． 【解答】解：，当时，， ， 、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由函数图象可知，，根据已知条件无法判定，， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键． 39．填空： （1）方程的根为　，．　． （2）方程的根为　　． （3）方程的根为　　． （4）方程的根为　　． 【分析】（1）把和分别结合在一起，得到和，设把方程降次，求出的值，然后再求出的值．（2）把方程化为，利用立方差公式和提公因式分解因式，求出方程的根．（3）把方程用因式分解得到，然后求出方程的根．（4）分析方程的结构，发现，所以有，得到，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根． 【解答】解：（1）原方程化为： 设，得到： ，． 当时：， 即： △，方程无解． 当时：． ， ，． （2）原方程化为： ，． （3） 因式分解得： ，， 当时，得：，． 方程的解为：，，，． （4） 当 ，． 当 ，． 方程的解为：，，，． 故答案为：（1），．（2），．（3），，，．（4），，，． 【点评】本题考查的是高次方程，（1）用换元法把方程降次，先求出的值，然后再求出的值．（2）用分组分解法因式分解求出方程的根．（3）先把方程分解求出和，然后再把剩下的项解一元二次方程求出方程的另外两个根．（4）分析方程的结构特点，得到两个一元二次方程，分别用因式分解法求出方程的根． 九．无理方程 40．（2013•青羊区校级自主招生）方程的实数根的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】把原方程变形为，利用换元法和完全平方公式，化简方程并讨论求解． 【解答】解：原方程可变形为， 设，则 即， ①当时， ， 解得， 由于的值不在当的范围内，不合题意． ②当时 ，此时方程无解； ③当时， ， 解得， 由于的值不在当的范围内，不合题意． 综上原方程无解． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简和分类讨论的思想．发现方程特点利用完全平方公式和换元法是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$