第22章一元二次方程 中档题拓展训练　【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章一元二次方程 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的一般形式 三．一元二次方程的解 四．解一元二次方程-配方法 五．解一元二次方程-因式分解法 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 思维导图 考点精讲精练 一．一元二次方程的定义 · 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二．一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 2．（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 三．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 3．（2024春•罗湖区校级期末）若是关于的方程的一个根，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024春•上虞区期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． 四．解一元二次方程-配方法 · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 5．（2024春•通州区期末）用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024•肥城市一模）（1）解不等式组； （2）用配方法解一元二次方程：． 五．解一元二次方程-因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 7．（2024•满洲里市模拟）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的根，则 这个三角形第三边的长是　　 A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 8．（2023秋•武昌区期末）下列各数中，是方程的根的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024春•义乌市校级月考）（1）计算：； （2）解方程：． 10．（2024春•诸暨市期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 六．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 11．（2024•邻水县模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 12．（2024•夏邑县模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 13．（2024•南宁一模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 14．（2024春•玉环市期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是　　 A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 15．（2024•沁水县二模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 16．（2024•辽宁一模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 17．（2024春•杭州期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 18．（2024•新沂市模拟）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 　　． 19．（2024春•道里区期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 　　． 20．（2024•武侯区校级三模）关于的一元一次方程有两个实数根、．若、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，则的值为 　　． 21．（2024春•金东区期末）对于实数，定义新运算：△，若关于的方程6△有两个相等实数根，则的值为 　　． 22．（2024春•顺义区期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根小于，求的取值范围． 七．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 23．（2024春•义乌市期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　　 A． B． C． D． 24．（2024春•滁州期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B．2 C． D．3 25．（2024春•贵池区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C．2024 D．2025 26．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数，满足，，则的值为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•仓山区期末）已知一元二次方程的两个实数根是，，则的结果是　　． 28．（2024•长沙模拟）已知，是一元二次方程的两根，则　　． 29．（2024春•北仑区期末）若实数，满足，且，则的值为 　　． 30．（2024春•寿县期末）已知，是方程的两个根． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 31．（2024•永善县二模）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求的值．根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 32．（2024•五华区校级模拟）中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•义乌市期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低元，要使日盈利为800元，则可列方程　　 A． B． C． D． 九．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 34．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 　　人． 36．（2024春•滁州期末）某景区在2022年春节长假期间，共接待游客20万人次，2024年春节长假期间，共接待游客28.8万人次． （1）求景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一种奶茶，每杯成本为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额？ 37．（2024春•越城区期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为． （1）设通道的宽度为，则　　（用含的代数式表示）； （2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 38．（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 39．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 40．（2024春•通州区期末）如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为厘米），如图所示，求宽度． 第22章一元二次方程 中档题拓展训练★★【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意； ．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意； ．是一元二次方程，符合题意； ．含有两个未知数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 二．一元二次方程的一般形式 2．（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 三．一元二次方程的解 3．（2024春•罗湖区校级期末）若是关于的方程的一个根，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】将代入方程中得到关于的方程并求解即可． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ，即， 解得， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 4．（2024春•上虞区期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． 【答案】 【分析】把代入方程可得关于的一元一次方程，即可解得答案． 【解答】解：一元二次方程的一个根为1， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 四．解一元二次方程-配方法 5．（2024春•通州区期末）用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据配方法的求解步骤，求解即可． 【解答】解：， 移项可得：， 左右两边同时加上， 则． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6．（2024•肥城市一模）（1）解不等式组； （2）用配方法解一元二次方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集； （2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为； （2）， ， ， ， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组． 五．解一元二次方程-因式分解法 7．（2024•满洲里市模拟）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形第三边的长是　　 A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 【分析】先解方程，求出的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解． 【解答】解：， ，， 当时，（不合题意，舍去）， ，即这个三角形第三边的长是4． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握． 8．（2023秋•武昌区期末）下列各数中，是方程的根的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，再判断即可． 【解答】解：， ， 或， ，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 9．（2024春•义乌市校级月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）先化简二次根式，再将括号展开，计算乘法，再算加减法； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， 解得：，． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和公式法求解方程． 10．（2024春•诸暨市期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），； （2），． 【分析】利用因式分解法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 则或， 所以，． （2）， ， ， ， 则或， 所以，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 六．根的判别式 11．（2024•邻水县模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【答案】 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围． 【解答】解：方程有两个不相等的实数根， △， 解得， 又方程为一元二次方程， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 12．（2024•夏邑县模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出△，求出的取值范围即可得出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， △， 解得， 的取值范围是且， 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 13．（2024•南宁一模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】判断出判别式的值，可得结论． 【解答】解：对于一元二次方程， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 14．（2024春•玉环市期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是　　 A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】 【分析】根据方程解的定义，根的判别式一一判断即可． 【解答】解：、若是方程的解，则，正确，本选项不符合题意； 、若，则方程必有两个不相等的实数根，错误，时，两个根相等，都是0，本选项不符合题意； 、若，则方程必有两个不相等的实根，正确，本选项不符合题意； 、若，则方程必有两个不相等的实数根，正确，本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2024•沁水县二模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据根的判别式进行判断即可． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 16．（2024•辽宁一模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】先求出“△”的值，再判断即可． 【解答】解：， △， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 17．（2024春•杭州期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　9　． 【答案】9． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 18．（2024•新沂市模拟）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 　　． 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围． 【解答】解：方程有两个实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 19．（2024春•道里区期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】当△时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根， △， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程方程根的判别式是关键． 20．（2024•武侯区校级三模）关于的一元一次方程有两个实数根、．若、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为，则的值为 　4　． 【答案】4． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根和与两根积，再根据矩形的长和宽，与一条对角线完成了直角三角形，利用勾股定理求出两根的平方和，再替换成两根和与两根积，列出关于的方程，进行解答即可． 【解答】解：关于的一元一次方程有两个实数根、， ，， 若、分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系与矩形的性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和矩形的性质． 21．（2024春•金东区期末）对于实数，定义新运算：△，若关于的方程6△有两个相等实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据△，构建方程求解． 【解答】解：△， ， ， 由题意，△， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 22．（2024春•顺义区期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到△，根据非负数的性质得到△，然后根据判别式的意义得到结论． （2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得． 【解答】（1）证明：，，， △ ， 方程总有两个实数根． （2）解：△， ， ，． 此方程有一个根小于， ， ． 故的取值范围是． 【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 七．根与系数的关系 23．（2024春•义乌市期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到则的值． 【解答】解：一元二次方程的两根分别为，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 24．（2024春•滁州期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B．2 C． D．3 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为，是方程的两个根， 所以，， 则， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 25．（2024春•贵池区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C．2024 D．2025 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为，是方程的两个根， 所以，， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系的关系是解题的关键． 26．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数，满足，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断出，是方程的两根，可得，，利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：实数，满足，， ，是方程的两根， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查根与系数关系，分式的化简求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．（2024春•仓山区期末）已知一元二次方程的两个实数根是，，则的结果是　　． 【分析】把，代入，计算即可得到结果． 【解答】解：，， ． 故答案为． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 28．（2024•长沙模拟）已知，是一元二次方程的两根，则　6　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 29．（2024春•北仑区期末）若实数，满足，且，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】利用，，，则可把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，再把分解因式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，， 即，， 而， 、可看作方程的两根， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 30．（2024春•寿县期末）已知，是方程的两个根． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由，是方程的两个相等实数根，根据根的判别式的意义得到△，即，解关于的方程即可； （2）根据根与系数的关系，，代求出的值即可． 【解答】解：（1）△ ， ，是方程的两个相等实数根， △， ； （2）由题意可得，， 又， ， 即， ，， 又， ． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2024•永善县二模）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求的值．根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为840平方米，即可得出关于的一元二次方程． 【解答】解：设每条道路的宽为米，则草坪的部分可以看成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（2024•五华区校级模拟）中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人，然后根据题意可列出方程：． 【解答】解：根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人， 列方程为， 故选：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张贺卡，有个人是解决问题的关键． 33．（2024春•义乌市期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低元，要使日盈利为800元，则可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设每捆衣架售价降低元，根据一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆列方程即可得到结论． 【解答】解：设每捆衣架售价降低元，根据题意得， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 九．一元二次方程的应用 34．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 35．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 　12　人． 【答案】12． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染的人数是12人． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2024春•滁州期末）某景区在2022年春节长假期间，共接待游客20万人次，2024年春节长假期间，共接待游客28.8万人次． （1）求景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一种奶茶，每杯成本为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1）景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额． 【分析】（1）2022年春节长假期间接待游客的人次增长率）年春节长假期间接待游客人次，把相关数值代入计算，进而得到合适的年平均增长率即可； （2）利润每杯奶茶的利润定价降低的钱数），把相关数值代入，求得合适的解即可． 【解答】解：（1）设景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为． ． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）每杯售价为元． ． 整理得：． ． 解得：，． 让顾客获得最大优惠， ． 答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．难点是判断出降价后的销售量． 37．（2024春•越城区期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为． （1）设通道的宽度为，则　　（用含的代数式表示）； （2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）根据各边的长，可得出三块空白区域可合成长为，宽为的矩形，结合建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）矩形荒地的长为，宽为，且通道的宽度为 ， ． 故答案为：； （2）三块空白区域可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽度为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 38．（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 【答案】（1）土豆平均亩产量的年增长率为； （2）该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 【分析】（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为，根据2023年土豆的平均亩产量达到1440千克，列出方程进行求解即可； （2）设增加土豆种植面积亩，根据土豆种植的总成本不变，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为． 根据题意，得． 解得，．（不合题意，舍去） 答：土豆平均亩产量的年增长率为． （2）设增加土豆种植面积亩． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去），． 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 39．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1）； （2）50元． 【分析】（1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 40．（2024春•通州区期末）如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为厘米），如图所示，求宽度． 【答案】2厘米． 【分析】根据小型长方形优秀事迹展板的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：宽度为2厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$