第21章二次根式 中档题拓展训练★★【7个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第21章二次根式 中档题拓展训练★★【7个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 考点梳理 一．二次根式有意义的条件 二．二次根式的性质与化简 三．最简二次根式 四．同类二次根式 五．二次根式的加减法 六．二次根式的混合运算 七．二次根式的化简求值 思维导图 考点精讲精练 一．二次根式有意义的条件 · 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 1．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•藁城区期末）二次根式中的取值可以是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024春•南岸区期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 4．（2024春•莱西市期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•靖江市校级月考）若等式成立，则的取值范围为 　　． 6．（2024春•获嘉县期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 7．（2024•合肥二模）要使有意义，则的取值范围为 　　． 8．（2024春•花山区校级期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 二．二次根式的性质与化简 · 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 9．（2024春•潍城区期末）使在实数范围内成立的的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•兴宾区期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024•平顶山三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•思明区期末）　　；　　；　　；　　． 13．（2024春•海州区期末）化简　　． 14．（2024春•西城区校级期中）已知，互为相反数，并且，则　　． 三．最简二次根式 · 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 15．（2024春•藁城区期末）在中，最简二次根式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024春•椒江区期末）下列选项中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•青秀区校级期末）下列是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•酉阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 四．同类二次根式 · 同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 19．（2024春•梁溪区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 五．二次根式的加减法 · 二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 20．（2024•银川校级二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 21．（2024•通辽）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•思明区校级期末）计算：． 六．二次根式的混合运算 · 二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 23．（2024春•怀柔区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•昌邑市期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2024春•长汀县期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•苍南县期末）下列选项中，化简正确的是　　 A． B． C． D． 27．（2024春•襄州区期末）下列计算错误的是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•永清县校级月考）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•宜兴市期末）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•苏州期末）计算： （1）； （2）． 31．（2024春•朝阳区期末）计算：． 32．（2024春•嵊州市期末）计算：（1）； （2）． 33．（2024春•黄石港区期末）计算：． 34．（2024春•广信区期末）小明计算时，想起分配律． 于是他按分配律解答过程如下： 解：原式． （1）他的解法正确吗？若不正确，请说明理由？ （2）请写出正确的解答过程． 35．（2023秋•锡山区期末）计算：（1）； （2）． 七．二次根式的化简求值 · 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 36．（2024春•泸县期末）若，则代数式的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2024春•花山区校级期末）若的小数部分为的整数部分为，则的值为 　　． 38．（2024春•柯桥区期末）已知，则代数式的值为 　　． 39．（2024春•朝阳区期末）已知，求代数式的值． 40．（2024春•济阳区期末）【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：，这个公式的推导过程如下： ． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ；（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，，求的值； （3）若，，求的值． 第21章二次根式 中档题拓展训练★★【7个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．二次根式有意义的条件 1．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 2．（2024春•藁城区期末）二次根式中的取值可以是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出的范围． 【解答】解：依题意，得， 解得：． 二次根式中的取值可以是3． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3．（2024春•南岸区期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”和分式分母不为零进行计算即可得． 【解答】解：由题意得，， 解得且， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件． 4．（2024春•莱西市期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件，得出的取值范围． 【解答】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 5．（2024春•靖江市校级月考）若等式成立，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出答案． 【解答】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是二次根式的性质的应用． 6．（2024春•获嘉县期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】直接利用二次根式的定义得出答案． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键． 7．（2024•合肥二模）要使有意义，则的取值范围为 　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：有意义， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 8．（2024春•花山区校级期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【解答】解：在实数范围内有意义， ，解得：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 二．二次根式的性质与化简 9．（2024春•潍城区期末）使在实数范围内成立的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 10．（2023秋•兴宾区期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可． 【解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质． 11．（2024•平顶山三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则、完全平方式进行解题即可． 【解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12．（2024春•思明区期末）　3　；　　；　　；　　． 【答案】3；；；5． 【分析】根据二次根式的性质、立方根的定义进行解题即可． 【解答】解：；；；． 故答案为：3；；；5． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．（2024春•海州区期末）化简　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质，化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确题意，利用二次根式的性质解答． 14．（2024春•西城区校级期中）已知，互为相反数，并且，则　　． 【答案】． 【分析】先根据，互为相反数得，与联立成方程组，解方程组求出，，再把，的值代入所求式子进行计算即可． 【解答】解：，互为相反数， ， ， ①得：③， ②③得：， ， 把代入①得：， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是根据已知条件列出关于，的方程，求出，． 三．最简二次根式 15．（2024春•藁城区期末）在中，最简二次根式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义解答． 【解答】解：二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键． 16．（2024春•椒江区期末）下列选项中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意； 、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数是小数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数中含能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 17．（2024春•青秀区校级期末）下列是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 18．（2024春•酉阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式． 【解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意 、，不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念是解题的关键． 四．同类二次根式 19．（2024春•梁溪区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　3　． 【答案】3． 【分析】先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【解答】解：， 最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能得出是解此题的关键． 五．二次根式的加减法 20．（2024•银川校级二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】．根据合并同类二次根式的法则进行计算即可； ．根据多项式除以单项式法则进行计算即可； ．根据完全平方公式进行计算即可； ．根据幂的乘方和积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、完全平方公式、合并同类二次根式法则、幂的乘方和积的乘方法则． 21．（2024•通辽）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的计算方法逐项进行判断即可． 【解答】解：，因此选项不符合题意； ．，因此选项符合题意； ，因此选项不符合题意； ，因此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法，掌握合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的计算方法，二次根式的性质与化简方法以及二次根式的加减法的计算方法是正确解答的关键． 22．（2024春•思明区校级期末）计算：． 【答案】2． 【分析】利用绝对值的性质及二次根式加减法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查实数的性质及二次根式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 六．二次根式的混合运算 23．（2024春•怀柔区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断． 【解答】解：、原式，原计算错误，不符合题意； 、与2不能合并，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 、原式，原计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 24．（2024春•昌邑市期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、与不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（2024春•长汀县期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；利用二次根式的除法法则对选项进行判断；利用二次根式的减法运算对选项进行判断；利用二次根式的加法运算对选项进行判断． 【解答】解：．，所以选项不符合题意； ．，所以选项符合题意； ．与2不能合并，所以选项不符合题意； ．与不能合并，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 26．（2024春•苍南县期末）下列选项中，化简正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：，故选项错误，不符合题意； 与不能合并，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 27．（2024春•襄州区期末）下列计算错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：，故选项正确，不符合题意； ，故选项正确，不符合题意； ，故选项正确，不符合题意； ，故选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 28．（2024春•永清县校级月考）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则逐项判断即可解答． 【解答】解：．，所以选项错误，不符合题意； ．与不是同类二次根式，不能相加，所以选项错误，不符合题意； ．，所以选项正确，符合题意； ．，所以选项错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则等知识点，灵活运用二次根式的相关运算法则是解答本题的关键． 29．（2024春•宜兴市期末）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质对、选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断． 【解答】解：．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．2与不能合并，所以选项不符合题意； ．，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 30．（2024春•苏州期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）1． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 31．（2024春•朝阳区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 32．（2024春•嵊州市期末）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 33．（2024春•黄石港区期末）计算：． 【答案】2． 【分析】根据二次根式的性质和乘法分配律计算，然后再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 34．（2024春•广信区期末）小明计算时，想起分配律． 于是他按分配律解答过程如下： 解：原式． （1）他的解法正确吗？若不正确，请说明理由？ （2）请写出正确的解答过程． 【答案】． 【分析】（1）除法没有分配律，所以小明的解法错误； （2）先把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【解答】解：（1）他的解法不正确．除法没有分配律； （2）正确步骤如下： 原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 35．（2023秋•锡山区期末）计算：（1）； （2）． 【答案】． 【分析】（1）先化简和计算除法，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方根公式和二次根式的性质化简，再算减法即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 七．二次根式的化简求值 36．（2024春•泸县期末）若，则代数式的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】先把原式化为完全平方公式的形式，再把的值代入进行计算即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 37．（2024春•花山区校级期末）若的小数部分为的整数部分为，则的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】先估算出与的大小，从而得到、的值，然后代入计算即可． 【解答】解：， ． 的小数部分为， ． ， ． ． ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 38．（2024春•柯桥区期末）已知，则代数式的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可． 【解答】解： ， 当时， 原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 39．（2024春•朝阳区期末）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】利用完全平方公式，二次根式的性质进行化简计算，即可解答． 【解答】解：， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 40．（2024春•济阳区期末）【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：，这个公式的推导过程如下： ． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ；（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，，求的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解答； （2）； （3）． 【分析】（1）先补两项，然后利用分组分解法因式分解； （2）先利用立方差公式变形得到原式，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算； （3）与（2）的方法一样得到，再利用，得到，然后求的值． 【解答】解：（1） ； （2） ； ，， 原式； （3） ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$