3.1.1函数的概念（九大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.1.1函数的概念 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点2 同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点3 区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点4 常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 题型一 函数关系的判断 1．下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 2．下列关系不是函数关系的是 （填序号）． ①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系； ②某同学学习时间与其学习成绩的关系； ③人的睡眠质量与身体状况的关系． 3．（多选）下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 题型二 集合与区间的转化 7．不等式的解集用区间表达为 ． 8．用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 9．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 10．已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为 ． 11．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 12．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若，，如何表示？ 题型三 求具体函数的定义域 13．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，，则集合中的元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．函数的定义域为 ． 16．求函数的定义域 ． 17．函数的定义域是 18．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 题型四 同一个函数 19．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 20．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 21．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 23．下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 （填入所有正确项的序号）． 题型五 求函数值 24．已知函数，则 ． 25．已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 26．若，的值为 . 27．已知定义域为的函数满足，求出是（    ） A．0 B． C．1 D．2 28．已知，则 . 29．如果函数满足，且，那么 . 30．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 题型六 根据函数值求自变量或参数 31．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 32．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 34．已知，则使得的x值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 35． 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 36．已知函数. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的值. 题型七 抽象函数的定义域 37．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 39．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 40．函数的定义域是，则函数的定义域是 . 41．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 42．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 题型八 一次、二次、反比例函数的值域 43．已知函数，函数的值域是什么？ 44．函数在的值域为 . 45．求值域： (1)， (2)， 46．下列函数定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 47．（多选）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 48．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 题型九 根式型、分式型函数的值域 49．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 50．函数的值域为 51．函数的值域为 ． 52．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 53．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 54．求函数的值域. 55．求函数的值域． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1函数的概念 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点2 同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点3 区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点4 常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 题型一 函数关系的判断 1．下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 2．下列关系不是函数关系的是 （填序号）． ①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系； ②某同学学习时间与其学习成绩的关系； ③人的睡眠质量与身体状况的关系． 【答案】②③ 【详解】对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系； 而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系． 故答案为：②③ 3．（多选）下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应， 由图象可看出，表示函数关系的有AD； BC项的对应关系中，均出现了一个对应两个值的情况， 不符合函数的定义，不是函数． 故选：AD． 4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 5．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 6．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除； 对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除； 对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除； 对选项D：满足函数关系的条件，正确. 故选：D 题型二 集合与区间的转化 7．不等式的解集用区间表达为 ． 【答案】. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 8．用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 9．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确； 故选：D 10．已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为 ． 【答案】(－1，＋∞) 【详解】由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1. 故a的取值范围是(－1，＋∞)． 故答案为：(－1，＋∞) 【点睛】本题考查了区间的定义，需掌握区间的特征，属于基础题. 11．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）,所以不等式所有解的集合是 12．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若，，如何表示？ 【答案】答案见解析 【详解】区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立． 若，，则． 题型三 求具体函数的定义域 13．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 14．已知集合，，则集合中的元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据可得，解得， 即可得，又， 所以，因此集合中的元素的个数为2个. 故选：B 15．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 16．求函数的定义域 ． 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 17．函数的定义域是 【答案】 【详解】依题意，，即，，即. 故答案为： 18．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 题型四 同一个函数 19．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 20．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 21．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A. ，定义域都为R，故表示同一函数； B. ，故不是同一函数； C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数； D. ，的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数， 故选：AC 22．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】A选项中：与对应关系不同， 故不是同一函数，故A不正确； B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同， 故是同一函数，故B正确； C选项中：当时，，当时，，所以， 故与是同一函数，故C正确； D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同， 故不是同一函数，故D不正确. 故选：BC． 23．下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 （填入所有正确项的序号）． 【答案】③⑤ 【详解】①不同，定义域不同，的定义域为，的定义域为； ②不同，对应关系不同，，； ③中，，解得， 中，令，解得， 故定义域、对应关系都相同，③相同； ④，， 故对应关系不同，④不同； ⑤相同，定义域、对应关系都相同． 故答案为：③⑤ 题型五 求函数值 24．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】由函数，可得当自变量，其函数值均为，所以. 故答案为：. 25．已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 26．若，的值为 . 【答案】 【详解】因为， 则. 故答案为：. 27．已知定义域为的函数满足，求出是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】令则，所以， 故选：D 28．已知，则 . 【答案】14 【详解】在中，令，解得， 所以. 故答案为：14 29．如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【详解】. 故答案为：. 30．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 题型六 根据函数值求自变量或参数 31．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】C 【详解】由图可知，若，则或2. 故选：C. 32．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得. 故选：A 33．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B 34．已知，则使得的x值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】令，所以，故，所以， 故选：C 35． 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，，解得. （2）当时，， 所以. 36．已知函数. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)4； (2)或. 【详解】（1）∵函数， ∴当时，； （2）函数的定义域为， 因为，所以， 即，解得或； 所以或. 题型七 抽象函数的定义域 37．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为， 则函数的定义域是， 故选：C. 38．已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，由题意得且，解得且，不合要求，A错误； B选项，中，且，解得，不合要求，B错误； C选项，中，令且，解得且，满足要求，C正确； D选项，中，令且，解得且，不合要求，D错误. 故选：C 39．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 即，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 40．函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 41．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 42．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 题型八 一次、二次、反比例函数的值域 43．已知函数，函数的值域是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 所以函数的值域是{0，1，4} 44．函数在的值域为 . 【答案】 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 45．求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 46．下列函数定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域和值域都是，A错； 对于B，的定义域为，值域为，B对； 对于C，的定义域和值域都是，C错； 对于D，的定义域和值域都是，D错. 故选：B. 47．（多选）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A，D，与都为一次函数， 所以它们的定义域和值域都为，故A，D正确 选项B，为二次函数，定义域为， 且， 所以其值域为，故B不正确， 选项C，为反比例函数， 定义域是，值域是，都不是． 故C不正确， 故选：AD. 48．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 题型九 根式型、分式型函数的值域 49．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 50．函数的值域为 【答案】 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 51．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，因为，所以，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 52．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 53．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 54．求函数的值域. 【答案】 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 55．求函数的值域． 【答案】 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$