3.1.1 第1课时 函数的概念（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件系统梳理函数概念与性质单元核心知识，涵盖函数定义、三要素、区间表示及模型构建，通过“逐点清”分模块结合表格对比、微点解析与例题练习，构建逻辑严密的知识网络。 其亮点在于分层练习设计，如多选判断与实际情境题，培养数学思维与符号表达能力，通过矩形面积等建模案例发展应用意识，助力学生巩固基础，教师精准把握学情提升复习效率。

第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 3.1 函数的概念 3.1.1 函数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素，能够正确使用“区间”的符号来表示某些集合. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的概念 逐点清(二)　同一个函数 逐点清(三)　区间的概念 4 逐点清(四)　构建函数模型 5 课时检测 逐点清(一)　函数的概念 01 函数的定义及相关概念 多维理解 对应关系 给定两个集合A，B为非空实数集，如果对于集合A中的______ _____，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，称f：A→B为___________________________ 对应关系 记作：___________ 定义域 x的取值范围____ 值域 函数值的集合___________ 任意一 个数x 唯一确定 从集合A到集合B的一个函数 y=f(x)，x∈A A {f(x)|x∈A} |微|点|助|解| (1)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集； (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应； (3)从对应的角度看，函数只有两种：一对一，多对一.一对多不是函数； (4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系； (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. 1.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是 (　 ) A.A={-1，0，1}，B={0，1}，f：A中的数平方 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数开方 C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数 D.A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 √ 微点练明 √ 解析：按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义. 2.(多选)如图不能作为函数y=f(x)的图象的是 (　 ) 解析：观察图象可知，A、B、C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象.D中图象是函数图象. √ √ √ √ 3.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 (　 ) A.{y|-1≤y≤1} B.R C.{y|2≤y≤3} D.{-1，0，1} x x<2 2≤x≤3 x>3 y -1 0 1 解析：函数值只有-1，0，1，故值域为{-1，0，1}. 4.(多选)下列函数的定义域是R的是 (　 ) A.y=x+1 B.y=x2 C.y= D.y=2x √ √ √ 解析：A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都为R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R. 逐点清(二)　同一个函数 02 同一个函数的概念 多维理解 前提条件 (1)定义域______；(2)对应关系__________ 结论 这两个函数是同一个函数 相同 完全一致 |微|点|助|解| 判断两个函数是否为同一个函数的注意点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形. 1.(多选)下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.f(x)=x，g(x)=()2 B.f(x)=x，g(x)= C.f(n)=2n-1，g(n)=2n+1(n∈N) D.f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1 √ 微点练明 √ 解析：对于A，定义域不同；对于C，定义域、对应关系都不同；对于B、D，定义域与对应关系都相同. 2.判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数： (1)f(x)=，g(x)=x-5； 解：两函数定义域不同，所以不是同一个函数. (2)y=·，y=. 解：y=·的定义域为{x|-1≤x≤1}，y=的定义域为{x|-1≤x≤1}，即两者定义域相同.又因为y=·= ，所以两函数的对应关系也相同.故y=·与y=是同一个函数. 逐点清(三)　区间的概念 03 1.设a，b∈R，且a<b，规定如下： 多维理解 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 _______ {x|a<x<b} 开区间 _______ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 _______ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 _______ [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 ________ ________ (a，+∞) ________ (-∞，a) (-∞，+∞) [a，+∞) (-∞，a] |微|点|助|解|　　对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点； (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； (3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示； (4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则； (5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“+∞”或“-∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号. 1.集合{x|x<0或x≥1}用区间表示为 (　 ) A.(-∞，0)∪(1，+∞) 　B.(-∞，0)∪[1，+∞) C.(-∞，0)∩[1，+∞) 　D.(0，1] √ 微点练明 2.下列集合不能用区间的形式表示的个数为 (　 ) ①A={0，1，5，10}；②{x|2<x<10，x∈N}；③⌀；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}. A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：区间形式可以表示连续数集，是无限集.①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示；④是等边三角形组成的集合，是图形的集合，不是数集；⑥Q是有理数集，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(-∞，0]∪[3，+∞).故选D. 3.已知[a，2-a2]为一确定区间，则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-2，1)　 B.(-1，2)　 C.[-2，1]　 D.[-1，2] √ 解析：因为[a，2-a2]为一确定区间，所以a<2-a2⇒a2+a-2<0⇒-2<a<1. 4.已知函数f(x)与函数g(x)=是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为_______________.  (-∞，0)∪(0，1] 解析：因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同，所以f(x)的定义域需满足则即x≤1且x≠0. 逐点清(四)　构建函数模型 04 [典例]　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系. (1)f(x)=； 解：设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)=. 其中x的取值范围A={x|x>0}，f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. (2)f(x)=2x+； 解：设矩形的长为x，周长为f(x)， 那么f(x)=2x+. 其中x的取值范围A={x|x>0}，f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥4}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x+. (3)f(x)=. 解：设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)=.其中x的取值范围A={x|x>0}，f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长. |思|维|建|模| 构建问题情境的步骤 (1)综合考虑构建具体的实际问题. (2)赋予每个变量具体的实际意义. (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y=2来描述. 针对训练 解：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍.设投资额为x，利润为y，那么y=2.其中x的取值范围A={x|x≥0}，y的取值范围B={y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资额x对应到唯一确定的利润2. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列说法正确的是 (　 ) A.函数的定义域可以是空集 B.函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了 C.函数的定义域、值域都是非空的数集 D.函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应 √ 解析：由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故A错误，C正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y=|x|，y=x2，故B错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列图形是函数图象的是 (　 ) 解析：A中至少存在一处如x=0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B、C、D均符合函数定义. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.区间(-3，2]用集合可表示为 (　 ) A.{-2，-1，0，1，2} B.{x|-3<x<2} C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3≤x≤2} √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是 (　 ) 解析：A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C、D中值域为{1，2}，故错误，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点 (　 ) A.至少有1个 B.至多有1个 C.仅有1个 D.可能有无数多个 √ 解析：当x在定义域内时，因为在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，所以函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点；当x不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.故函数 y=f(x)的图象与直线x=2 023至多有一个交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是 (　 ) A.f：x→y=x B.f：x→y=x C.f：x→y=x D.f：x→y=x √ √ √ 解析：根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知集合U=R，集合A={x|>2}，B={y|y=x2+2}，则A∩(∁UB)等于(　 ) A.R B.(1，2] C.(1，2) D.[2，+∞) √ 解析：解不等式>2，得x>1，即A=(1，+∞)，y=x2+2≥2，即B=[2，+∞)，于是得∁UB=(-∞，2).所以A∩(∁UB)=(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 √ 解析：对于A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知集合A={1，2，k}，B={4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y=3x+1，则k的值为 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 √ 解析：根据对应关系为y=3x+1，知3×1+1=4，3×2+1=7，可得3×k+1=10.所以k=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)记无理数π=3.141 592 6…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b=f(a)，定义域为A，值域为B，则下列说法正确的是 (　 ) A.值域B是定义域A的子集 B.函数图象f(a)是一群孤立的点 C.f(6)=2 D.a也是b的函数，记作a=f(b) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，根据题意可知定义域为A={a∈N*|a≥1}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误.对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)=2，所以B、C正确.对于D，因为b=1时，a=1和3，不符合函数的定义，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，用区间表示集合A∩B=___________________________.  (-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，5] 解析：∵A={x|5-x≥0}，∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0}，∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5}， 即A∩B=(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，5]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)若函数f(x)的定义域为[2a-1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为_________.  (1，2) 解析：由区间的定义知⇒1<a<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)试写出一个与函数y=x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为____________________.  y=(x+1)2(答案不唯一) 解析：函数y=x2与y=(x+1)2的定义域和值域都相同. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知A={1，2，3}，B={4，5}，以A为定义域，以B为值域可以建立多少个不同的函数. 解：∵A={1，2，3}，B={4，5}，且集合A为定义域，集合B为值域，∴根据函数的定义可得集合B中的4或5在集合A中就一定有两个元素与之对应.若4在集合A中有两个元素与之对应，那就会有{1，2}，{2，3}，{1，3}这三种情况.同理，若5在集合A中有两个元素与之对应，也就会有{1，2}，{2，3}，{1，3}这三种情况.∴函数可以建立的个数为3+3=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)对于三角形，你可能想到哪些量?如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系?如果是函数关系，请写出函数关系式.你还能举出其他的函数例子吗? 解：能想到三角形的边长和三个角的度数.内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，三角形面积为S，则S=(a+b+c)r.设三角形周长为l，则l=a+b+c，故S=lr.另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式如下：l=或r=. 本课结束 $$