微专题03 集合常考3种新定义问题（22题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题03 集合常考3种新定义问题（22题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合的“新概念”题型 题型二 集合的“新运算”题型 题型三 集合的“新性质”题型 一、集合的新定义问题 所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。下面浅析集合新定义问题的三种题型。 1.集合的“新元素”题型 集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决. 2.集合的“新运算”题型 集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点. 3.集合的“新性质”题型 集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。 二、解决集合新定义问题的着手点： （1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． （2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 三、集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 题型一 集合的“新概念”题型 1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二下·福建·期末）定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则 . 5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 7.（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 题型二 集合的“新运算”题型 8.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 9.（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 10.（2024·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 11.（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）定义集合运算：.若集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．16 C．32 D．64 12.（2024·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 13.（2024·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）定义集合运算：．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 14.（2024·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 15.（2024高二·全国·专题练习）设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 16.（2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 集合的“新性质”题型 17.（2024·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 18.（2024·江西赣州·高一校考阶段练习）若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 19.（2024·北京·高一北京十五中校考期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 20.（2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是 . 21.（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 22.（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. $$2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题03 集合常考3种新定义问题（22题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合的“新概念”题型 题型二 集合的“新运算”题型 题型三 集合的“新性质”题型 一、集合的新定义问题 所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。下面浅析集合新定义问题的三种题型。 1.集合的“新元素”题型 集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决. 2.集合的“新运算”题型 集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点. 3.集合的“新性质”题型 集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。 二、解决集合新定义问题的着手点： （1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． （2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 三、集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 题型一 集合的“新概念”题型 1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【解析】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为 故选：B 2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 【答案】B 【解析】因为，，， 所以，又集合有3个元素， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意. 综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为. 故选：B 3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中阴影部分表示的集合为且 集合中阴影部分元表示的集合为且， 故整个阴影部分表示， 故选：D. 4.（23-24高二下·福建·期末）定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则 . 【答案】215 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 7.（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 题型二 集合的“新运算”题型 8.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 9.（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，所以. 故选：D 10.（2024·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，． 故选：C． 11.（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）定义集合运算：.若集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【解析】因为， 所以. 因为，所以. 故的子集个数为. 故选：D. 12.（2024·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合新定义可得结果.因为集合，集合， 所以. 故选：B 13.（2024·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）定义集合运算：．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，令或3，或3，则或或，则，因为，故． 故选：D. 14.（2024·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【解析】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）:图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 15.（2024高二·全国·专题练习）设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)，答案见解析. 【分析】（1）先举出两组满足题意的集合M、N；再根据题目中定义的运算即可得出答案. （2）先根据题目中定义的运算计算；再结合（1）的结果即可得出；最后根据题目中的集合M、N及定义的运算即可得出一般结论. （3）先举出三组满足题意的集合，再根据题目中定义的运算即可得出答案. 【详解】（1）不妨设， 则； 或设， 则等． （2）对， 则； 对， 则． 由（1）知，. 由此猜测，对任意集合，总有． 证明如下： 对任意，有，其中； 又，则．于是． 对任意，有，其中； 又，则．于是． 因此. （3）设， 则，于是； 又，于是． 因此． 16.（2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故①为融洽集； 对于②：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故②为融洽集； 对于③：设，，则，即；满足；取，则，满足，故③为融洽集； 所以融洽集的个数是个， 故选：D 题型三 集合的“新性质”题型 17.（2024·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 18.（2024·江西赣州·高一校考阶段练习）若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【解析】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 19.（2024·北京·高一北京十五中校考期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ， 所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 20.（2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确； 对于③，取，，，，但，故③错误； 对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若，由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 故答案为：①②④ 21.（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【详解】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 22.（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. $$