小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两车从相距900km的两地相向而行，乙车速度为每小时100km。甲车速度与乙车速度的比是4∶5，求几小时后两车相遇？ 【答案】5小时 【分析】先根据甲乙两车的速度比求出甲车的速度，再利用“相遇时间＝总路程÷（甲车速度＋乙车速度）”求出两车的相遇时间，据此解答。 【详解】甲车速度：100÷5×4 ＝20×4 ＝80（km） 相遇时间：900÷（80＋100） ＝900÷180 ＝5（小时） 答：5小时后两车相遇。 【点睛】根据比的应用求出甲车的速度，并掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 例题2：甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？ 【答案】快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时 【详解】相遇问题中，全程360千米，相遇时间3小时．快车与慢车的速度和：360÷3=120（千米／小时）． 追及问题中，路程差360千米，追及时间12小时，快车与慢车的速度差：360÷12＝30（千米/小时）． 那么快车的速度：（120+30）÷2=75（千米/小时） 慢车的速度：（120-30）÷2=45（千米／小时） 答：快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时． 例题3：甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程．乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站．上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15∶16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？ 【答案】8点15分 【详解】甲、乙火车的速度比是5：4，所以甲乙火车相同时间内的行程比也是5：4．从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，B两站的距离的比是15∶16．说明甲出发前乙火车所走的路程等于乙火车所走全部路程的（16-12）÷16=1/4．也就是说乙比甲先走了总时间的四分之一．上午8：00-上午9：00，总时间为1小时．所以甲火车从A站发车的时间是8点15分． 例题4：甲、乙两车从相距350千米的两地相对而行，两车同时出发，经过3.5小时两车在途中相遇，已知甲车每小时行驶55千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】45千米 【分析】速度×时间＝路程，乙车每小时行驶x千米，根据乙车速度×相遇时间＋甲车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行驶x千米。 3.5x＋55×3.5＝350 3.5x＋192.5－192.5＝350－192.5 3.5x÷3.5＝157.5÷3.5 x＝45 答：乙车每小时行驶45千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 第三部分 高频真题 1．张工程师每天早上点准时被司机从家接到厂里．一天，张工程师早上点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前分钟．这天，张工程师还是早上点出门，但分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前多少分钟到厂？ 2．一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇。已知货车平均每小时行46千米，客车每小时比货车快8千米。甲、乙两地相距多少千米？ 3．甲、乙两人从东、西两个村庄同时出发，相向而行。甲每分钟走65米，乙每分钟走72米，经过4.8分钟相遇。东、西两个村庄相距多少米？ 4．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，4小时相遇后又相距9千米，已知甲车行完全程要7小时，乙车每小时行27千米，AB两地间的路程是多少千米？ 5．甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了多少小时？ 6．甲乙两地相距1300米，小明和小李同时从两地出发相向而行，小明每分钟行70米，小李每分钟行60米 ｡经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 7．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离． 8．客车从地行驶到地要4小时，货车从地行驶到地要5小时。它们同时分别从、两地相对开出，经过2小时后还相距40千米。、两地相距多少千米？ 9．A、B两地相距330千米，一辆客车和货车同时分别从A、B两地相向出发，客车以60千米/时的速度行驶，货车以50千米/时的速度行驶，客车和货车行驶几小时后相遇？ 10．深圳通往长沙的高速路大约长810km。一辆汽车从深圳出发，每小时行95km；另一辆货车从长沙出发，每小时行85km。两车同时出发，几小时能够相遇？（先画图表示题意，再用方程解答） 11．A、B两地相距960km。甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，甲车每小时行112km，乙车每小时行88km。经过几小时两车相遇？ 12．南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为千米/时，千米/时，那么北辙先生出发小时他们相距多少千米？ 13．甲、乙两艘轮船从A、B两个港口出发，经5个小时后，两轮船相遇，已知甲轮船每小时行52千米，它与乙轮船的速度比为4∶3，求甲、乙两港间距离。 14．一列火车通过108米的铁桥需用52秒，通过84米的铁桥需用46秒．如果这列火车与另一列长96米，每秒行24米的火车交叉而过，问需多少秒？ 15．两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶45千米，乙车每小时行驶42千米，4小时后，两列火车相距多少千米？（用方程解） 16．甲乙两车同时从相距千米的、两地相对开出，2.5小时后两车相遇。甲车平均每小时比乙车多行千米，求甲车的速度是多少？（列方程解答。） 17．A、B两个码头相距1056km，一艘游轮和一艘货轮分别从两个码头同时相对开出，10小时后相遇。货轮的速度是游轮速度的1.2倍，游轮和货轮的速度分别是多少？ 18．一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行．14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开．14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．问：工人与学生将在何时相遇？ 19．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离点的路程是多少？(路程按甲跑的计算) 20．甲、乙两站相距360千米，一列快车和一列慢车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是3∶2，慢车每小时行多少千米？快车行完全程要几小时？ 21．小军和小琴两人同时从相距2千米的两地相向而行。小军每分钟行120米，小琴每分钟行80米。如果一只狗与小军同时出发，同向而行。当它遇到小琴后，立即回头向小军跑去。这样来回不断，直到小军和小琴相遇为止，这时狗一共跑了4千米。这只狗每分钟行多少米？ 22．甲、乙两人同时从A、B两地骑车相向而行，甲每小时行驶15km，甲碰到乙后再骑2小时到B地，乙再骑45km到达A地．求乙的速度． 23．客、货两列火车分别从东、西两站出发相向而行，客车每小时行驶90km，两车相遇后货车再行270km到达东站，客车再行驶4小时到达西站．求货车行驶完全程所用的时间． 24．如图，甲、乙两人分别在长方形跑道的A、C两点处，甲顺时针行走，乙逆时针行走，甲每走60秒后休息5秒，乙每走60秒后休息10秒，两人第一次相遇时恰好在B点且使用的时间不超过3分钟，若甲行走的速度为1.2米/秒，乙行走的速度为1米/秒，那么长方形跑道的总长度最大是多少米？ 25．两船从两个码头相对开出，甲船每小时48海里，乙船每小时52海里，8.5小时后，两船相遇，两个码头间的距离是多少海里？（用两种方法解答） 26．甲车每小时行32米，乙车每小时行34千米，两车同时从两地相对开出，经过3小时相遇。两地相距多少千米？ 27．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？ 28．甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙也骑自行车每小时行20千米，已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西两城相距多少千米？ 29．一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少千米/时？ 30．两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？ 31．两辆客车同时从A、B两地相对开出，两车的速度分别是68千米/时、82千米/时，经过12小时相遇。A、B两地相距多少千米？ 32．一条环湖路全长4000米，小兰和小军同时从环湖路的同一地出发，沿相反方向步行。小军的速度是80米/分，小兰的速度是70米/分，经过30分钟两人相距多少米？ 33．夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？ 34．甲、乙两地铁路全长120千米。一列火车从甲地开出，每小时行驶110千米，另一列火车从乙地开出，每小时行驶90千米。两列火车同时开出，经过几小时相遇？（用方程解答） 35．甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地的距离是多少千米？ 36．甲、乙两辆车同时从相距380千米的AB两地相对开出，甲车每小时行驶52千米，3.5小时后与乙车相距30千米，乙车每小时行驶多少千米？ 37．两列火车从相距798千米的两地同时相对开出，经过4.2小时两车相遇，甲车每小时行86.7千米，乙车每小时行多少千米？ 38．甲乙两地相距770千米，一列客车和一列货车同时从甲乙两地相对开出，货车每小时行50千米，客车的速度是货车的1.2倍，两车开出后几小时相遇？ 39．A、B两地之间公路长22千米，甲、乙两车分别以5千米/小时、6千米/小时的速度同时从两地相向而行，几小时后两车还相距5.5千米？（列方程解答） 40．快车从甲站开往乙站需要8小时，慢车从乙站开往甲站需要10小时。两车同时从两站相向而行，相遇时慢车行了240千米，求两站的距离。 41．A、B两港相距210千米，甲乙两船同时从A、B两个港口出发，相向而行，3小时后相遇。甲船每小时航行38千米，乙船每小时航行多少千米？（用方程解） 42．甲、乙两地相距450千米，客车和货车同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇，它们的速度比是2∶3。客车和货车的速度各是多少？（用方程解答） 43．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？ 44．两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5∶3，甲车每小时行驶多少千米？ 45．已知甲的速度为45千米/时，乙的速度为60千米/时。甲、乙分别从A，B两地出发（不同时）前往B，A两地，到达目的地后立即返回出发地。途经C地时，甲比乙早到5分钟。返回时，乙比甲早15分钟到达C地，比甲早25分钟回到出发地。A、B两地相距多少千米？ 46．小军和小红分别从一座桥的两端同时出发相向而行，小军的速度是每分钟65米，小红的速度是每分钟45米，经过6分钟两人相遇，这座桥长多少米？ 47．亮亮和萱萱同时从家出发，相向而行，经过多长时间两人相遇？（列方程解答） 48．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，在距离中点50千米处相遇。已知相遇时甲车行了全程的 ，两地相距多少千米？ 49．小聪和小明从学校到相距米的电影院去看电影．小聪每分钟行米，他出发后分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 50．小王和小李在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，反向而行。小王的速度是240米/分，小李的速度是360米/分，经过4分钟两人在跑道上第2次相遇。这条环形跑道有多长？ 51．小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？ 52．妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走米。妈妈走了分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走米。再经过分钟妈妈和小红相遇。从小红家到学校有多少米？ 53．两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走千米，另一列城铁每小时走千米，在途中每列车先后各停车次，每次停车分钟，经过小时两车相遇，求两城的距离？ 54．两辆运输防疫物资的汽车同时从扬州和武汉相对开出，两车的速度分别是80千米/时、90千米/时，经过4小时相遇，一共行驶了多少千米？ 55．甲乙两船同时从两个港口相对开出，相遇时甲船行驶了全程的，如果两船继续原速行驶，甲船到达B港口一共用了16小时。已知乙船的速度是30千米/小时，A、B两个港口相距多少千米？ 参考答案： 1．10分钟 【详解】第一次提前分钟是因为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是分钟，走一个单程是分钟，而汽车每天点到张工程师家里，所以那天早上汽车是点接到工程师的，张工程师走了分钟，这段路如果是汽车开需要分钟，所以汽车速度是张工程师步行速度的5倍，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间是遇到汽车之后的5倍，则张工程师走了分钟时遇到司机，此时提前（分钟）． 2．1000千米 【分析】题意可知，“10小时在途中相遇”说明两辆车都行了10小时，数量之间存在以下相等关系：（货车速度＋客车速度）×相遇时间＝总路程．或客车速度×客车行驶时间＋货车速度×货车行驶时间＝总路程． 【详解】10×（46＋8＋46） ＝10×100 ＝1000（千米） 答：甲乙两地相距1000千米． 【点睛】本题要注意的是客车和火车在途中相遇，说明两辆车行驶的时间是相同的，都是10小时。 3．657.6米 【详解】略 4．231千米 【分析】这题我们可以用方程，根据关系式来列方程解决。两车合行4小时的路程＝两地的路程＋9千米＝甲车7小时行的路程＋9千米，据此数量关系来列方程。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 （x＋27）×4＝ 7x＋9 4x＋27×4＝7x＋9 7x－4x＝108－9 3x＝99 x＝33 7×33＝231千米 答：AB两地间的路程是231千米。 【点睛】解答此题的关键明确4小时相遇后又相距9千米表示甲、乙两车同时行4小时行了一个全路程多9千米。 5．2小时或4小时 【详解】有两种情况，一种是甲乙两人一共走了(千米)，一种是甲乙两人一共走了(千米)，所以有两种答案：(小时)或(小时) 6．10分钟 【分析】根据等量关系式：相遇时小明走的路程＋小东走的路程＝两地之间的距离1300米，列方程进行解答即可。 【详解】解：设经过X分钟两人相遇。 70X＋60X＝1300 130X＝1300 130X÷130＝1300÷130 X ＝10 答：经过10分钟两人相遇｡ 【点睛】本题考查列方程解应用题。 7．176千米 【分析】甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米． 【详解】2×8×（6+5）=176(千米) 答：A、B两地相距176千米． 8．400千米 【分析】把AB两地的距离看做单位“1”，客车每小时行全程的，货车每小时行全程的。2小时共行了全程的，还剩全程的，此时两车相距40千米，用即可求出全程是多少千米。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝400（千米） 答：、两地相距400千米。 【点睛】首先把AB两地的距离看做单位“1”，关键是找出40千米所对应的分率是多少，再用其数量÷其所对应的分率＝单位“1”的量。 9．3小时 【分析】根据相遇问题的基本数量关系，相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。 【详解】330÷（60＋50） ＝330÷110 ＝3（小时） 答：客车和货车行驶3小时后相遇。 【点睛】此题属于相遇问题，掌握相遇时间、路程与速度和的关系是解答本题的关键。 10．4.5小时（图见分析） 【分析】设两车出发后x小时相遇，两车速度和乘x等于810，据此列方程即可解答。 【详解】解：设两车出发后x小时相遇。 （95＋85）×x＝810 180x＝810 180x÷180＝810÷180 x＝4.5 答：两车同时出发，4.5小时能够相遇。 【点睛】本题是相遇问题应用题，掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解答本题的关键。 11．4.8小时 【分析】简单的相遇问题，用关系式表示：路程÷速度和＝相遇时间。 【详解】利用公式路程÷速度和＝相遇时间，代入数据，列式： （小时） 答：经过4.8小时两车相遇。 【点睛】解答这类问题，要弄清题意，分析各数量之间的关系，选择解答方法。 12．330千米 【详解】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（千米）． 13．455千米 【分析】由“甲轮船每小时行52千米，它与乙轮船的速度比为4∶3”可知乙的速度是52×千米，然后根据关系式：速度和×时间＝路程，列式解答。 【详解】（52＋52×）×5 ＝（52＋39）×5 ＝91×5 ＝455（千米） 答：甲、乙两港间的距离是455千米。 【点睛】求出乙的速度，根据关系式：速度和×时间＝路程，解决问题。 14．7秒钟 【分析】若知道这列火车的车长与速度，就可以利用两列火车相遇的问题来求解．以通过两桥的长度差和通过两桥的时间差，来求出这列火车每秒行驶的米数，即速度． 【详解】两座铁桥的长度差：108-84=24（米） 通过两座铁桥的时间差：52-46＝6（秒） 火车速度为：24÷6=4（米／秒） 火车行驶46秒的路程：4×46=184（米） 火车车身长为：184-84＝100（米） 此列车身长为100米、速度为4米／秒的列车与另一列车身长为96米、速度为24米／秒的列车交叉而过所需时间：（100+96）÷（24+4）=196÷28=7（秒） 答：两车交叉而过，需要7秒钟． 15．132千米 【分析】设两列火车相距x千米，因为两列火车相向而行，可知甲乙两车速度和×时间+两车相距的距离=两个城市的距离，据此列方程解答。 【详解】解：设两列火车相距x千米 （45＋42）×4＋x＝480 87×4＋x＝480 348＋x＝480 348＋x－348＝480－348 x＝132 答：两列火车相距132千米。 【点睛】此题主要考查列方程解决实际问题的能力，搞清楚相遇问题中的等量关系是解题关键。 16．78千米时 【分析】设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时，甲车2.5小时行驶的距离＋乙车2.5小时行驶的距离＝A、B两地的距离；列方程：2.5x＋2.5×（x－12）＝360，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时。 2.5x＋2.5×（x－12）＝360 2.5x＋2.5x－30＝360 5x＝360＋30 5x＝390 x＝390÷5 x＝78 答：甲车的速度是78千米/时。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据速度、时间和距离三者的关系，列方程，解方程。 17．游轮速度48千米/时；货轮速度57.6千米/时 【分析】根据题意：相遇问题中，两地距离＝游轮行驶距离＋货轮行驶距离，路程＝速度×时间，可将游轮速度设为未知数x，则货轮速度为1.2x，据此列出方程得出答案。 【详解】解：设游轮速度为x，则货轮速度为1.2x，则可列出方程： 则货轮速度：（千米/时） 答：游轮速度是48千米/时；货轮速度是57.6千米/时。 【点睛】本题主要考查的是列方程解决实际问题，解题的关键是熟练掌握相遇问题中的等量关系，进而列出方程得出答案。 18．14时40分 【详解】工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米 14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟 14时16分+24分=14时40分 19．320 240 160 80 0 【详解】根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到点，如果甲也在点，则两人在点相遇；如果甲不在点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇． 设乙第次回到点的时间为秒，则，此时甲跑了米．而甲一个周期为米，因此，时刻甲跑了个周期． 而，其中整数部分表示甲回到点，小数部分表示甲又从点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是米．由此，我们可以算出甲的位置： 小数部分表示的路程 0 200 400 600 800 甲、乙相距的路程 0 800 600 400 200 甲、乙相遇还需的时间 0 80 60 40 20 甲、乙相遇的位置 0 80 160 240 320 以其中的第三列为例进行说明：这一列表示，于是，这表明甲回到点后又跑了200米，此时乙在点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距米，所以需要的时间为秒，在80秒内乙跑了米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为米，这就是此时相遇点与点的距离．其它情况同理可得． 所以甲、乙可能相遇的位置在距离点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米． 20．40千米；6小时 【分析】先根据“路程÷时间＝速度和”求出快车和慢车的速度和；再把速度和按3∶2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程÷速度＝时间”求出快车行完全程的时间。 【详解】360÷3.6＝100（千米/时） 100÷（3＋2）＝20（千米/时） 快车的速度：20×3＝60（千米/时） 慢车的速度20×2＝40（千米/时） 360÷60＝6（小时） 答：慢车每小时行40千米，快车行完全程要6小时。 【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。 21．400米 【分析】由于无论狗在两人之间跑了多少个来回，狗所走的时间与小军、小琴两人相遇所用的时间是一样的，问题转化为求小军、小琴两人相遇所用的时间，也就是狗行走的时间；再根据路程÷时间＝速度，这只狗每分钟行多少米，即可解答题目。 【详解】2千米＝2000米 2000÷（120＋80） ＝2000÷200 ＝10（分钟） 4千米＝4000米 4000÷10＝400（米） 答：这只狗每分钟行400米。 【点睛】本题属于相遇问题，要求小狗跑的速度，已知小狗跑的路程，关键是得到小狗跑的时间，然后用关系式：路程÷时间＝速度进行解答。 22．10千米/小时 【详解】甲后来骑了15×2=30（千米） 全程：30+45＝75（千米） 甲乙速度比45：30＝3：2 乙速度15×=10（千米/小时） 23．5.25小时 【详解】两车相遇后客车行驶路程：90×4=360（千米） 东、西两站相距：270+360=630（千米） 两车相遇时间：270÷90=3（小时） 货车速度：360÷3=120（千米/小时） 货车行驶完全程所用时间：630÷120=5.25（小时） 答：货车行驶完全程所用的时间为5.25小时． 24．728米 【分析】要求长方形跑道的总长度最大，那么甲、乙相遇在B点使用的时间取3分钟。然后根据3分钟甲乙各走了几个60秒，算出甲乙实际行走的时间，再根据速度×时间＝路程，算出甲乙的路程，即为AB和BC的长度，进而求出长方形的周长。 【详解】要求长方形跑道的总长度最大，那么甲、乙相遇在B点使用的时间取3分钟。 3×60÷（60＋5） ＝180÷65 ＝2……50 3×60÷（60＋10） ＝180÷70 ＝2……40 那么甲实际休息了2次，甲走了 60×2＋50 ＝120＋50 ＝170（秒）    170×1.2＝204（米） 乙休息了2次，乙走了 60×2＋40 ＝120＋40 ＝160（秒） 160×1＝160（米） 那么长方形跑道的长度为 （204＋160）×2 ＝364×2 ＝728（米） 答：长方形跑道的总长度最大是728米。 【点睛】本题解题关键是跑道最大时所需时间是最长3分钟，看3钟包含几个65秒和70秒，就可算出甲乙实际走的时间。 25．850海里 【分析】（1）先求出两船的速度和，再根据路程速度×时间，即可解答。 （2）根据路程速度×时间，求出甲船和乙船各自的路程，再把甲船的路程加上乙船的路程，即是全程。 【详解】方法一：（48＋52）×8.5 ＝100×8.5 ＝850（海里） 方法二：48×8.5＋52×8.5 ＝408＋442 ＝850（海里） 答：两个码头间的距离是850海里。 【点睛】本题关键是熟记路程、速度、时间三者之间的关系。 26．198千米 【分析】甲车往乙地开，乙车往甲地开，两车是相对出发的，每走一个小时，两车的距离就更接近了。每个小时，两车共走了66千米，3小时相遇，那用速度和×时间＝路程，就可以求出两地相距多少千米。 【详解】 （千米） 答：两地相距198千米。 【点睛】本题考查学生对于相遇问题的掌握。解决相遇问题时，可以用速度和×时间＝路程来计算。 27．153千米 【分析】已知A、B两地的图上距离和地图的比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离； 已知A、B两地的实际距离和甲、乙火车的相遇时间，根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出甲、乙两火车的速度和； 已知甲火车每小时行的路程是乙火车的，把乙火车的速度看作单位“1”，甲火车的速度是乙的，则两火车的速度和是乙火车速度的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出乙火车的速度。 【详解】A、B两地的实际距离： 25.5÷ ＝25.5×3000000 ＝76500000（厘米） 76500000厘米＝765千米 甲、乙两火车每小时共行： 765÷3＝255（千米） 乙火车每小时行： 255÷（1＋） ＝255÷ ＝255× ＝153（千米） 答：乙火车每小时行153千米。 【点睛】本题考查比例尺的意义、相遇问题以及分数除法的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 28．87.5千米 【分析】设乙，丙经过x小时相遇，根据总路程相等列出方程：（15＋20）x＝（5＋20）（x＋1），解答即可求出相遇的时间，进而根据：速度之和×相遇时间＝总路程，解答即可。 【详解】解：设乙，丙经过x小时相遇，根据总路程相等列出方程： （15＋20）x＝（5＋20）（x＋1） 35x＝25x＋25 x＝2.5 总路程：（15＋20）×2.5＝35×2.5＝87.5（千米） 答：东、西两城相距87.5千米。 【点睛】本题主要考查相遇问题，解题的关键是根据等量关系式列出方程。 29．85千米/时 【分析】路程÷相遇时间＝速度和，速度和－客车的速度＝货车的速度，据此列式解答即可。 【详解】540÷3－95 ＝180－95 ＝85（千米/时） 答：货车的速度是85千米/时。 【点睛】灵活运用速度和×相遇时间＝路程这一关系式。 30．没有相遇．见解析 【详解】(千米)，(千米)，340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇． 31．1800千米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出两车行驶的路程，再将两个路程相加，求出总路程，也就是A、B两地的距离。 【详解】68×12＋82×12 ＝816＋984 ＝1800（千米） 答：A、B两地相距1800千米。 【点睛】本题考查行程问题，关键是根据路程、速度和时间三个量之间的关系解答。 32．500米 【分析】根据路程＝速度×时间，将小军与小兰的速度相加，然后乘两人经过的时间，求出两人行走的总路程，用两人行走总路程减去环湖路总长，即可求出两人相距多少米。 【详解】（80＋70）×30－4000 ＝150×30－4000 ＝4500－4000 ＝500（米） 答：经过30分钟两人相距500米。 33．1100米 【详解】根据题意，画线段图如下： 从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米 ，冬冬所行路程全程一半米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(米)． 34．0.6小时 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得等量关系：两列火车的速度和×相遇时间＝甲、乙两地铁路的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经过小时相遇。 （110＋90）＝120 200＝120 200÷200＝120÷200 ＝0.6 答：经过0.6小时相遇。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 35．100千米 【分析】甲乙两人第一次相遇时甲行了40千米，此时两人共行了一个A、B两地的距离。则两人每行一个A、B两地的距离，甲需要行40千米。第二次相遇时，两人一共行驶了3个A、B两地的距离，此时甲共行了3×40千米。而甲行了一个A、B两地的距离还多20千米，用甲行的总路程减去20千米，即可求出A、B两地的距离。 【详解】3×40－20 ＝120－20 ＝100（千米） 答：AB两地相距100千米。 【点睛】解答本题关键是明确：第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，而甲行了3个40千米。 36．48千米或者65千米 【分析】分两种情况讨论，一种是相遇前相距30千米，此时，两人的路程和为总距离减去甲、乙间距离；另一种是相遇后相距30千米，此时两人的总路程是总距离加上甲、乙间的距离，根据速度和＝总路程÷时间，求出两车的速度和，再减去甲车的速度即可。 【详解】（380－30）÷3.5－52 ＝350÷3.5－52 ＝100－52 ＝48（千米） （380＋30）÷3.5－52 ＝410÷3.5－52 ≈117－52 ＝65（千米） 答：乙车每小时行驶48千米或者65千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，注意分情况讨论。 37．103.3千米 【详解】798÷4.2－86.7 ＝190－86.7 ＝103.3(千米) 答：乙车每小时行103.3千米。 38．7小时 【分析】先求出客车的速度，然后用总路程除以速度和求出两车的相遇时间。 【详解】770÷（50×1.2＋50） ＝770÷110 ＝7（小时） 答：两车开出后7小时相遇。 39．1.5小时 【详解】解：设x小时后两车还相距5.5千米． 解一：（5＋6）x＋5.5＝22 11x＋5.5－5.5＝22－5.5 11x＝16.5 11x÷11＝16.5÷11 x＝1.5 解二：（5＋6）x＝22－5.5 11x＝16.5 11x÷11＝16.5÷11 x＝1.5 解三：22－（5＋6）x＝5.5 22－11x＝5.5 22－11x＋11x＝5.5＋11x 5.5＋11x＝22 5.5＋11x－5.5＝22－5.5 11x＝16.5 11x÷11＝16.5÷11 x＝1.5 答：1.5小时后两地相距5.5千米。 40．540千米 【分析】根据快、慢两车走同一段路所用的时间，可以表示出快车与慢车的速度比，相遇时，快慢两车用的时间是一样的，所以速度比和路程比是一样的，再结合慢车相遇时所走的路程是其中的4份，计算得到每一份是多少，再算出甲乙两站的距离。 【详解】快车的速度是，慢车的速度是； 两车的速度比是∶＝5∶4，所以相遇时两车的路程比也是5∶4； 因为慢车走了全程的4份，所以距离是 240÷4×（5＋4） ＝240÷4×9 ＝60×9 ＝540（千米） 答：甲乙两站的距离是540千米。 【点睛】本题考查了学生利用比的应用来解决实际问题的能力。需要理解根据快慢车走同一段路程所用的时间，可以表示出快车与慢车的速度比。相遇时因为快慢，两车用的时间是一样的，所以速度比和路程比是一样的。 41．32千米 【分析】设乙船每小时航行x千米，根据相遇问题中，速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时航行x千米。 （38＋x）×3＝210 114＋3x＝210 3x＝96 x＝96÷3 x＝32 答：乙船每小时航行32千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 42．客车速度60千米/小时，货车速度90千米/小时 【分析】假设客车的速度是每小时x千米，根据客车和货车的速度比2∶3，可知货车的速度是客车的，货车的速度就是x千米/小时，根据速度和×相遇时间＝路程列出方程解答即可。 【详解】解：设客车速度为x千米/小时。 2.5x×3＝450 7.5x＝450 x＝60 货车：（千米/小时） 答：客车的速度是60千米/小时，货车的速度是90千米/小时。 【点睛】解答此题的关键是找出客车和货车的速度之间的关系，再根据速度和×相遇时间＝路程列出方程。 43．136分钟 【详解】两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲乙都休息完2次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）．相遇还需要（小时），即6分钟．所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）． 44．75千米 【分析】求甲车每小时行驶多少千米，我们可以先根据路程÷时间＝两车的速度和，然后按比例分配，就可以求出甲车的速度。 【详解】480÷4÷（5＋3）×5 ＝480÷4÷8×5 ＝15×5 ＝75（千米） 答：甲车每小时行驶75千米。 【点睛】此题先求出速度和，再根据按比例分配来解决。 45．60千米 【分析】根据题意可知，途经C地时，甲比乙早到5分钟，返回时，乙比甲早15分钟到达C地，说明甲走2BC用的时间比乙走2AC的时间多用了（5＋15）分钟，也就是20分钟，则甲走BC用的时间比乙走AC的时间多用了（20÷2）分钟，同理，返回时，乙比甲早15分钟到达C地，比甲早25分钟回到出发地，说明甲走AC的时间比乙走BC的时间多了（25－15）分钟，也就是10分钟，据此可知，甲走AB的时间比乙走AB的时间多了（10＋10）分钟，也就是20分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以甲和乙的时间比为60∶45，也就是4∶3，据此可知（4－3）份为20分钟，3份就是60分钟，也就是1个小时，根据速度×时间＝路程，用1×60即可求出AB两地的全程。 【详解】甲走2BC用的时间比乙走2AC的时间多用：5＋15＝20（分钟） 甲走BC用的时间比乙走AC的时间多用：20÷2＝10（分钟） 甲走AC的时间比乙走BC的时间多：25－15＝10（分钟） 路程相同，速度比等于时间的反比， 甲和乙的时间比为： 60∶45 ＝（60÷15）∶（45÷15） ＝4∶3 （4－3）×20×3 ＝1×20×3 ＝60（分钟） 乙走完全程需要60分钟，也就是1个小时， A、B两地：60×1＝60（千米） 答：A、B两地相距60千米。 【点睛】本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是求出甲乙走完全程的时间差，再根据比的应用来解答，也可转化为分数应用题来解答。 46．660米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出两人行走的路程，再将两个路程相加，求出这座桥的总长度。 【详解】65×6＋45×6 ＝390＋270 ＝660（米） 答：这座桥长660米。 【点睛】本题考查相遇问题，根据路程、速度和时间之间的关系。 47．12.4分钟 【分析】相遇问题，相遇路程＝速度和×相遇时间，由图可知，亮亮的速度是65米每分钟，萱萱的速度是60米每分钟，可以设相遇时间为x分钟，等量关系为：（亮亮的速度＋萱萱的速度）×相遇时间＝1550米，据此列方程解答即可。 【详解】解：设经过x分钟两人相遇。 （65＋60）x＝1550 125x＝1550 125x÷125＝1550÷125 x＝12.4 答：经过12.4分钟两人相遇。 【点睛】明确题干中的等量关系以及相遇问题的基本公式是解题的关键。 48．600千米 【详解】50÷（－） ＝50÷ ＝600（千米） 答：两地相距600千米。 49．80米 【详解】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：(分钟)，小明所用的时间是：(分钟)，小明每分钟走的米数是：(米)． 50．1200米 【分析】经过4分钟两人在跑道上第2次相遇，也就是小王和小李4分钟一共跑了2个环形跑道的长度，用他们的速度和乘时间，求出2个环形跑道的长度，再用求出的长度除以2，求出这条环形跑道有多长。 【详解】（240＋360）×4÷2 ＝600×4÷2 ＝2400÷2 ＝1200（米） 答：这条环形跑道有1200米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，熟练掌握速度、时间、路程之间的关系是解答的关键。 51．74米 【详解】5分钟后小新比正南多走了（米），所以每分钟多走：（米），所以正南每分钟走：（米/分） 52．2925米 【分析】妈妈先走了分钟，就是先走了（米）。分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了分钟，这一段的路程为：（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离。据此即可解答。即（米）。 【详解】75×3＝225（米） （60＋75）×20＋225 ＝135×20＋225 ＝2700＋225 ＝2925（米） 答：从小红家到学校有2925米。 【点睛】本题主要考查行程问题，熟练掌握它的公式并灵活运用。 53．510千米 【详解】每列车停车时间：（分）=（小时），两列车停车时间共小时，共同行驶时间：小时，速度和：（千米），两城距离：（千米）． 54．680千米 【分析】可以分别求出两辆车行驶的路程，最后求和，就是总共行驶的路程。 【详解】80×4＋90×4 ＝320＋360 ＝680（千米） 答：一共行驶了680千米。 【点睛】掌握“路程＝速度×时间”即可。 55．360千米 【分析】相遇时甲船行驶了全程的，说明甲船行驶了3份，全程是7份，那么乙船行驶了4份，而且乙船的速度块，故甲船的速度：乙船的速度＝3∶4，最后甲船到达B港口，乙船到达A港口，那么路程一定，故甲船的用的时间∶乙船用的是时间＝4∶3，所以乙船一共用的时间＝甲船一共用了的时间÷4×3，故A、B两个港口之间的距离＝乙船一共用的时间×乙船的速度。 【详解】3∶（7－3）＝3∶4   （16÷4×3）×30 ＝（4×3）×30 ＝12×30 ＝360（千米） 答：A、B两个港口相距360千米。 【点睛】明确先求出乙船所用的时间，再根据路程＝速度×时间公式是解决本题关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$