微专题02 集合中常考9种参数问题（91题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题02 集合中常考9种参数问题（91题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 根据集合的包含关系求参数 题型四 根据两个集合相等求参数 题型五 根据集合交集的结果求参数 题型六 根据集合并集的结果求参数 题型七 根据集合补集的结果求参数 题型八 根据交并补混合运算求参数 题型九 结合韦恩图求参数 解决与集合有关的参数问题的对策 集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点，也是一个易错点。其学习要点在于正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况。高考关于集合中含参数问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式等相结合，考查的题型主要以小题形式出现，有时渗透于解答题之中。 （1）三个注意点： ①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． ②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． ③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （2）常见类型如下： 类型一：元素与集合关系中的含参数问题 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 类型二：集合中元素个数的含参数问题 解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 类型三：根据集合的相等关系求参数 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 类型四：集合基本关系中的含参数问题 ①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 类型五：集合基本运算中的含参数问题 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围. 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。 注；集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合［包括用数轴、韦恩图等］及端点值的取舍. 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 2．（2024·高一课时练习）若，则a的值为______. 3.【多选】（23-24高一上·海南·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 4.（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. 6．（2024·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数__________. 7．【多选】（2023秋·高一课时练习）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 8．（2023秋·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2024秋·山西·高二校联考期末）已知集合A中元素x满足，且，则（ ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 11.（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 12.【多选】（2024·江苏·高一专题练习）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 题型二 根据集合中元素的个数求参数 13.（23-24高一上·上海杨浦·月考）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 14.（2024秋·陕西·高一校联考期中）若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值：______． 15．（2023秋·江西吉安·高一永新中学校考期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________． 16.【多选】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 17．（2023秋·北京·高三北师大二附中校考期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________． 18．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 19．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 20.（2024秋·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 21．（2024·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 22.（2024秋·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考阶段练习）已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 23．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 24．（2024·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 25．（2023秋·广西贺州·高一校考阶段练习）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 题型三 根据集合的包含关系求参数 26.（2023春·四川宜宾·高二统考期末）已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 27．（2024·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 28．（2024·山东聊城·统考三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 29．（2024·陕西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．【多选】（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 31．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____． 32.（2024·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 33．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 34．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 35.（2024·全国·高一专题练习）设集合， ． （1）若，试求； （2）若，求实数的取值范围． 36．（2023春·江西吉安·高二校联考期中）已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 37．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 38.（2022秋·江西·高一统考阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为_________． 39．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知集合，若Þ，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 40．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若BÞA，则实数a的取值范围是多少? 题型四 根据两个集合相等求参数 41．（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 42.（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 43．（2024·高一课时练习）已知，.若，则______. 44.（2024秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）已知集合，，若，则 ． 45．（2024·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值． 46.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值． 47．（2023秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为____． 48．（2024·高一课时练习）设a，，若集合，则_______. 题型五 根据集合交集的结果求参数 49．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________． 50．（2024·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 51．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 52．（2024·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 53.（2024·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 54.（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58．（2023秋·四川成都·高一双流中学校考阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 59．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 题型六 根据集合并集的结果求参数 60．（2023秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知，若，求实数的值. 61．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 62.【多选】（2024·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为 （     ） A．0 B．1 C． D．2 63．（2024·高一单元测试）已知集合，若，则实数的取值范围___________． 64.（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知集合，，且中的所有元素的和为，则______. 67．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 68．（2023秋·高一课时练习）已知集合，． （1）若，实数的取值范围是____________________． （2）若，实数的取值范围是____________________． （3）若，实数的取值范围是____________________． 题型七 根据集合补集的结果求参数 69．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________． 70．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 71．（2024·高一课时练习）设，，全集，， 或，则______. 72.（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 73.（23-24高一上·广东汕头·月考）设集合，，，若，则 . 74.【多选】（22-23高一上·贵州遵义·期末）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 题型八 根据交并补混合运算求参数 75．（2024·浙江·统考模拟预测）已知全集，集合.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 76．（2024·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 77．【多选】（2023秋·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．1 D． 78.（2024·全国·高一专题练习）已知集合，． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求的取值范围． 79.（2024秋·江苏南京·高一金陵中学校考期中）设集合，或，全集． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数b的取值范围． 80．（2023秋·陕西渭南·高一校考期中）已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 81.（23-24高一上·全国·月考）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 82．（2024·全国·高三专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1），______； （2），______； （3），______； （4），______． 83.（23-24高一上·河北沧州·月考）设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 84．（2024·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 85．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 86．（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 87.（22-23高一上·河南洛阳·月考）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 题型九 结合韦恩图求参数 88．（2022·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 89．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 90．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    91．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． $$2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题02 集合中常考9种参数问题（91题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 根据集合的包含关系求参数 题型四 根据两个集合相等求参数 题型五 根据集合交集的结果求参数 题型六 根据集合并集的结果求参数 题型七 根据集合补集的结果求参数 题型八 根据交并补混合运算求参数 题型九 结合韦恩图求参数 解决与集合有关的参数问题的对策 集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点，也是一个易错点。其学习要点在于正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况。高考关于集合中含参数问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式等相结合，考查的题型主要以小题形式出现，有时渗透于解答题之中。 （1）三个注意点： ①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． ②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． ③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （2）常见类型如下： 类型一：元素与集合关系中的含参数问题 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 类型二：集合中元素个数的含参数问题 解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 类型三：根据集合的相等关系求参数 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 类型四：集合基本关系中的含参数问题 ①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 类型五：集合基本运算中的含参数问题 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围. 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。 注；集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合［包括用数轴、韦恩图等］及端点值的取舍. 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 2．（2024·高一课时练习）若，则a的值为______. 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 3.【多选】（23-24高一上·海南·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABD 【解析】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意.故选：ABD. 4.（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或.故选：B 5．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. 【答案】1 【分析】依题意可得，解得，再检验即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： 6．（2024·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数__________. 【答案】1 【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案. 【详解】由，可得， 故答案为：1 7．【多选】（2023秋·高一课时练习）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可. 【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 8．（2023秋·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为，所以，解得， 故选:C. 9.（2024秋·山西·高二校联考期末）已知集合A中元素x满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，解得， 又∵，∴，解得， ∴．故选：D． 10．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 11.（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 【答案】/ 【解析】因为，所以，解得：，故答案为：． 12.【多选】（2024·江苏·高一专题练习）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 题型二 根据集合中元素的个数求参数 13.（23-24高一上·上海杨浦·月考）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】集合中只有一个整数元素， 则，，即， 此时，故，解得. 故. 14.（2024秋·陕西·高一校联考期中）若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】当时，集合的整数元素为. 故答案为：0（答案不唯一） 15．（2023秋·江西吉安·高一永新中学校考期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【详解】依题意可得，解得， 则． 所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10， 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 16.【多选】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：AB． 17．（2023秋·北京·高三北师大二附中校考期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】由题设得求参数范围，即可得结果. 【详解】由题设且，可得， 所以，符号条件的一个a值为2. 故答案为：2（答案不唯一） 18．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C 19．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 【答案】0或 【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可 【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合， 即方程有唯一解 （1）当时，，方程有唯一解； （2）当时，， 即，解得. 综上0或. 20.（2024秋·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 【答案】C 【解析】或， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需， 解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C 21．（2024·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解. 【详解】由题意得且，解得且. 故实数k的取值范围为且． 22.（2024秋·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考阶段练习）已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）因为，所以，解得， 解方程可得或， 所以集合． （2）当时，方程为， 此时集合， 当时，集合中至多有一个元素只需判别式， 即，即， 综上所述，a的取值范围是或 23．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 24．（2024·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）讨论，根据可得结果； （2）讨论，根据可得结果； （3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 25．（2023秋·广西贺州·高一校考阶段练习）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)且 【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解； （2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程； （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解. 【详解】（1）若集合是空集，则， 解得.故实数的取值范围为. （2）若集合是单元素集，则 ①当时，即时，，满足题意； ②当，即时，，解得， 此时. 综上所述，或. （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 题型三 根据集合的包含关系求参数 26.（2023春·四川宜宾·高二统考期末）已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或. 若，则，满足； 若，则或， 当时，，满足； 当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意； 综上所述：或，故选：C. 27．（2024·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 28．（2024·山东聊城·统考三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得可得答案. 【详解】若对于，都有，则， 由已知可得. 故选：B. 29．（2024·陕西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的子集关系求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 30．【多选】（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值. 【详解】因为，如图： 所以，所以， 故a的可能取值为，. 故选：CD. 31．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据包含关系得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是. 故答案为： 32.（2024·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 【答案】或 【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或． 故答案为：或 33．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 34．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 35.（2024·全国·高一专题练习）设集合， ． （1）若，试求； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，解得或， ． 当时，得解得或 ； ∴． （2）由（1）知，，， 于是可分为以下几种情况． 当时，，此时方程有两根为，，则 ，解得． 当时，又可分为两种情况． 当时，即或， 当时，此时方程有且只有一个根为，则 ，解得， 当时，此时方程有且只有一个根为，则 ，此时方程组无解， 当时，此时方程无实数根，则 ，解得． 综上所述，实数a的取值为． 36．（2023春·江西吉安·高二校联考期中）已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可. 【详解】当时，即，解得：， 此时，所以当时，， 当，即，解得：， 此时或， 因为，所以或，解得：或， 又，所以， 综上，使成立的实数m的取值范围是或， 故选：D. 37．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 38.（2022秋·江西·高一统考阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 39．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知集合，若Þ，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 【答案】B 【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解. 【详解】解：由集合， 对于方程， 当时，此时方程无解，可得集合，满足Þ； 当时，解得，要使得Þ，则满足，可得， 所以实数的值为或. 故选：B. 40．（2024·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若BÞA，则实数a的取值范围是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为BÞA，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. 题型四 根据两个集合相等求参数 41．（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 42.（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.故选:B. 43．（2024·高一课时练习）已知，.若，则______. 【答案】 【分析】根据集合与集合相等列式即可求解 【详解】因为 所以解之得： 故答案为： 44.（2024秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）已知集合，，若，则 ． 【答案】5 【解析】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以. 故答案为：5. 45．（2024·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值． 【答案】 【分析】由集合相等可出关于实数满足的等式，进而可解得实数的值. 【详解】因为，分以下两种情况讨论： ①，解得，经检验，不满足集合元素的互异性，而适合； ②，无解. 综上所述，. 46.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【解析】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 47．（2023秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为____． 【答案】0 【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案. 【详解】由题意，可得， 根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得， 此时集合 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 48．（2024·高一课时练习）设a，，若集合，则_______. 【答案】2 【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可. 【详解】由易知， 由两个集合相等定义可知 若，得，经验证，符合题意； 若，由于，则方程组无解 综上可知，，，故. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题. 题型五 根据集合交集的结果求参数 49．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________． 【答案】3或 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 50．（2024·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据集合的并集的结果分类讨论求参数. 【详解】由于，则. 若，则，此时符合题意. 若，则或2, 时，，此时不合题意； 时，符合题意， 因此或2， 故选:C. 51．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据交集结果求出的范围，一一对照选项即可. 【详解】由题意得若，则，比较选项知C选项满足题意， 故选：C. 52．（2024·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】(1)根据补集的定义求解即可； (2)根据交集的定义求解即可. 【详解】（1）解：因为R为全集，集合， 所以或； （2）解：因为，集合，， 所以，解得. 53.（2024·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或． 综上：或或． 故选：D． 54.（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，易知集合非空， 则，解得．故选：B. 55．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B． 56．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围. 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以，又， 所以， 故实数的取值范围是. 故选：A. 57．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围. 【详解】由，得，所以， 因为，所以，故． 故选：C． 58．（2023秋·四川成都·高一双流中学校考阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. （2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. (1) 已知，，要满足， 即中的任意一个元素都是中的元素，则， 即实数a的取值范围是： (2) 当，即与没有公共元素， 因为和都不可能为空集， 所以要使得两个集合没有公共元素，则， 即实数a的取值范围：． 59．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解； (2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围. 【详解】（1） 当时，， ； （2）由(1)知，， ，解得：， 所以的取值范围是. 题型六 根据集合并集的结果求参数 60．（2023秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知，若，求实数的值. 【答案】. 【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得 【详解】因为中，且两根之积为，又， 故，所以，则， 由上知：，所以，代入得，显然满足. 所以. 61．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可. 【详解】由题意可得：或 若，此时，集合的元素有重复，不符合题意； 若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意； 故. 故选：B 62.【多选】（2024·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为 （     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【解析】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或． 综上，或或． 故选：ABC 63．（2024·高一单元测试）已知集合，若，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】根据题意，由可得，分类讨论即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，即，解得，且满足； 当时，，解得 综上可得的取值范围为 故答案为: 64.（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为或，，且， 所以，解得， 即实数的取值范围为.故选：B． 65．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集定义，结合数轴即可得到实数的取值范围. 【详解】因为,所以，解得． 故选:D 66．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知集合，，且中的所有元素的和为，则______. 【答案】 【分析】根据并集的定义，分两种情况讨论，列式求解即可. 【详解】当或或时，，所有元素的和为15，不合题意； 当且且时，，由题意得，所以. 故答案为：. 67．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 【答案】(1) (2)254 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数. 【详解】（1）∵，∴， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2）∵，集合C中共8个元素， 因此，集合C的非空真子集个数为. 68．（2023秋·高一课时练习）已知集合，． （1）若，实数的取值范围是____________________． （2）若，实数的取值范围是____________________． （3）若，实数的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案. 【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是； ②因为，即，所以，所以若，则， 则实数a的取值范围是； ③若，即，所以， 则实数a的取值范围是. 故答案为：①；②；③. 题型七 根据集合补集的结果求参数 69．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 70．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用集合补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 71．（2024·高一课时练习）设，，全集，， 或，则______. 【答案】1 【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果. 【详解】因为，，所以或. 又或，所以，，所以. 故答案为：1. 72.（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【解析】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意．故选：D． 73.（23-24高一上·广东汕头·月考）设集合，，，若，则 . 【答案】 【解析】由可得， 由于，所以， 所以，解得. 74.【多选】（22-23高一上·贵州遵义·期末）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【解析】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U； 若a≠0，则＝. 此时＝3或＝5，∴a＝或a＝. 综上a的值为0或或.故选：ABC 题型八 根据交并补混合运算求参数 75．（2024·浙江·统考模拟预测）已知全集，集合.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解； 【详解】解：因为，又， 所以，即且，又，所以； 故选：A 76．（2024·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 77．【多选】（2023秋·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】AB 【分析】根据集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以有，因此选项AB符合条件， 故选：AB 78.（2024·全国·高一专题练习）已知集合，． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求的取值范围． 【解析】（1）由题意， 故或 （2）当时， 故 （3）由（1）或 若，则 解得 79.（2024秋·江苏南京·高一金陵中学校考期中）设集合，或，全集． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以，解得， 所以a的取值范围是； （2）， 因为，所以，所以，解得， 所以b的取值范围是． 80．（2023秋·陕西渭南·高一校考期中）已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义即可得解； （2）由，可得，再分和两种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）解：∵或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴当，满足，此时； 当，则，所以， 综上，实数a的取值范围是. 81.（23-24高一上·全国·月考）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，解得：，此时， ，符合题意； 当时，，解得， 因为集合，， 所以或， 因为，所以，解得：， 所以时，， 综上所述：实数的取值范围是. 82．（2024·全国·高三专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1），______； （2），______； （3），______； （4），______． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围． 【详解】因为为非空集合，所以， 又， 由，可得，所以实数的取值范围为． 由，可得，所以，所以实数的取值范围为． 由可得，故实数的取值范围为． 因为或，， 所以，实数的取值范围为． 故答案为：；；；. 83.（23-24高一上·河北沧州·月考）设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合或，则， 又集合且，则，故选：B. 84．（2024·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解. 【详解】因为，所以当时，；当时，， 因为，所以， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或， 所以实数m的取值范围为或. 85．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 86．（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解. 【详解】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为： 87.（22-23高一上·河南洛阳·月考）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 题型九 结合韦恩图求参数 88．（2022·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得集合，结合韦恩图得到是的真子集，即可求解. 【详解】由题意，集合，且， 根据给定的韦恩图，可得是的真子集， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 89．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 90．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    【答案】 【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解. 【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系， 故或，即无解或. 综上有. 故答案为： 91．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解. 【详解】（1）因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或，且， 所以，， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或者， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，a的取值范围为． $$