第1章 有理数 章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第1章 有理数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 2．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 3．某建筑工地仓库管理员如果将进货水泥2吨记为吨，那么出货水泥2吨可记为（     ） A．吨 B．0吨 C．吨 D．4吨 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键． 根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】∵进货水泥2吨记为吨， ∴出货水泥2吨可记为吨． 故选：A． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．绝对值等于本身的数是0和1 C．不是所有有理数都可以在数轴上表示 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查数轴，有理数，绝对值，关键是掌握有理数、整数的概念，由有理数和整数的概念，即可判断． 【详解】解：A、0是整数，故A不符合题意； B、绝对值等于本身的数是0或正数（非负数），故B不符合题意， C、所有理数都可以在数轴上表示，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，故D符合题意． 故选：D． 5．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（   ） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【答案】C 【详解】解：由题意可得， （元）， 故选：C． 6．在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 7．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 8．若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． 9．已知为十个不同的正整数，满足或3，其中，约定．若中最大的数为M，最小的数为m，则的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，关键是理解最大的数与最小的数最多相差4个3和1个2．因为都要正整数，并且不同，满足或3，约定，则最多相差4个3和1个2可以保证为十个不同的正整数，依此可求的最大值． 【详解】解：∵为十个不同的正整数，满足或3，其中，约定， ∴的最大值为， 如1，3，6，9，12，15，13，10，7，4，最大的数与最小的数的差是14． 故选∶B． 10．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 12．纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 13．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【答案】0 【分析】根据题意，[1.7]中不大于1.7的最大整数为1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整数为-1，则可解答 【详解】解：依题意：[1.7]=1，（-1.7）=-1 ∴ 故答案为：0 【点睛】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值，先计算得到，然后计算解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 【答案】 ① 1380 【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①； 此时经济损失为元， 故答案为：①；1380． 16．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的16．（3分）（23-24七年级·全国·随堂练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 【答案】11或10 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是11个，当线段起点不在整点，那就是10个． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故答案为：11或10． 三、解答题（8小题，共68分） 17．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【答案】①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：整数：{①③④⑥……}； 正数：{②③⑥⑧……} 正分数：{②⑧……} 负有理数：{④⑤⑦……} 故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦． 18．点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数． (1)求A、之间的距离； (2)比较点A、、表示的数的大小； 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查有理数的分类及数轴上两点之间的距离， （1）根据最小的正整数是1，最大的负整数是，最小的自然数为0代入求解即可得到答案； （2）根据正负数大小比较方法比较即可． 【详解】（1）最大的负整数是，最小的正整数是1，最小的自然数是0， ∴点A、、是数轴上表示的数分别是，0，1， 、之间的距离； （2）由于正数大于0，负数小于0， ∴； 19．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴上的点与实数一一对应的关系是解题的关键． 画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 【详解】解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数， 所以． 20．如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义； （1）由图可知，数轴上、所表示的数，分别为：，； （2）由图知，点的坐标原点，点的坐标点的坐标； （3）由（2）可得，点的坐标点的坐标； 【详解】（1）解：由图可知，数轴上点表示的数是；点表示的数是； （2）由图可得，点表示的点为，所以，， 又点表示的点为，所以； （3）由图可得，数轴上、两点所表示的数分别为、，则． 21．已知有理数，在数轴上的位置如图所示，请解决下列问题． (1)用“，，”填空：________0，________0，________0，________ (2)若，则________． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，关键是根据数轴得出且 （1）根据所给数值在数轴上的位置，判断出相应的符号，再根据有理数的加减法和乘除法法则判断即可； （2）根据绝对值的意义解答即可 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴， 故答案为： 22．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)3 (4)或2 【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算即可； （4）由（3）可得当或时， 才成立，分和两种情况，去掉绝对值符号，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是． 故答案为：3，4 （2）表示数x的点A和表示的点B之间的距离， 若，则点A到点B的距离为2， ∵点B表示的数是， ∴点A表示的数是或0， ∴x为或0． 故答案为：，或0 （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和，即． 若点M在点A的左侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 若点M在线段上，即，如下图： ， 则， ∴； 若点M在点B的右侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 综上所述，，即的最小值为3． 故答案为：3 （4）由（3）可得当或时， 才成立， 当时，可化为：， 解得：， 当时，可化为：， 解得：， 综上，当或2时，． 故答案为：或2 23．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为___________cm． (2)图中点A所表示的数是___________，点B所表示的数是___________． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是75岁． 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图：    借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是75岁． 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． 24．阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)的值为5或 (3)①6，②420或440或460或 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“双倍关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“双倍关系值”的定义，求解即可； （2）根据“双倍关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分10种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：由题意得：，即， ， 或， 解得：或， 的值为5或； （3）解：①和关于1的“双倍关系值”为2， ， 分四种情况： 当时，，则； 当时，，则，即； 当时，，则；即； 当时，，则； 综上，的最大值为6， 故答案为：6； ②分10种情况： 1、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 2、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 3、当时，，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， ， 同理得：， ； 4、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 5、当，由，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ，则，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； ； 6、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 7、当，由，可得，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 当时，由，可得，解得：或， ，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ； 8、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 9、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 10、当时，，与矛盾，此种情形不存在； 综上所述：的值为420或440或460或， 故答案为：420或440或460或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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C．36种 D．48种 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．比较大小： ． 12．纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 13．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 14．已知，，则 ． 15．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 16．（3分）（23-24七年级·全国·随堂练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 三、解答题（8小题，共68分） 17．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 18．点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数． (1)求A、之间的距离； (2)比较点A、、表示的数的大小； 19．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 20．如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 21．已知有理数，在数轴上的位置如图所示，请解决下列问题． (1)用“，，”填空：________0，________0，________0，________ (2)若，则________． 22．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 23．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为___________cm． (2)图中点A所表示的数是___________，点B所表示的数是___________． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 24．阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$