专题突破：绝对值化简问题专项探究（3大题型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

专题突破：绝对值化简问题专项探究 绝对值化简常见问题方法总结 1、根据绝对值的性质化简 （1）牢记绝对值的性质：或 （2）在的组合中，当“=”左边的部分未知时，求“| |”内部的数，需要分类讨论；当“=”右边的部分未知时，求“=”右边的值，结果只有一个。 （3）绝对值的非负性应用：当“| |+| |=0”时，则“| |”内部的式子整体=0 2、已知范围的绝对值化简基本步骤 第1步：判断绝对值内部式子的正负； 第2步：把绝对值改为小括号； 第3步：去括号； 第4步：化简合并。 3、绝对值化简与最值问题对应规律 （1）当x=a时，|x-a|的最小值=0； （2）当a≤x≤b时，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|； （3）若a＜b＜c，当x=b时，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a； 题型一 根据绝对值的性质化简 【例1】．（2024春•肇源县期中）若|a|+a＝0，则a是（　　） A．零 B．负数 C．负数或零 D．非负数 【变式1-1】．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x＝（　　） A． B．或2 C． D．2 【变式1-2】．（2023秋•吉安月考）如果|m|＝|n|，那么m，n的关系（　　） A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．互为相反数或相等 【变式1-3】．（2023秋•渑池县期末）若|a+2|+|b﹣7|＝0，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【变式1-4】．（2023秋•东莞市月考）若|x﹣1|+|2﹣y|＝0，求2x﹣y的值． 【变式1-5】．（2023•南皮县校级一模）若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 题型二 已知范围的绝对值化简 【例2】．（2023•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝　 　． 【变式2-1】．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝　 　． 【变式2-2】．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【变式2-3】．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2 【变式2-4】．（2023秋•文登区期末）如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 【变式2-5】．（2023秋•青羊区校级期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝　 　． 【变式2-6】．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝　 　． 【变式2-7】．（2023秋•余干县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 题型三 绝对值化简与最值问题 【例3】．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】．（2023秋•邵阳县校级月考）当a＝　 　时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为 　 　． 【变式3-2】．（2023秋•西安校级月考）当x满足 　 　条件时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是 　 　． 【变式3-3】．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知m是有理数，则|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是　 　． 【变式3-4】．（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数a的绝对值可分为两种情况：．请用你所学的知识解决下面的问题： （1）若|a﹣3|＝5，求a的值； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），化简|a﹣2|﹣|a|； （3）当a＝　 　时，|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|取到最小值，最小值是 　 　． 【变式3-5】．（2023秋•芙蓉区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　 　； （2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝　 　； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 　 　； （4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 　 　； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值． 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【分析】根据非负数的性质得出x﹣1＝0，2﹣y＝0，即可求出x、y的值，从而求出2x﹣y的值． 【解答】解：∵|x﹣1|+|2﹣y|＝0， 又∵|x﹣1|≥0，|2﹣y|≥0， ∴x﹣1＝0，2﹣y＝0， ∴x＝1，y＝2， ∴2x﹣y＝2×1﹣2＝0． 【变式1-5】．（2023•南皮县校级一模）若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可． 【解答】解：∵ab≠0， ∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0； ①当a＞0，b＞0时， +＝1+1＝2； ②当a＜0，b＜0时， +＝﹣1﹣1＝﹣2； ③当a＞0，b＜0时， +＝1﹣1＝0； ④当a＜0，b＞0时， +＝﹣1+1＝0； 综上所述，+的值为：±2或0． 故选：C． 题型二 已知范围的绝对值化简 【例2】．（2023•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝　1　． 【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|． 【解答】解：∵π≈3.414， ∴π﹣4＜0，3﹣π＜0， ∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1． 故答案为1． 【变式2-1】．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝　2　． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵a＞3， ∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2． 故答案为：2． 【变式2-2】．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果． 【解答】解：∵|m|＝﹣m， ∴m≤0， ∴m﹣1＜0，m﹣2＜0， ∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1． 故选：B． 【变式2-3】．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2 【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7 ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝±5．b＝7， 当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12； 故a﹣b的值为﹣2或﹣12． 故选：B． 【变式2-4】．（2023秋•文登区期末）如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0， ∴|﹣3﹣a|﹣|b+1| ＝（3+a）﹣（b+1） ＝3+a﹣b﹣1 ＝2+a﹣b． 故选：B． 【变式2-5】．（2023秋•青羊区校级期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝　2a　． 【分析】由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，再根据绝对值的意义化简即可． 【解答】解：由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c| ＝（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c） ＝a+b﹣b+c+a﹣c ＝2a， 故答案为：2a． 【变式2-6】．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝　1﹣a　． 【分析】判断出a﹣1的取值，再根据绝对值性质计算即可． 【解答】解：由题得a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝1﹣a， 故答案为：1﹣a． 【变式2-7】．（2023秋•余干县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　＜　0，a+b 　＜　0，c﹣a 　＞　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 题型三 绝对值化简与最值问题 【例3】．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案． 【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值， 即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1． 故选：B． 【变式3-1】．（2023秋•邵阳县校级月考）当a＝　1　时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为 　5　． 【分析】分a＜1、a＝1和a＞1三种情况讨论求出5﹣|a﹣1|≤5，问题随之得解． 【解答】解：当a＜1时，a﹣1＜0， 即5﹣|a﹣1|＝5﹣（1﹣a）＝4+a， ∵a＜1， ∴5﹣|a﹣1|＝4+a＜5； 当a＝1时，a﹣1＝0， 即5﹣|a﹣1|＝5； 当a＞1时，a﹣1＞0， 即5﹣|a﹣1|＝5﹣（a﹣1）＝6﹣a， ∵a＞1， ∴﹣a＜﹣1， ∴5﹣|a﹣1|＝6﹣a＜5； 综上：5﹣|a﹣1|≤5，当且仅当a＝1时，5﹣|a﹣1|有最大值，最大值为5， 解法二：∵|a﹣1|≥0， ∴5﹣|a﹣1|≤5， ∴当a＝1时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为5． 故答案为：1，5． 【变式3-2】．（2023秋•西安校级月考）当x满足 　﹣3≤x≤2　条件时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是 　5　． 【分析】根据绝对值的性质以及题意即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是5． 故答案为：﹣3≤x≤2，5． 【变式3-3】．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知m是有理数，则|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是　8　． 【分析】根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【解答】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当|m﹣2|，|m﹣4|，|m﹣6|，|m﹣8|等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当m＝2时，原式＝|2﹣2|+|2﹣4|+|2﹣6|+|2﹣8|＝12； ②当m＝4时，原式＝|4﹣2|+|4﹣4|+|4﹣6|+|4﹣8|＝8； ③当m＝6时，原式＝|6﹣2|+|6﹣4|+|6﹣6|+|6﹣8|＝8； ④当m＝8时，原式＝|8﹣2|+|8﹣4|+|8﹣6|+|8﹣8|＝12； ∴|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是8． 故答案为：8． 【变式3-4】．（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数a的绝对值可分为两种情况：．请用你所学的知识解决下面的问题： （1）若|a﹣3|＝5，求a的值； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），化简|a﹣2|﹣|a|； （3）当a＝　1　时，|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|取到最小值，最小值是 　8　． 【分析】（1）根据绝对值可得：a﹣3＝±5，即可解答； （2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可； （3）分四种情况讨论，即可解答． 【解答】解：（1）∵|a﹣3|＝5， ∴a﹣3＝±5， 解得：a＝8或a＝﹣2； （2）∵数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点）， ∴﹣3≤a≤0， ∴|a﹣2|﹣|a|＝﹣（a﹣2）+a＝﹣a+2+a＝2； （3）当a≥5时，原式＝a﹣5+a﹣1+a+3＝3a﹣3，此时的最小值为3×5﹣3＝12； 当1≤a＜5时，原式＝﹣a+5+a﹣1+a+3＝a+7，此时的最小值为1+7＝8； 当﹣3＜a≤1时，原式＝﹣a+5﹣a+1+a+3＝9﹣a，此时的最小值为9﹣1＝8； 当a≤﹣3时，原式＝﹣a+5﹣a+1﹣a﹣3＝﹣3a+3，这时的最小值为﹣3×（﹣3）+3＝12； 综上所述当a＝1时，式子的最小值为8， 故答案为：1，8． 【变式3-5】．（2023秋•芙蓉区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　7　； （2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝　﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 　3　； （4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 　2　； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值． 【分析】（1）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可； （2）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可； 【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7． 故答案为：7； （2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7表示的是在数轴上x所对应的点到﹣5，2两点之间的距离之和等于7， 又∵x为整数， ∴x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和， 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值， ∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3． 故答案为：3； （4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取得最小值， ∴x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2． 故答案为：2； （5）由（4）的结论可知：当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取得最小值， 最小值为2×（1+2+...+998）＝997002． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$