微专题01 集合5种常考题型总结（133题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题01 集合5种常考题型总结(133题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合的含义与表示 （一）判断对象是否能构成集合 （二）判断元素与集合的关系 （三）根据元素与集合的关系求参数 （四）判断集合中的元素个数 （五）根据集合中元素的个数求参数 （六）集合元素互异性的应用 （七）集合的表示 题型二 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 （二）空集及其应用 （三）（真）子集的列举与个数的计算 （四）根据子集、真子集的个数求参数 （五）集合相等及其应用 （1）判断两个集合是否相等 （2）根据两个集合相等求参数 （六）根据集合的包含关系求参数 题型三 集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 （二）补集的运算 （三）交、并、补的综合运算 （四）根据集合的运算结果求参数 题型四 韦恩图及其应用 题型五 集合的新定义问题 1．集合的概念 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 构成两个集合的元素是一样的 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且xA AÞB 结论 任何一个集合是它本身的子集 A⊆A 若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集 A⊆B，B⊆C⇒A⊆C 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A ∅ÞB(B≠∅) 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：(A∪B)⊇A；(A∪B)⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A. (2)交集的性质：(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A. (3)补集的性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U. 5．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 6．子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 7．元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 8.理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 9.与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 10.集合间基本关系的2种判定方法和1个关键 两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 一个关键： 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 11.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论 12.集合基本运算的方法技巧 13.集合基本运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 14.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 15.集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下： (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 16.韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 17.集合新定义问题的求解思路 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 题型一 集合的含义与表示 （一）判断对象能够构成集合 1．【多选】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．全体较高的学生 B．所有素数 C．2023年高考数学难题 D．所有正方形 2．（2024·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·上海浦东新·高一统考期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 4.（2024·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点 C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数 （二）判断元素与集合的关系 5.（2024·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______. 7．（2024·高一课时练习）下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中）若集合,则（    ） A． B． C． D． 9.（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． （三）根据元素与集合的关系求参数 10.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 11．（2024·高一课时练习）已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 12．（2024·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______. 13．（2024·山东日照·高一校考阶段练习）已知集合，且，求实数a的取值范围． 14．（2024·高一单元测试）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 15.（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 16.（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. （四）判断集合中元素的个数 17.（2024·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______. 18.（2023秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 19.（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 20.（2023秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2024·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 22．（2024·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 23．（2024·河南濮阳·高一校考阶段练习）集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）集合中的元素个数为___________个. 25．（2024·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. （五）根据集合中元素的个数求参数 26．（2024·河南新乡·高一校考阶段练习）已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 27．（2024·高一课时练习）若，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 28．（2024·四川·高一校考阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 29．（2024·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）已知全集，集合，集合． (1)若集合A中有2个元素，求p的取值范围； (2)若，求． 30．（2024·高一单元测试）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 （六）集合元素互异性的应用 31．（2024·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 32．（2024·高一课时练习）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 33．（2024·安徽宿州·高一校考阶段练习）集合中，x应满足的条件 34.（2024·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________. 35．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． （七）集合的表示 36.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合A为______. 38．（2024·高一课时练习）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 39.（2024·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______. 40．（2024·高一课时练习）（1）用列举法表示集合是15的约数为：__________； （2）用描述法表示“被5除余1的正整数构成的集合”为__________. 41.（2024·高一课时练习）下列集合是否有区别？ （1）； （2）； （3） （4）； （5）或 42.（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 43．（2024·江苏·高一假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 题型二 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 44．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 45．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）若集合，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 47.（2024·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·全国·高一假期作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 49.【多选】（2023秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． （二）空集及其应用 50．（2024·广西桂林·高一统考期末）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 51．（2024·全国·高一专题练习）下面四个命题中正确命题的个数是. ①； ②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集； ④空集是任何一个集合的子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 52.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____. 53．（2024·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 54．（2024·高一课时练习）已知集合，为实数. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若是单元素集，求的值； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围. （三）（真）子集的列举与个数的计算 55．（2024·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______. 56.（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 57．（2024·广西百色·高一校考阶段练习）已知全集，集合． (1)求； (2)写出集合的所有子集． 58．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 59.（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 60．【多选】（2024·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（    ） A． B． C． D． 61．（2024·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知集合，则集合A的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 62．（2024·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是__________． 63．（2024·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 64．（2024·高一单元测试）满足的集合有_________个 65.（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 （四）根据子集、真子集的个数求参数 66．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 67．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 68．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 69．【多选】（2023秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 70．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 71．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． （5） 根据集合相等求参数 （1） 判断两个集合是否相等 72．（2023秋·河南周口·高一校考阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 73.【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 74．【多选】（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． （2）根据两个集合相等求参数 75.（2023秋·高一课时练习）已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 76．（2024·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习）若，则的值为__________. 77．（2024·江苏·高一假期作业）已知，且，则＝________． 78.（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 79．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数______. 80．【多选】（2024·云南·高一校联考阶段练习）已知集合，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 （五）根据集合的包含关系求参数 81．（2024·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考期中）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（     ） A． B． C． D． 82.【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 83.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 84．（2024·高一课时练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 85．【多选】（2024·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 86．（2024·全国·高一专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 87．（2024·江西景德镇·高一统考期中）已知集合，，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 88.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型三 集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 89.（2024·北京·统考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 90．（2024·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 91．（2024·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期中）已知集合，，则（　  ） A． B． C． D． 92．（2024·安徽蚌埠·高一统考期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 93．（2024·江西宜春·高一上高中学校考期中）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 94.（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 95．（2024·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 96．（2024·浙江湖州·高一统考期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 97.（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． （二）补集的运算 98．（2024·全国·高一假期作业）设集合，则（    ） A． B． C． D． 99．（2024·高一课时练习）全集或，则为__________． 100.（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 101.（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． （三）交、并、补的综合运算 102．（2024·河南周口·高一校考阶段练习）已知，，，求，，，. 103．（2024·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 104．（2024·江苏·高一假期作业）设集合则________． 105．（2024·高一课时练习）若全集，集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 106．（2024·江苏南通·高一统考期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． （四）根据集合的运算结果求参数 107．（2024·河南·高一校联考阶段练习）已知集合，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 108．（2024·高一课时练习）已知集合，，则_________. 109．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知，且，若，求实数的取值范围． 110．（2024·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________． 111．（2024·高一课时练习）己知集合． （1）若，则实数a的取值范围是__________． （2）若，则实数a的取值范围是__________． （3）若，则实数a的取值范围是__________． 112．（2024·山东济宁·高一统考期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 113．（2024·福建福州·高一校联考期中）已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 114．（2024·山西·高一校联考阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 115．（2024·高一单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 116.（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 117.（2023秋·陕西渭南·高一统考期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 题型四 韦恩图及其应用 118．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A． B． C． D． 119．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 120．（2024·全国·高一专题练习）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 121．（2024·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 122．（2024·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 123．（2024·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 124.（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 125.（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五 集合的新定义问题 126.【多选】（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 127．（2024·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）定义且,若集合,,______. 128．（2024·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 129．【多选】（2024·河南·高一校联考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 130．【多选】（2024·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 131．（2024·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 132．【多选】（2024·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 133．（2024·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题01 集合5种常考题型总结(133题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合的含义与表示 （一）判断对象是否能构成集合 （二）判断元素与集合的关系 （三）根据元素与集合的关系求参数 （四）判断集合中的元素个数 （五）根据集合中元素的个数求参数 （六）集合元素互异性的应用 （七）集合的表示 题型二 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 （二）空集及其应用 （三）（真）子集的列举与个数的计算 （四）根据子集、真子集的个数求参数 （五）集合相等及其应用 （1）判断两个集合是否相等 （2）根据两个集合相等求参数 （六）根据集合的包含关系求参数 题型三 集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 （二）补集的运算 （三）交、并、补的综合运算 （四）根据集合的运算结果求参数 题型四 韦恩图及其应用 题型五 集合的新定义问题 1．集合的概念 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 构成两个集合的元素是一样的 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且xA AÞB 结论 任何一个集合是它本身的子集 A⊆A 若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集 A⊆B，B⊆C⇒A⊆C 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A ∅ÞB(B≠∅) 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：(A∪B)⊇A；(A∪B)⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A. (2)交集的性质：(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A. (3)补集的性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U. 5．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 6．子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 7．元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 8.理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 9.与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 10.集合间基本关系的2种判定方法和1个关键 两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 一个关键： 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 11.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论 12.集合基本运算的方法技巧 13.集合基本运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 14.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 15.集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下： (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 16.韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 17.集合新定义问题的求解思路 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 题型一 集合的含义与表示 （一）判断对象能够构成集合 1．【多选】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．全体较高的学生 B．所有素数 C．2023年高考数学难题 D．所有正方形 【答案】BD 【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性. 【详解】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误； B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确； C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误； D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确 故选：BD 2．（2024·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 3．（2024·上海浦东新·高一统考期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2023年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 4.（2024·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点 C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数 【答案】D 【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论. 【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性． 故选：D． （二）判断元素与集合的关系 5.（2024·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】判断数所在数域，得到正确答案. 【详解】为实数，①正确；是无理数，，②正确； 是自然数，③正确；，④错误， 故选：C 6．（2024·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______. 【答案】3 【分析】根据集合的表示规则和常用集合的含义求解. 【详解】是无理数，属于实数，①正确； 是分数，属于有理数，②正确； 0表示一个元素，表示一个集合，③错误； N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误； 是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误； Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确； 故答案为：3. 7．（2024·高一课时练习）下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】①集合中最小数为，故①错误； ②取，则，故②错误； ③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误； ④所有的正数组成一个集合，故④正确； 故选：B. 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中）若集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合,判断元素是否在集合内即可选出结果. 【详解】解:因为, 所以. 故选：D 9.（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． （三）根据元素与集合的关系求参数 10.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 11．（2024·高一课时练习）已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 【答案】0或-1 【分析】分与两种情况，进行求解，检验后得到答案. 【详解】若，则，此时，满足要求， 若，解得，此时，满足要求， 综上：或-1 12．（2024·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______. 【答案】2或4 【分析】对，分类讨论即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 故答案为:2或4. 13．（2024·山东日照·高一校考阶段练习）已知集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，即恒成立，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以，即满足. 即恒成立，即. 故答案为： 14．（2024·高一单元测试）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【详解】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 15.（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】因为，所以，解得：， 故答案为：． 16.（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________. 【答案】1 【分析】依题意可得，解得，再检验即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： （四）判断集合中元素的个数 17.（2024·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______. 【答案】2 【分析】分与讨论即可求解. 【详解】当时，，此时元素个数为1； 当时，， 所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2. 所以由构成的集合中，元素个数最多是2个. 故答案为:2. 18.（2023秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 19.（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数． 【详解】当时，有，6个元素； 当时，有，5个元素； 当时，有，4个元素； 当时，有，3个元素； 当时，有，2个元素； 当时，有，1个元素， 综上，一共有21个元素． 故选：B． 20.（2023秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 21．（2024·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解. 【详解】由可知集合,故共有9个元素， 故选：C 22．（2024·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 23．（2024·河南濮阳·高一校考阶段练习）集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案． 【详解】集合， 所以集合的元素个数为9个． 故选：B． 24．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）集合中的元素个数为___________个. 【答案】 【分析】根据元素为整数求得正确答案. 【详解】由于， 所以， 则，共个元素. 故答案为： 25．（2024·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【答案】(1)3； (2)； (3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一） 【分析】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答. （2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答. （3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答. 【详解】（1）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. （五）根据集合中元素的个数求参数 26．（2024·河南新乡·高一校考阶段练习）已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】C 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 27．（2024·高一课时练习）若，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知只有一个实数根，讨论和，由根的判别式可得答案. 【详解】∵，∴只有一个实数根. 当时，，此时； 当时，，所以，此时. ∴.故或. 故选：B. 28．（2024·四川·高一校考阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【答案】(1)1 (2)m＝1或m＝2 【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案； （2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案. 【详解】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 29．（2024·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）已知全集，集合，集合． (1)若集合A中有2个元素，求p的取值范围； (2)若，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据判别式列不等式，从而求得的取值范围. （2）先求得，由此求得，进而求得. 【详解】（1）若集合中有个元素， 所以， 解得或. （2）由于， 所以，解得. 由解得或，所以. 由解得或，所以. 所以. 30．（2024·高一单元测试）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1) (2)的值为或，当时，当时 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. （六）集合元素互异性的应用 31．（2024·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 32．（2024·高一课时练习）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形， 根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等， 以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形. 故选：C. 33．（2024·安徽宿州·高一校考阶段练习）集合中，x应满足的条件 【答案】x≠0且x≠－1且x≠3 【分析】利用集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合互异性知，故x≠0且x≠－1且x≠3. 34.（2024·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________. 【答案】0，1，2， 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解. 【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且 故答案为：0，1，2， 35．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD （七）集合的表示 36.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． 又， ∴． 故选：A 37．（2024·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合A为______. 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合A中的元素即可. 【详解】要使，则可取，又，则可取， 故答案为：. 38．（2024·高一课时练习）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及表示方法求解. 【详解】方程组的解为, 所以方程组的解集为， 故选：D. 39.（2024·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按a，b值的正负分类计算作答. 【详解】a，b是非零实数，当时，， 当时，，当时，， 所以所求集合是. 故答案为： 40．（2024·高一课时练习）（1）用列举法表示集合是15的约数为：__________； （2）用描述法表示“被5除余1的正整数构成的集合”为__________. 【答案】 【分析】（1）因为在自然数中，的约数为，即可得到用列举法表示的集合； （2）根据集合的描述法的表示形式，即可得到答案. 【详解】（1）因为在自然数中，的约数为，所以用列举法表示集合是15的约数为； （2）用描述法表示“被5除余1的正整数构成的集合”为. 故答案为：；. 41.（2024·高一课时练习）下列集合是否有区别？ （1）； （2）； （3） （4）； （5）或 【答案】有区别 【分析】分别明确（1），（2），（3），（4），（5），各个集合中都有哪些元素，从而判断集合是否有区别，即可. 【详解】由题意可知： （1），表示大于或等于的全体实数构成的集合； （2），表示大于或等于的全体实数构成的集合； （3），表示曲线上所有的点构成的集合； （4），表示点构成的集合； （5）或，表示直线或直线上的点所构成的集合. 综上所述，以上5个集合有区别. 【点睛】本题考查描述法表示集合，属于较易题. 42.（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：； （2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：； （3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：． 43．（2024·江苏·高一假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解. 【详解】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为． （3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为． （5） 二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为． 题型二 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 44．【多选】（2024·全国·高一假期作业）下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断. 【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误； 对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误； 对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确； 对于D.空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：CD． 45．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）若集合，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合的包含关系逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，ABC对，D错. 故选：D. 46．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式得到，，从而判断出四个选项的正误. 【详解】，， 故，A错误； ，B正确； 不是的子集，且不是的子集，CD错误. 故选：B 47.（2024·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【详解】由，所以， 故选：B 48．（2024·全国·高一假期作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项. 【详解】解：因为，因为， 所以集合是由所有奇数的一半组成， 而集合是由所有整数的一半组成，故. 故选：B 49.【多选】（2023秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. （二）空集及其应用 50．（2024·广西桂林·高一统考期末）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合和元素的关系,集合和集合的关系即可选出结果. 【详解】解:因为是集合,是数字,所以选项A错误; 因为是集合,所以,故选项B错误; 因为1是中的元素,所以选项C正确; 因为,所以选项D错误. 故选：C 51．（2024·全国·高一专题练习）下面四个命题中正确命题的个数是. ①； ②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集； ④空集是任何一个集合的子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】试题分析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误； ②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误； ③空集是它本身的子集，故错误； ④空集是任何一个集合的子集，故正确． 题型：命题真假的判定． 52.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____. 【答案】m≥1 【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 53．（2024·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答； (2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）且B是A的真子集，则，解得， 显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得， 所以实数a的取值范围. 54．（2024·高一课时练习）已知集合，为实数. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若是单元素集，求的值； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）（2）0或1；（3）9或. 【详解】试题分析：（1）由方程无解列，解不等式可得的取值范围；（2）按一次与二次分类讨论方程解的个数：当时，；当时，.解方程可得的值；（3）中至多只有一个元素，就是（1）与（2）两者情况，所以取并集得的取值范围. 试题解析：解：（1）若是空集，则只需无实数解，显然方程显然有解，故，所以只需，即即可. 当时，原方程化为解得；当时，只需. 即，故所求的值为0或1； 综合（1）（2）可知，中至多有一个元素时，的值为9或. （三）（真）子集的列举与个数的计算 55．（2024·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______. 【答案】 【分析】根据子集概念求解即可。 【详解】因为， 所以的子集为. 故答案为：. 56.（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：集合的非空子集有、、， 所以， 解得. 故选：D 57．（2024·广西百色·高一校考阶段练习）已知全集，集合． (1)求； (2)写出集合的所有子集． 【答案】(1)． (2)，共8个． 【分析】（1）由题知，，再计算集合交集与并集； （2）由题知，再求解子集即可. 【详解】（1）解：由题知全集， 集合，集合 所以， （2）解：由（1）知，， 所以，， 所以，的所有子集为：,共8个. 58．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义一一判断即可. 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 59.（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得. 【详解】解：由英文单词“book”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素， 所以该集合的子集为个. 故选：C 60．【多选】（2024·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用集合关系，判断中必须有2，4，结合 是的真子集，即可得求解． 【详解】集合，集合， 则集合中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素， 所以集合可以是,,, 故选：ABC 61．（2024·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知集合，则集合A的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答. 【详解】集合， 则集合A的子集有：，共8个， 所以集合A的子集的个数为8. 故选：D 62．（2024·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是__________． 【答案】16 【分析】根据集合的描述确定集合M中元素的个数，进而可知其子集个数. 【详解】由题设，，故集合M的子集的个数是. 故答案为：16 63．（2024·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 64．（2024·高一单元测试）满足的集合有_________个 【答案】7 【分析】由，可知集合中必有元素，由，可知中还有元素，，，中的个，个，或个，进而分析集合的个数. 【详解】由，知集合中必有元素， 且中还有元素，，，中的个，个，或个， 当中有一个元素时，有个， 当中有两个元素时，有，，个， 当中有三个元素时，有，，个， 综上，集合个数有. 故答案为： 65.（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素； 若集合中有三个元素，则可以是； 若集合中有四个元素，则可以是； 若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个. 故选：B （四）根据子集、真子集的个数求参数 66．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【详解】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 67．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【详解】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 68．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 69．【多选】（2023秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 70．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 71．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 【答案】或． 【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围． 【详解】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． （5） 根据集合相等求参数 （1） 判断两个集合是否相等 72．（2023秋·河南周口·高一校考阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的条件判断即可 【详解】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误； 选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误； 选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确； 选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误； 故选：C. 73.【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 74．【多选】（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是； 对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是； 对于C，，即，C是； 对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是. 故选：ABC （2）根据两个集合相等求参数 75.（2023秋·高一课时练习）已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 【答案】C 【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案. 【详解】由已知得，，解得或－1，经检验符合题意． 故选：C. 76．（2024·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习）若，则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据集合中元素的性质可知或，解得，，即可求解. 【详解】因为， 所以或，则或， 所以， 所以， 故答案为：1 77．（2024·江苏·高一假期作业）已知，且，则＝________． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 78.（2024·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 79．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数______. 【答案】1 【分析】根据，得到，得到或，求出相应的值，排除不合要求的解. 【详解】因为，所以，故或， 当时，，此时，，，不合题意，舍去， 当时，， 当时，，，，符合要求， 当时，，，不合题意，舍去， 综上： 故答案为：1 80．【多选】（2024·云南·高一校联考阶段练习）已知集合，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 【答案】ABD 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【详解】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 故选：ABD （五）根据集合的包含关系求参数 81．（2024·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考期中）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系得到方程，求出值，代入检验，舍去不合要求的值. 【详解】∵， ∴或，解得或或， 将求出的值代入集合A、B验证，知时，不符合集合的互异性， 故或3． 故选：C 82.【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解. 【详解】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝. 所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去； 当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2； 当B＝时，a＝0. 综上可得实数a的可能取值为3，0，－2. 故选：BCD. 83.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 84．（2024·高一课时练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 又且， 显然，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 85．【多选】（2024·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 86．（2024·全国·高一专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可； （2）分与由条件列不等式求范围即可. 【详解】（1）当时，， 所以或，又， 所以. （2）由题可得：当时，有， 解得a的取值范围为； 当时有，解得a的取值范围为， 综上所述a的取值范围为. 87．（2024·江西景德镇·高一统考期中）已知集合，，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义直接求解即可； （2）由可得分和两种情况求解. 【详解】（1）因为，， 所以 （2）(i)当时，满足，此时，解得； (ii)当时，要，则 解得， 综上所述：由(i)和(ii)得. 故的取值范围是. 88.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 题型三 集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 89.（2024·北京·统考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 90．（2024·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】因为集合，， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：B． 91．（2024·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期中）已知集合，，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得，再求. 【详解】由题得，所以. 故选：B 92．（2024·安徽蚌埠·高一统考期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由交集的定义求解即可． 【详解】因为，， 所以， 故选：A． 93．（2024·江西宜春·高一上高中学校考期中）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据交集运算法则得到答案. 【详解】，或，则. 故选：C. 94.（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，， . 故选：A 95．（2024·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 96．（2024·浙江湖州·高一统考期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式得到集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由得，解得，所以， 又，所以， 故选：A. 97.（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果. 【解答】因为集合，集合， 所以，故AC均错误； ，故B正确，D错误． 故选：B． （二）补集的运算 98．（2024·全国·高一假期作业）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】集合， 故选：B. 99．（2024·高一课时练习）全集或，则为__________． 【答案】 【分析】由补集的定义求解即可. 【详解】因为或， 所以. 故答案为： 100.（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故或. 故选：B. 101.（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍， 而由可知，集合表示的是的整数倍， 即，所以. 故选：B （三）交、并、补的综合运算 102．（2024·河南周口·高一校考阶段练习）已知，，，求，，，. 【答案】，，， 【分析】由已知条件，直接进行集合交并补的运算. 【详解】，， ，， ，，， ， 103．（2024·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】由题意，则， 故， 故选：C 104．（2024·江苏·高一假期作业）设集合则________． 【答案】 【分析】利用集合的并集与补集计算即可. 【详解】由题意知，. 故答案为： 105．（2024·高一课时练习）若全集，集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】求得结合A，根据集合的交集运算求得，再根据集合的补集运算即得答案. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以或， 故选：D 106．（2024·江苏南通·高一统考期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】,,,, 故选:C （四）根据集合的运算结果求参数 107．（2024·河南·高一校联考阶段练习）已知集合，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可确定集合中的元素，即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以. 故选：A 108．（2024·高一课时练习）已知集合，，则_________. 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意. 【详解】因为，所以，易知， 当时，，此时，，不合题意舍去； 当时，，此时，，满足题意， 所以. 故答案为： 109．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知，且，若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由得，由得，求解即可. 【详解】由得，即. 由得，解得. 故实数的取值范围为 110．（2024·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 111．（2024·高一课时练习）己知集合． （1）若，则实数a的取值范围是__________． （2）若，则实数a的取值范围是__________． （3）若，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用集合间的关系，即可得出答案. 【详解】（1）若，得， 所以实数a的取值范围是. （2），即，所以， 所以实数a的取值范围是. （3）若，即，所以， 则实数a的取值范围是. 故答案为：；；. 112．（2024·山东济宁·高一统考期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入可求实数的取值范围； （2）由可知，讨论集合是否为空集，可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 解得，所以实数的取值范围是. （2）由条件可知. 因为，所以. 当即时，，符合； 当即时，， 则有解得. 综上可知，即实数的取值范围是. 113．（2024·福建福州·高一校联考期中）已知集合， (1)若，求，； (2)若，则实数a的取值范围. 【答案】(1)A∩B＝； AB＝ (2) 【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的交集和并集运算求解； （2）由，得到，分和求解. 【详解】（1）因为集合， 当时，集合， 所以，. （2），，分和两种情况； ①当时，则，解得： ，此时满足； ②当时，则，要使 成立， 则有，解得，所以， 综上可知，，所以实数a的取值范围为. 114．（2024·山西·高一校联考阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由可得，分与分类讨论即可求出实数的取值范围； （2）先求出，若中只有一个整数，那么这个整数只能是，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得； 则实数的取值范围是. （2）或，若中只有一个整数， 那么这个整数只能是，则，解得， 则实数的取值范围是. 115．（2024·高一单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围； （2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，所以解得． 故的取值范围是． （2）因为，所以， 则或，解得或． 故的取值范围是． 116.（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）条件选择见解析，. （2）由，得到，列出不等式组，即可求解； 【详解】（1）当时，集合， 因为，所以或． （2）因为，可得，则，解得． 117.（2023秋·陕西渭南·高一统考期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 题型四 韦恩图及其应用 118．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，图阴影区域表示的集合是, 所以. 故选：A. 119．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故选：B. 120．（2024·全国·高一专题练习）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断． 【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为． 故选：D． 121．（2024·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合中的元素，且该子集包含于集合的补集，用关系式表示出来即可． 【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中， 可得阴影部分所表示的集合是或. 故选：C. 122．（2024·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    123．（2024·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 【答案】11 【分析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，借助Venn图列出方程，求出x，进而求得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可． 【详解】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人， 由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人． 故答案为：11． 124.（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【解析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用图列方程求解x即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 【点睛】本题考查集合的应用、利用图进行集合的运算，属于中档题. 125.（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 题型五 集合的新定义问题 126.【多选】（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 127．（2024·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）定义且,若集合,,______. 【答案】 【分析】根据集合的新定义解出即可. 【详解】解:由题知且, 且,, 所以. 故答案为: 128．（2024·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 【答案】6 【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可． 【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数， 故不含好元素的集合共有， 共有6个. 故答案为：6． 129．【多选】（2024·河南·高一校联考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 130．【多选】（2024·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【答案】ACD 【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C正确； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D正确. 故选：ACD 131．（2024·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 132．【多选】（2024·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】AC 【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论. 【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确; 对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误; 对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确; 对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误. 故选：AC 133．（2024·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． 【答案】 5 6 【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可. 【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”； 对于2，，且，则2不是“孤立元”； 对于3，，则3不是“孤立元”； 对于5，，且，则5是“孤立元”； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素， 所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个， 故答案为：5；6. $$