专题01 二次根式的化简及材料分析（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题01 二次根式的化简及材料分析 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用二次根式的性质化简 2 类型二、复合二次根式的化简 4 类型三、二次根式的混合运算 7 类型四、新定义问题 11 类型五、材料探究题 16 压轴能力测评（12题） 21 知识点1：二次根式有关概念 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为二次根号．叫做被开方数，如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0 3.最简二次根式的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母；③分母中不含根号 二次根式的性质 1.双重非负性:如 2. 3. 4. 5. 类型一、利用二次根式的性质化简 【例1】若，则的取值范围是 ． 【例2】已知 ，，求的值． 【变式训练1】已知，且，则的值为 ． 【变式训练2】若，则二次根式化简的结果为 ． 【变式训练3】先化简再求值：当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的，错误的原因是______； (2)若，计算的值． 类型二、复合二次根式的化简 【例3】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【例4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【变式训练1】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式训练2】若设的整数部分为，小数部分为，则 【变式训练3】先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 类型三、二次根式的混合运算 【例5】的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【例6】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 【变式训练1】已知，，，求， (1)_____________；_____________； (2)若为整数部分，为小数部分，求的值. 【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【变式训练3】阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 类型四、新定义问题 【例7】我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【例8】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【变式训练1】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【变式训练2】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【变式训练3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 类型五、材料探究题 【例9】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【变式训练1】【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【变式训练2】阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 【变式训练3】阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律．设a，b，m，n均为正整数）， 则有． ∴，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当a，b，m，n均为正整数时， (1)若，用含m，n的式子分别表示a，b，得__________，__________； (2)①若，则__________，__________； ②若，且，求a的值． 一、单选题 1．已知，，估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 3．已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．若为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：（    ） ①； ②若（其中为有理数）则； ③若，则； ④； 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 二、填空题 6．化简的结果是 ． 7．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 8．非零实数，满足，则 ． 三、解答题 9．无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 10．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 11．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的化简及材料分析 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用二次根式的性质化简 2 类型二、复合二次根式的化简 4 类型三、二次根式的混合运算 7 类型四、新定义问题 11 类型五、材料探究题 16 压轴能力测评（12题） 21 知识点1：二次根式有关概念 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为二次根号．叫做被开方数，如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0 3.最简二次根式的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母；③分母中不含根号 二次根式的性质 1.双重非负性:如 2. 3. 4. 5. 类型一、利用二次根式的性质化简 【例1】若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例2】已知 ，，求的值． 【答案】 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【变式训练1】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式训练2】若，则二次根式化简的结果为 ． 【答案】 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 【变式训练3】先化简再求值：当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的，错误的原因是______； (2)若，计算的值． 【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断的正负情况 (2)1 【详解】（1）解：， ， 原式 ， 乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断的正负情况； 故答案为：乙；去绝对值时，没有判断的正负情况； （2）解：， ， 原式 ． 类型二、复合二次根式的化简 【例3】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【例4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 【变式训练1】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式训练2】若设的整数部分为，小数部分为，则 【答案】/ 【详解】 ， 所以，代入得 ． 【变式训练3】先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 类型三、二次根式的混合运算 【例5】的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分a为，的整数部分b为2， ∴ 故答案为：． 【例6】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： 则原式 当时，原式 （3）解： 【变式训练1】已知，，，求， (1)_____________；_____________； (2)若为整数部分，为小数部分，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：，， ； ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）， ， ，， 的整数部分为，的小数部分为：， 即，， ， ． 【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 【变式训练3】阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 类型四、新定义问题 【例7】我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 【例8】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 【变式训练1】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 【变式训练2】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 【变式训练3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 类型五、材料探究题 【例9】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 【变式训练1】【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【答案】(1)5， (2) 【详解】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， ；， （负值舍去）； 故答案为：，； （2）解：， ． 【变式训练2】阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 【变式训练3】阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律．设a，b，m，n均为正整数）， 则有． ∴，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当a，b，m，n均为正整数时， (1)若，用含m，n的式子分别表示a，b，得__________，__________； (2)①若，则__________，__________； ②若，且，求a的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② 【详解】（1）解：， ∴，， 故答案为：，； （2）①由（1）可得， 又∵m，n为正整数， ∴， 故答案为：，； ②由（1）可得， ∵m，n为正整数且， ∴， ∴． 一、单选题 1．已知，，估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 2．已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 3．已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ， ， ∵， ∴． 故选：A 4．若为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：（    ） ①； ②若（其中为有理数）则； ③若，则； ④； 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：① ，故该结论正确； ②根据题意，可得 ， 则有，解得， 所以，可有，故该结论正确； ③若， 因为 ， 所以，故该结论正确； ④因为 ，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有4个． 故选：D． 5．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 二、填空题 6．化简的结果是 ． 【答案】5 【详解】解： ． 故答案为：5． 7．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 8．非零实数，满足，则 ． 【答案】 【详解】两边同时乘以，可得： 可得： 把代入 故答案为： 三、解答题 9．无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【答案】(1)0，； (2)． 【详解】（1）解： 的整数部分是0，小数部分是 ， 故答案为：0，； （2）解： 由题意，得 ∴． 10．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【详解】（1）解：，， 即， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ①，同理②， ∴①②得：， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$