第12讲 提取公因式法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第12讲 提取公因式法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【例1】（闸北区校级期中）若因式分解的结果是，那么　　． 【变式1】（2023秋•宝山区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（长宁区校级期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有　　个． 【变式3】（2021秋•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 知识点2．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【例2】（2022秋•海沧区校级期末）单项式与单项式的公因式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•嘉定区期中）多项式的公因式是 　　． 【变式2】（浦东新区期末）和的公因式是　　． 【变式3】（2022秋•宝山区校级期中）有两个多项式，，则与的公因式的是　　 A． B． C． D． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【例3】（2023秋•闵行区校级期中）把多项式分解因式得时，、的值分别可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021春•徐汇区校级期中）所得的结果是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•普陀区期末）因式分解：　　． 【变式3】（2023秋•普陀区校级期末）分解因式：． 经典题型汇编 题型一．因式分解的意义 1．（2020秋•上海期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有　　 ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（浦东新区校级期中）已知是的一个因式，则常数的值是　　． 3．（2023秋•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　，　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 题型二．公因式 4．（2020秋•浦东新区期末）多项式，与的公因式为　　 A． B． C． D． 5．（嘉定区期末）写出多项式与多项式的一个公因式　　． 6．指出下列多项式的公因式： （1）； （2）； （3）． 题型三．因式分解-提公因式法 7．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：　　． 8．（2023秋•浦东新区期中）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 9．（2023秋•浦东新区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）； （2）． 试题练习 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海宝山·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．； 2．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式正确的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 5．（21-22七年级上·上海松江·期中）已知，，那么的值为（    ） A．3 B．6 C． D． 6．（21-22七年级上·上海·期末）下列等式中：①；②；③；④，从左到右的变形是因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）计算： ． 8．（七年级上·上海浦东新·期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为 ． 9．（2022七年级上·上海·专题练习），则 10．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式： ． 11．（20-21七年级上·上海静安·课后作业） ． 12．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 13．（22-23七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 14．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解 ． 15．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 16．（21-22七年级上·期末）已知，则代数式的值是 ． 17．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是 ． 18．（19-20七年级上·上海徐汇·期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 20．（22-23七年级上·上海宝山·期中） 21．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，求： (1)； (2)． 22．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，用因式分解法求的值． 23．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）先分解因式，再求值：，其中． 24．（23-24七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 25．（2022七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得，求a、b的值． 26．（22-23七年级·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 27．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 提取公因式法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【例1】（闸北区校级期中）若因式分解的结果是，那么　1　． 【分析】将展开，找出和对应的项即可求出的值． 【解答】解：将展开得：， 则与对应的项为：． 所以． 【点评】本题考点：对平方项的展开，同类项的查找． 【变式1】（2023秋•宝山区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：，是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； ，符合因式分解的定义，则符合题意； ，等式的左边不是一个多项式，它不是因式分解，则不符合题意； ，等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式2】（长宁区校级期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有　4　个． 【分析】根据把24分解成两个因数的积，等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解答】解：，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，， 分别解得：（不符合题意，舍），（不符合题意，舍）；7，；5.5（不符合题意，舍），（不符合题意，舍）；5，． 整数的值有7，，5，， 整数的值有4个， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数24的正确分解是解题的关键，注意的值是分数的要舍掉． 【变式3】（2021秋•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则进行解答即可得出答案； （2）先把被遮住的部分用□来代替，再根据多项式乘多项式的法则进行进行计算，然后根据正确答案是不含三次项，得出三次项的和为0，从而得出答案． 【解答】解：（1） ； （2）□ □□， 这个题目的正确答案是不含三次项， □， □， 原题中被遮住的一次项系数是1． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 知识点2．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【例2】（2022秋•海沧区校级期末）单项式与单项式的公因式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【解答】解：单项式与单项式的公因式是． 故选：． 【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键． 【变式1】（2022秋•嘉定区期中）多项式的公因式是 　　． 【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案． 【解答】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键． 【变式2】（浦东新区期末）和的公因式是　　． 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【解答】解：系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是， 公因式为． 故答案为：． 【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键， 【变式3】（2022秋•宝山区校级期中）有两个多项式，，则与的公因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，可知与的公因式的是． 【解答】解：由题意可知：，， 与的公因式的是， 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，解题的关键是掌握理解平方差公式，完全平方公式，公因式． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【例3】（2023秋•闵行区校级期中）把多项式分解因式得时，、的值分别可能是　　 A． B． C． D． 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则，把展开，利用等式的性质列方程，求解即可． 【解答】解： ， ，， ，． 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式1】（2021春•徐汇区校级期中）所得的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据提公因式法简化运算即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 【变式2】（2023秋•普陀区期末）因式分解：　　． 【分析】提取公因式，即可得出答案． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键． 【变式3】（2023秋•普陀区校级期末）分解因式：． 【分析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．因式分解的意义 1．（2020秋•上海期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有　　 ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据多项式因式分解的概念进行辨别． 【解答】解：由因式分解的概念可得，是从左到右的变形是因式分解； 30不是多项式， 故从左到右的变形不是因式分解； ！不是几个整式的乘积的形式， 故从左到右的变形不是因式分解； ，从左到右的变形是整式乘法， 故从左到右的变形不是因式分解， 故选：． 【点评】此题考查了因式分解概念的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 2．（浦东新区校级期中）已知是的一个因式，则常数的值是　　． 【分析】根据多项式结构特点整理后判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【解答】解：，它的一个因式 分解时是利用平方差公式， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键． 3．（2023秋•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中　　，　　； （2）对于一元多项式，必定有　　； （3）请你用“试根法”分解因式：． 【分析】（1）将运算并整理后得到关于，的方程，解方程即可； （2）根据题意即可求得答案； （3）根据因式分解的意义及（2）中所求即可求得答案． 【解答】解：（1） ， ，， 则，， 故答案为：；； （2）多项式的奇次项系数之和为，偶次项系数之和为， 则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 则 ， 则，， 即，， ． 【点评】本题考查因式分解的意义，充分理解题意及因式分解的意义是解题的关键． 题型二．公因式 4．（2020秋•浦东新区期末）多项式，与的公因式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：因为，，， 所以多项式，与的公因式为． 故选：． 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“”． 5．（嘉定区期末）写出多项式与多项式的一个公因式　　． 【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式． 【解答】解：因为 ， ， 所以两个多项式的公因式为：． 故答案为： 【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键． 6．指出下列多项式的公因式： （1）； （2）； （3）． 【分析】多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式． 【解答】解：（1）的公因式是：； （2）的公因式是：； （3）的公因式是：． 【点评】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 题型三．因式分解-提公因式法 7．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：　　． 【分析】直接提取公因式进行分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 8．（2023秋•浦东新区期中）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据乘法分配律计算即可求解． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 9．（2023秋•浦东新区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案． （2）将分解成和，利用完全平方和平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）（1） ； （2） 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键． 试题练习 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海宝山·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，故A不符合题意； B、是整式的乘法，而且原运算错误．故B不符合题意； C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 2．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； B、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意； C、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 5．（21-22七年级上·上海松江·期中）已知，，那么的值为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值． 【详解】解：因为，， 所以， 所以 故选：D 【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键． 6．（21-22七年级上·上海·期末）下列等式中：①；②；③；④，从左到右的变形是因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：①由因式分解的概念可得，是从左到右的变形是因式分解； ②30不是多项式，故从左到右的变形不是因式分解； ③不是几个整式的乘积的形式，故从左到右的变形不是因式分解； ④，从左到右的变形是整式乘法，故从左到右的变形不是因式分解， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解概念的运用能力，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，关键是能准确理解并运用以上知识． 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）计算： ． 【答案】-31.4 【分析】运用提公因式法计算即可 【详解】解： 故答案为：-31.4 【点睛】本题考查了提公因式法进行简便运算，熟练掌握法则是解决此题的关键 8．（七年级上·上海浦东新·期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为 ． 【答案】0 【分析】由题可知a=-3b，把a=-3b代入原式即可求解． 【详解】解：由题可知：a=-3b，把a=-3b代入原式， 则原式=-（-3b）3+a2b+ab2-33b3 =a2b+ab2-6b3 =b（a2+ab-6b2） =b[（-3b）2+（-3b）b-6b2] =0 ， 故答案为0． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，灵活的代入消元是解本题的关键 9．（2022七年级上·上海·专题练习），则 【答案】9 【分析】利用多项式乘多项式，展开，再根据等式的性质列式求得m、n的值，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴9+n=8，m=9n， ∴n=-1，m=-9， ∴mn=-9×(-1)=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 10．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】根据一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式求解 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，解题时注意：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 11．（20-21七年级上·上海静安·课后作业） ． 【答案】 【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可． 【详解】原式= = ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键． 12．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 13．（22-23七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式：= 【答案】/ 【分析】提取公因式，同类项合并即可解得． 【详解】 【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法． 16．（21-22七年级上·期末）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2000 【分析】由可得，再把代入即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用因式分解求整式的值问题，根据整式的特点，用含有已知条件的式子表示出待求值的式子是解决本题的关键． 17．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】首先需要先将变形为 ，经过提公因式得到 ，将整体代入即可． 【详解】解： 将代入，得到． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式是解题的关键． 18．（19-20七年级上·上海徐汇·期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ． 【答案】21． 【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可． 【详解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）， ∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）， ∴b＝9， ∴2a+b＝12+9＝21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 【答案】 【分析】把提公因式，即可作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式，难度较小． 20．（22-23七年级上·上海宝山·期中） 【答案】 【分析】先提公因式，即可． 【详解】． 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握提公因式法． 21．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)19 【分析】（1）先提公因式，然后再代入求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 22．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 23．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】，48 【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可． 【详解】解： ； 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键． 24．（23-24七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式进行因式分解是解答本题的关键． 25．（2022七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得，求a、b的值． 【答案】 【分析】根据整式的乘法运算将化为，根据可知，，求出a、b的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出，是解答本题的关键． 26．（22-23七年级·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据提公因式法因式分解逐题求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂． 27．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ， =． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握试根法，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$