第6章 一次函数 小结与思考 2023--2024学年苏科版八年级数学上册

一次函数的小结与思考 第6章一次函数巩固提优第4课— 一次函数小结与思考 1 【学习目标】 1. 进一步领会一次函数的概念、图像和性质. 2. 进一步掌握运用一次函数的图像和性质解决实际问题. 【要点梳理】 1. 知识清单 （1）函数的概念 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的 每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数， x是自变量. （2）一次函数的概念、性质及应用 ①一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k0)的函数叫做 一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当b=0时，y=kx (k为常数，k0)， y叫做x的正比例函数. ②在一次函数y=kx+b中： 如果k>0，那么函数值y随自变量x增大而增大 ； 如果k<0，那么函数值y随自变量x增大而减小. （3）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次 方程的关系 ①已知一次函数的表达式，当其中的一个变量的值确定时，可以由 相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中的一个变量的取 值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取 值范围. ②一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次 函数y=kx+b的图像上. 2. 知识导练 （1）当m=_____时， 是x的一次函数． （2）若一次函数y=(m-2)x+3m-2的函数值y随x的增大而减小， 则m的取值范围是 ；若图像经过第二、三、四象限， 则m的取值范围是 . 0 m< 2 （3）点P1(x1,y 1) , P2(x2,y 2)是一次函数y=kx+1(k<0)图像上两点， 且x1> x2，则y1与y2的大小关系是 ． （4）已知一次函数y=ax+b 的图像经过第一、二、四象限，且与 x轴交于点(2,0)，则关于 的不等式a(x-1)-b>0 的解集为( ) A. x<-1 B. x>-1 C. x>1 D. x<1 y 1 < y 2 A (5)将直线y=3x+5向下平移6个单位，可以得到直线 . (6)直线y= －3x+2可以由直线y= －3x 而得到. y=3x-1 向上平移2个单位 例1.已知函数y=kx＋b的图象经过点A(4，0)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则此函数的解析式为____________. (4,0) (0,3) (0,-3) A B 一次函数的图象与坐标轴所围成的面积问题，我们往往要进行分类讨论！ 【典型例题】 若点A在x轴上,则SΔPOA= ∴OA=2， ∴A(2,0)或(-2,0) 例2.已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P.问在坐标轴上是否存在一点A，使SΔPOA=4.若存在，求出A点坐标；若不存在，请说明理由. 解：由题意 ，得 y=2x y=x+2 x=2 y=4 ∴点P(2,4) 若点A在y轴上,则SΔPOA = ∴OA=4， ∴A(0,4) 或(0,-4) 例3.如图：①直线与x轴的交点坐标为（　　）；与y轴的 交点坐标为（　　）. ②直线与坐标轴围成的面积为（　） ③当x 时，y＞0， 当x 时，y＜0， 　当y 时，x＞0， 当y 时，x＜0. ④写出直线的解析式. 1,0 0,-2 1 ＞1 ＜1 ＞-2 ＜-2 y=2x-2 例4.如图：①图中两直线的交点坐标可以看作哪一个方程组的解？ ②求出两条直线与纵轴所围成的三角形面积； ③当x为何值时，两直线表示的两个一次函数的函数值都大于0？ 略解： ①设直线l1：y=k1x+b1,将点（2,3）和（-1,0） 代入得 y=x+1； 设直线l2：y=k2x+b2,将点（2,3）和(0,-2) 代入得 y=2.5x－ 2； ∴方程组为 y=x+1 y=2.5x－ 2 ②S=3 ③x> 例4.如图：①图中两直线的交点坐标可以看作哪一个方程组的解？ ②求出两条直线与纵轴所围成的三角形面积； ③当x为何值时，两直线表示的两个一次函数的函数值都大于0？ y=2.5x－ 2 例5.医药公司开发了一种预防流感的新药,在 试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用， 那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成年人按规 定剂量服药后， （1）服药后______时，血液含药量最高. （2）当x≤2时, y与x之间的函数关系式是 . （3）当x≥2时, y与x之间的函数关系式是 . （4）如果每毫升血液中含药量4毫克或4毫克 以上时,治疗疾病有效,那么这个有效时间是 小时. x (时) y(毫克) 6 5 y＝3x y=-x+8 3 2 O 2小时 4 例6.下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象.根据图象回答问题: s (米) 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t(分) 6 8 7 -1 12 9 10 11 -3 -2 l1 l2 -4 （1）乌龟与兔子___时,___地出发,____时到达终点. （填“同”或“不同”） 同 同 不同 （2）这一次是 　米赛跑. （3）表示兔子赛跑的路程与时间之间的函数图象是 . 100 l2 s (米) 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t(分) 6 8 7 -1 12 9 10 11 -3 -2 l1 l2 -4 例6.下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象.根据图象回答问题: （4）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米. l1 l2 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 6 8 7 （5）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米. -1 12 9 10 11 -3 -2 40 -4 40 Ａ s (米) t(分) 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 6 8 7 -1 12 9 10 11 -3 -2 -4 思考:你觉得如果让兔子后退40米,两者再同时起跑,它们能同时到达终点吗? -20 -40 l1 l2 s (米) t(分) 例7.小红驾车从甲地到乙地，她出发第xh时距离乙地ykm，已知小红驾车 途中休息了1h，图中的折 线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系. （1）点B的坐标为 ; （2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式; （3）小红休息结束后，以60 km/h的速度行驶， 则点D表示的实际意义是 . 例8.如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数 与一次函数y=-x+7的图像交 于点A.（1）求点A的坐标; （2）如图，设x轴上一点P(a,0)，过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分别交 与y=-x+7的图像于点B、C，连接OC，若 ，求△ABC的面积及点B、 点C的坐标; 例8.如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数 与一次函数y=-x+7的图像交 于点A.（1）求点A的坐标; （2）如图，设x轴上一点P(a,0)，过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分别交 与y=-x+7的图像于点B、C，连接OC，若 ，求△ABC的面积及点B、 点C的坐标; （3）在（2）的条件下，设直线y=-x+7交x轴于点D，在直线 BC上确定点E，使得△ADE 的周长最小，请直接写出点E的坐标. D' E 1.已知一次函数y=(m-1)x+2m+1. （1）若图象经过原点，求m的值； （2）若图象平行于直线 y=2x，求m的值； （3）若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； （4）若图象经过一、二、四象限，求m的取值范围. m=3 解：（1） 得 2m+1＝0, m-1≠0, （2） 得 2m+1 ≠ 0, m-1=2, 【巩固练习】 （4） 得 2m+1＞0, m-1<0, （3） 得 2m+1＞0, m-1≠0, 1.已知一次函数y=(m-1)x+2m+1. （1）若图象经过原点，求m的值; （2）若图象平行于直线y=2x，求m的值; （3）若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围; （4）若图象经过一、二、四象限，求m的取值范围. A D C B P 2. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P从A点出发，沿A、B 、 C、D的方向运动，设P点运动的路程为x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式. H 略解：（1）当0≤x ≤4时， y= 5x （2）当4＜x ≤14时， y= 20 （3）当14＜x ≤18时， 即 y= 90－5 x $$