第十章3 电势差与电场强度的关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中物理必修第三册（人教版）

3　电势差与电场强度的关系 [学业要求与核心素养] 1．理解匀强电场中电势差与电场强度的关系U＝Ed，并能推导这个关系式。 2．会用U＝Ed进行有关计算。 3．通过分析寻找物理量之间的内在联系，培养学生的分析推理能力。 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系 阅读教材，并回答： 根据教材图10.3­1分析： (1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。 (2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。 (3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？ 答：(1)W＝Eqd，W＝qUAB　(2)UAB＝Ed (3)UAC＝Ed 【概念·规律】 匀强电场中电势差与电场强度的关系 在匀强电场中，两点间的电势差等于__电场强度__与这两点__沿电场方向__的距离的乘积 公式 UAB＝__Ed__ 适用条件 (1)__匀强__电场。 (2)d为两点沿__电场方向__的距离 二、公式E＝的意义 1．意义 在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的__电势差__与这两点__沿电场强度方向距离__的比值。 2．电场强度的另一种表述 电场强度在数值上等于沿__电场__方向每__单位距离__上降低的电势。 3．电场强度的另一单位 由E＝可导出电场强度的另一个单位，即__伏特每米__，符号为__V/m__。1 V/m＝1 N/C。 (1)公式U＝Ed适用于所有电场。(　　) (2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。(　　) (3)匀强电场的场强大小等于沿电场线方向每单位长度上的电势差大小。(　　) (4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积。(　　) (5)电场强度越大的地方，等差等势面间的距离越小。(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 探究点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系 [交流讨论] 1．公式U＝Ed适用于非匀强电场吗？ 答：不 2．完成本节教材“思考与讨论”。 [归纳总结] 1．公式E＝的适用条件是匀强电场。 2．式中d不是两点间的距离，而是两点所在的等势面的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离。 3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 右图为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V。 (1)求匀强电场的场强大小； (2)若在圆心O处放置电荷量为1×10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向。(结果保留3位有效数字) [解析]　(1)由题意知UAB＝1 350 V，r＝10 cm＝0.1 m，电场强度大小E＝＝＝9 000 V/m。 (2)点电荷在C处产生的场强 E′＝k＝9×109× V/m＝9 000 V/m， C点的场强EC＝＝9 000 V/m＝ 1．27×104 V/m， 又tan θ＝＝1，解得θ＝45°，即场强与水平方向成45°角斜向上。 [答案]　(1)9 000 V/m　(2)1.27×104 V/m，方向与水平方向成45°斜向上 1．关于场强的三个表达式的比较 　　　区别 公式　　　 物理含义 适用范围 说明 E＝ 电场强度大小的定义式 一切电场 q为试探电荷的电荷量 E＝k 真空中点电荷场强的决定式 在真空中，场源电荷Q是点电荷 Q为场源电荷的电荷量 E＝ 匀强电场中场强的决定式 匀强电场 d为沿电场方向的距离 2．电势差的三种求解方法 (1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。 (2)应用关系式UAB＝来求解。 (3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。 1．如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角。 (1)求A、B两点间的电势差UAB； (2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB； (3)求电场强度E的大小，并判断其方向。 解析　(1)由题意知，静电力做负功为 WAB＝－3×10－5 J， 由UAB＝，得UAB＝30 V。 (2)UAB＝φA－φB， 故φB＝φA－UAB＝(－1－30)V＝－31 V。 (3)A、B两点间沿电场线方向的距离为 d＝2×10－2cos 60°m＝1×10－2 m。 从而得E＝＝ V/m＝3 000 V/m。 方向：沿电场线指向左下方。 答案　(1)30 V　(2)－31 V　(3)3 000 V/m　沿电场线指向左下方 探究点二　用U＝Ed定性分析非匀强电场 [交流讨论] 如图所示，在一个非匀强电场中，某一条电场线上有A、B、C三点，且AB＝BC。 (1)你能比较A、B间的电势差UAB和B、C间的电势差UBC的大小吗？ (2)如果φA＝10 V，φC＝4 V，则B点的电势φB等于7 V吗？ (3)大致画出过A点和B点的等势面；如果要求相邻等势面之间的电势差相等，且A、B两点间没有另一个等势面，那么在B点右侧的另一个等势面应该画在哪里？ 答：(1)由U＝Ed知，EAB＞EBC，故UAB＞UBC (2)不等 (3)如图所示 [归纳总结] 1．U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。 由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大。 2．如图所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定。 3．沿场强方向相同距离的两点间，场强越大处，电势差越大，也可得出，等差等势面越密处，场强越大。 (教材本章复习与提高A组第4题变式)(多选)三个同心圆是固定的点电荷Q周围的三个等势面，A、B、C分别是这三个等势面上的点，另一点电荷P从很远处以初速度v0射入点电荷的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN。且rC－rB＝rB－rA,1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点。以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则(　　) A．|W12|＝2|W34| B．|W12|>2|W34| C．P、O两电荷一定是异种电荷 D．P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零 [解析]　根据电场线的分布情况可知，2、3间的场强大于3、4间场强，由公式U＝Ed定性分析得知，2、3间的电势差大于3、4间的电势差，所以1、2间的电势差大于3、4间电势差的2倍，即有|U12|>2|U34|，由电场力做功公式W＝qU得|W12|>2|W34|，选项A错误，B正确；由轨迹的弯曲方向可判定两电荷间存在引力，是异种电荷，选项C正确；若P的初速度方向的延长线与O之间的距离为零，点电荷将做直线运动，与题不符，选项D错误。 [答案]　BC 在例题中如图，以点电荷＋Q为圆心，画同心圆与电场线交于A、B、C三点，半径之比为1∶2∶3，根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．同一同心圆上电场强度处处相同，电势处处相等 B．图中A、B、C三点的电场强度之比为9∶4∶1 C．A、B两点间的电势差等于B、C两点间的电势差 D．将一正试探电荷q从A移动到C的过程中电势能减少 解析　同一同心圆上电势处处相等，电场强度大小相等，因电场方向不同，不能说电场强度处处相同，故A错误；由点电荷场强公式E＝k可知场强和r2成反比，A、B、C三点半径之比为1∶2∶3，则电场强度之比为36∶9∶4，故B错误；AB两点间场强大于BC间场强，dAB＝dBC，说明A、B两点间的电势差大于B、C两点间的电势差，故C错误；沿电场线方向电势降低，UAC>0，q>0，由电场力做功公式W＝UACq>0，因电场力做正功，说明该过程中电势能减少，故D正确。 答案　D 2.如图所示是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势是φA＝30 V，B点的电势是φB＝－20 V，则下列说法正确的是(　　) A．C点的电势φC＝5 V B．C点的电势φC＞5 V C．C点的电势φC＜5 V D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能 解析　由题图可看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段场强较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以φC＜＝5 V, 故C正确，A、B错误；而负电荷在电势低处电势能较大，故D错误。 答案　C 探究点三　用等分法确定等势线和电场线 1．由公式U＝Ed可以得到下面两个结论 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。 2．确定电场方向的方法 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。 如图所示，有一半径为R＝0.1 m的圆形区域，O为圆心，AB为水平直径，D为OA中点，C为圆周上一点，且CD⊥OA，区域内有平行于圆面的匀强电场，已知D点电势为0，B点电势为9 V，C点电势为4 V，电子电荷量大小为e＝1.6×10－19 C，电子重力不计，sin 37°＝，cos 37°＝。求： (1)匀强电场的场强大小和方向； (2)若将一电子从A点由静止释放，电子飞出圆周时的动能大小； (3)若将一电子从A点移到圆周上的任意一点，电势能变化量的最大值。 [解析]　(1)由题意可知，在OB上有一点E，其电势与C点电势相同，连接两点可得等势线，分别过B点和D点作CE的平行等势线，如图所示，由题意与几何关系可得CD＝ m，＝，DE＝ m，∠DCE＝37°，BF＝0.12 m，由题意可得UBF＝φB－φF＝9 V，E＝＝75 V/m方向沿着BF方向，与AB成37°角。 (2)若将一电子从A点由静止释放，将在电场力作用下沿电场线方向做匀加速运动，飞出圆周时的点为G，由几何知识可得AG＝2Rcos 37°＝0.16 m 电场力所做的功转化为电子的动能，有Ek＝eE×AG＝1.92×10－18 J。 (3)如图所示，由题意可得 AN为等势线，A点电势与N点相同，当把电子移动到M点时，电势能变化量最大，由几何关系可得ON＝AOcos 37°＝0.08 m，MN＝0.18 m 由电势能变化量与电场力所做功关系可得，Ep＝eE×MN＝2.16×10－18 J。 [答案]　(1)75 V/m，方向与AB成37°角斜向上 (2)1.92×10－18 J 　(3)2.16×10－18 J (多选)在例题中如图所示，ab是半径为R＝1 m的圆的一条直径，该圆处于平行该圆周平面的匀强电场中。将质子从a点以30 eV的动能在该平面内朝着不同方向射出，质子可经过圆周上所有点。其中，到达c点的动能最大且为90 eV。已知∠cab＝30°，若不计重力和空气阻力，且规定圆心O处电势为0，则下列说法正确的是(　　) A．电场方向为ac方向 B．电场强度大小为40 V/m C．b点电势为－20 V D．质子经过该圆周时，可能具有5 eV动能的同时，其电势能为45 eV 解析　小球在c点时的动能最大，即c点的电势最低，作过c点与圆周相切的线，切线为等势线，Oc方向即为电场方向，故A错误；根据A选项分析，作出右图，由几何关系可知Lda＝1.5 m。根据分析可知Uda＝Uca＝＝－60 V，则电场强度的大小E＝＝40 V/m，故B正确；根据沿着电场线方向电势逐渐降低结合由图可得UeO＝UbO＝φb－φO＝－ERsin 30°，解得φb＝－20 V，故C正确； c点的电势能φc＝－ER＝－40 V，根据对称性可知沿着cO在圆上的另一点电势最高为40 V，故质子经过该圆周时，不可能具有5 eV动能的同时，其电势能为45 eV，故D错误。 答案　BC 3．(2023·南充期中)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中的四个点，已知φB＝0，φC＝9.0 V，DB＝3AD，将一带电量为q＝＋2.0×10－5 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功2.4×10－4 J，则下列说法正确的是(　　) A．A点电势为－12.0 V B．该正电荷在A点具有的电势能为－2.4×10－4 J C．电场强度E沿AC方向由A指向C D．D点与C点处于同一等势线上 解析　由题意得WAB＝qUAB，UAB＝＝ V＝12.0 V，因为φB＝0 V，所以φA＝12.0 V，选项A错误；该正电荷在A点具有的电势能为Ep＝φAq＝12×2×10－5 J＝2.4×10－4 J，选项B错误；因为DB＝3AD，所以UDB＝UAB＝9.0 V，UDB＝φD－φB＝φD，D点与C点处于同一等势线上，电场强度E沿AB方向由A指向B，选项C错误，D正确。 答案　D 1．对公式E＝和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是(　　) A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差 B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大 C．由E＝知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小 D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离 答案　D 2.如图所示，匀强电场与圆O平面平行，AB为圆直径，长度为10 cm，C为圆周上一点，其中∠BAC＝63.5°。已知A、B的电势分别为2 V、8 V，C点电势低于A点电势，圆上最低电势为0，最高电势为10 V，下列说法正确的是(　　) A．该电场的电场强度大小为100 V/m，方向与AB连线夹角为63.5° B．该电场的电场强度大小为60 V/m，方向从O点指向A点 C．把电子自C点移动到O点，电场力做功5 eV D．把电子自A点移动到C点，电势能减少2 eV 解析　作过C点的直径，如图所示，根据几何关系可以确定C点即为电势最低点，电势为0，另一端为10 V，过C点直径方向即为电场线方向，与AB连线夹角为53°，电场强度E＝＝ V/m＝100 V/m，故选项A、B错误；因UOC＝5 V，则把电子自C移动到O点，电场力做5 eV的正功，故选项C正确；因为UAC＝φA－φC＝2 V，把电子自A移动到C点，电子电势能增加2 eV，故选项D错误。 答案　C 3．如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm。 (1)求P板及A点的电势； (2)保持两板间的电势差不变，将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？ 解析　(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1，Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V。 所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V。 (2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d″＝(10－5) cm＝5 cm， Q板与A点间距离变为d＝(10－4)cm－5 cm＝1 cm 电场强度E′＝＝ V·m－1 ＝1.0×103 V·m－1， Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10 V， 所以A点电势φA＝－10 V。 答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V 4.(2023·南昌期中)如图所示，在处于真空环境下的匀强电场中有一半径为R＝0.5 m的圆(匀强电场与圆共面)，圆心为O，圆弧上有A、B、C三点，AB是圆的水平直径，BC间的距离为R。将一电荷量q＝4×10－8 C的正电荷从电场中的A点沿直径移到B点，电场力做了1.6×10－7 J的功，再从B点沿圆弧移到C点，克服电场力做了8×10－8 J的功。若规定B点的电势为零，重力不计，求： (1)A点和C点的电势； (2)该匀强电场的电场强度的大小及方向。 解析　(1)电荷从A移到B点，根据电场力做功与电势差的关系WAB＝q 电荷从B移到C点，根据电场力做功与电势差的关系有WBC＝q 题给条件有φB＝0，代入数据解得φA＝4 V，φC＝2 V。 (2)因φO＝＝2 V，所以C点电势与圆心O的电势相等，连接CO，CO为该匀强电场中的等势线，过B点作CO的垂线相交于D点，则电场强度的方向为与AB成30°角斜向右上方，如图所示 由几何关系得LDB＝Rsin 60° 电场强度大小为E＝ 代入数据解得E＝ V/m。 答案　(1)4 V　2 V　(2)E＝ V/m，方向为与AB成30°角斜向右上方 s 学科网（北京）股份有限公司 $$