第14讲 列举法求概率导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第14讲 列举法求概率 模块一 用列举法求概率 1、 枚举法 1.定义  在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过枚举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率 . 2. 用枚举法求概率的前提有两个 (1)所有可能出现的结果是有限个； (2)每个结果出现的可能性相等. 3. 步骤  (1)选其中的一次操作为横行，另一次操作为纵列，列出表格； (2)运用概率公式 P ( A ) = 计算概率 . 二、画树状图法 1. 定义 画树状图法是用树状图的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法 . 2. 应用  当一次试验涉及三个或更多个因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率 . 用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率比较简便. 注意： 1. 用列表法或画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等 . 2. 当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法 . 当试验在三步或三步以上时，用画树状图法比较方便，此时，不宜用列表法. 考点1 枚举法 例1 某景区 7 月 1 日 ~7 月 7 日一周天气预报如图 25. 2－1所示，小丽打算选择这期间的 1 天或 2 天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择 1 天，恰好天气预报是晴； (2)随机选择连续的 2 天，恰好天气预报都是晴 . 1-1. 从 － 3， － 1，0，2 四个数中任选两个，则这两个数的乘积为负数的概率为( ) A. B.   C. D. 1-2.一个不透明的布袋中装有分别标着数字1，2，3，4 的四个相同的乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5的概率为( ) A. B. C. D. 考点2 列表法 例2 小刚和小明两名同学玩一种游戏，游戏规则：两人各执象、虎、鼠三张牌，同时随机各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出的牌相同，则为平局 . 例如，小刚出“象”牌，小明出“虎”牌，则小刚胜；又如，两人同时出“象”牌，则两人平局 . (1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？ (2)如果用 A、 B、 C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A1、 B1、 C1 分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法加以说明 . 2-1. ［中考·海南］ 如图，两个转盘(都被分为4 等份)分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2 的概率为( ) A.    B.   C.    D. 2-2.同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数的和是9的概率是( ) A. B. C. D. 例3 袋中有质地和大小相同、颜色不同的白球 2 个，黑球 2 个. (1)从袋中取出 1 个球后不放回，再取出 1 个球，取出的2 个球中有1 个白球、1 个黑球的概率是多少？ (2)从袋中取出 1 个球，放回后再取出 1 个球，取出的 2 个球的顺序为黑、白的概率是多少？ 3-1.从 1，2，3，4 中任取一个数字作为十位上的数字，再从 2，3，4 中任取一个数字作为个位上的数字，那么组成的两位数是3 的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 3-2. [ 中考·长沙 ] 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1到 6 的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的概率是( ) A. B. C. D. 考点3 画树状图法 例4 A， B， C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由 A 将球随机地传给 B， C 两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者随机地传给其他两人中的某一人 . (1)求两次传球后，球恰好在 B 手中的概率； (2)求三次传球后，球恰好在 A 手中的概率 . 4-1.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( ) A. B. C. D. 4-2. [ 中考· 牡丹江 ] 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的 5 个小球，其中 3 个红球、 2个黄球．如果第一次先从袋中摸出 1 个球后不放回，第二次再从袋中摸出1 个球，那么两次都摸到黄球的概率是 _________. 模块二用频率估计概率 1.用频率估计概率 (1)定义 从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性 . 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 . (2) 适用对象： 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率 . (3)计算方法 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率稳定于某个常数 p，那么估计事件 A 发生的概率P(A) =p. 注意： 1. 试验得出的频率只是概率的估计值. 2. 对一个随机事件A，用频率估计的概率P ( A ) 不可能小于0，也不可能大于1. 3. 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生. 2. 频率与概率的关系 区别： 频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点有关；概率 是理论值，与其他外界因素无关 . 联系： 试验次数越多，频率越趋向于概率 . 例1 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( ) A. 频率等同于概率 B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 试验得到的频率与概率不可能相同 1-1.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为 0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为( ) A.0.22      B.0.44 C.0.50      D.0.56 例2 一枚木质中国象棋 “兵”，它的正面雕刻了一个“兵” 字，反面是平的，将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵” 字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷的试验，试验数据如下表： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵” 字面朝上 的次数 14 38 47 52 66 78 88 “兵” 字面朝上 的频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.55 0.56 (1)请将上表补充完整； (2)在图中画出“兵”字面朝上的频率折线统计图； (3)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(结果保留小数点后两位) . 2-1.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共 40 个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图 . (1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ____ (精确到0.01 ) ，假如你摸一次，摸到白球的概率为______ . (2)试估计盒子里白、黑两种颜色的球分别有多少个. (3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？ 学科网（北京）股份有限公司 $$