第11讲 切线长定理导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第11讲 切线长定理 模块一 点和圆 1. 点和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有： 点和圆的位置关系 特点 等价关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点 P 在圆外 d﹥r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点 P 在圆上 d = r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点 P 在圆内 d﹤r 注意： 符号“⇔ ”读作“等价于”，它表示从符号“⇔” 的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为因果关系 . 2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆 . (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆 . 3.三角形的外接圆  经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 .“接”是指三角形的三个顶点都在圆上 . 4. 三角形的外心  (1)定义： 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 . (2)性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径 . 5. 三角形外接圆的作法  (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可 . 6.反证法 （1）定义  假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法 . （2）步骤  ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 考点1 点和圆的位置关系 例1 如图，已知⊙ O 的半径 r= 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=OD=3 cm，在直线 l 上有 P， Q， R 三点，且有PD=4 cm， QD=5 cm， RD=3 cm，那么 P， Q， R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？ 1-1.在矩形 ABCD 中，AB=8， AD=6，以顶点D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A， B， C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是_________ . 考点2 圆的确定 例2 如图 ， 点 A， B， C 在同一条直线上， 点 D在直线 AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2-1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 考点3 三角形的外接圆 例3 如图， △ ABC 内接于⊙O， ∠ C=45 °，AB=4，求⊙ O 的半径 . 3-1.若直角三角形的两条直角边长分别为 3，4，则直角三角形的外接圆的面积为 _____ (结果保留 π ) . 考点4 反证法 例4 如图 24.2-4， AB， CD 是⊙ O 内非直径的两条弦 . 求证： AB 与 CD 不能互相平分 . 4-1.用反证法证明 “ △ ABC 中至少有两个锐角”， 第一步应为( ) A. 假设△ ABC 中至多有一个锐角 B. 假设△ ABC 中有一个直角 C. 假设△ ABC 中有两个直角 D. 假设△ ABC 中有两个锐角 模块二 直线和圆 一、直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 d 与r 的关系 d>r d=r d<r 等价关系 d>r ⇔直线 l 与⊙ O 相离 d=r ⇔直线 l 与⊙ O 相切 d<r ⇔直线 l 与⊙ O 相交 注意： 如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个也成立： 1.过圆心； 2.过切点； 3.垂直于切线 . 二、切线的判定和性质 1.判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 2.判定方法  (1)定义法： 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法： 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 3.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 . 4.切线的性质  (1)切线和圆只有一个公共点 ； (2)圆心到切线的距离等于半径 ； (3)圆的切线垂直于过切点的半径 ； (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用) ； (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用) . 考点1 直线和圆的位置关系 例1 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 cm，BC=8 cm，则直线 AB 和以点 C 为圆心， r 为半径的圆有何位置关系？为什么？ (1) r=4 cm； (2) r = 4.8 cm； (3) r = 7 cm. 1-1. [ 中考·嘉兴 ] 已知平面内有⊙ O和点A， B，若⊙ O半径为2cm，线段OA=3 cm， OB=2 cm，则直线 AB 与⊙ O 的位置关系为( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 例2 如图， 在 △ ABC 中， ∠ C=90 °，∠ A=30°， O 是 AB 上的一点， OB=m ( m>0 ) ，⊙ O 的半径 r 为 12 ，当 m 分别在什么范围内取值时，直线 BC 与⊙ O相离、相切、相交？ 2-1.已知直线 l 与半径为 2 的 ⊙ O 的位置关系是相离，则点 O 到直线 l 的距离的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 2-2. (易错题)在平面直角坐标系中，⊙ M 的圆心坐标为( m， 4) ， 半径是2，如果⊙ M 与y 轴相切 , 那么 m=_______ ；如果 ⊙ M 与 y轴相交 , 那么 m的取 值范围是________ . 考点3 切线的判定 例3 如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径， AB=4，点 C 在线段 AB 的延长线上，点 D 在⊙ O 上，连接 CD，且CD=OA， OC=2 .求证： CD 是⊙ O 的切线 . 3-1.如图，点 C 是⊙ O上 的 一 点， AB 是 ⊙ O的直径，∠ CAB=∠ DCB，那么 CD 与⊙ O 的位置关系是( ) A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交或相切 例4 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B=90°， BAC的平分线交 BC 于点 D，以点 D 为圆心， DB 长为半径作⊙ D.求证： AC 与⊙ D 相切 . 4-1.如图，点 D 是∠ AOB的 平分线 OC 上任意 一点，过点 D 作 DE ⊥ OB于点 E，以 DE 为半径作⊙ D. 求证： OA 是 ⊙ D的切线． 考点4 切线的性质 例5 如图， AB 为⊙ O 的直径， PD 切⊙ O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且∠ D=2 ∠ CAD. (1)求∠ D 的度数 . (2)若 CD=2，求 BD 的长 . 5-1.[ 中考·泰安 ] 如图 ，在△ ABC 中， AB=6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D, 与 AC， AB 分别交于点 E， G，点 F 是优弧 GE 上一点，∠ CDE=18° ，则∠ GFE 的度数是( ) A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 例6 [ 中考·湖州 ]如图 24.2-17，已知 BC 是⊙ O 的直径，AC 切⊙ O 于点 C， AB 交⊙ O 于点 D， E 为 AC 的中点，连接 DE. (1)若 AD=DB， OC=5，求切线 AC 的长； (2)求证： DE 是⊙ O 的切线 . 6-1. [ 中考·雅安 ] 如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，AC， BC 是⊙ O 的弦，OE∥ AC交BC于点E，过点 B 作⊙ O 的切线交OE 的延长线于点 D，连接 DC 并 延 长 交 BA的延长线于点 F． (1)求证： DC 是⊙ O的切线； (2)若∠ ABC=30°，AB=8，求线段CF 的长. 模块三 切线长定理 一、切线长定理 1.切线长定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长 . 2. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 . 3. 数学语言 如图是切线长定理的一个基本图形 , 可以直接得到结论： (1) PO ⊥ AB； (2) AO ⊥ AP， BO ⊥ BP； (3) AP=BP； (4) ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5) AD=BD； (6) AC = BC等 . 二、三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形 . 2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 3. 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 考点5 切线长定理 例7 如图， PA， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，点 D 在 PA 上，点 E 在 PB 上 . (1)若 PA=10，求△ PDE 的周长； (2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数 . 7-1. (易错题)如图，直线 AB， AD 分别与⊙ O 相切于点 B， D，C 为 ⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° 7-2.如图， PA， PB切⊙ O 于 A， B 两点，CD 切⊙ O 于点 E，交PA， PB 于点 C， D. 若⊙ O的半径为 2，△ PCD 的周长等于4 ，则线段 AB 的长是_______ . 例8 如图， PA， PB 是⊙ O 的切线，切点分别为 A，B， BC 为⊙ O 的直径，连接 AB， AC， OP. 求证：(1) ∠ APB = 2 ∠ ABC； (2) AC ∥ OP. 8-1.如图 ， AB ，BC， CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证： AB ∥ CD. 考点6 三角形的内接圆 例9 王奶奶有一块三角形的布料 ABC，∠ ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知 AC=60 cm， BC=80 cm. 为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半径是多少？ 9-1.如图， ⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别为 D， E， F. (1)若 AB=9， BC=14， AC=13， 求 AD，BE， CF 的长； (2)若 BA=BC=13，AC=24， 求 △ ABC 的内切圆的半径 . 例10如图， 在 △ ABC 中， ∠ A=70 °， 点 O 是△ ABC 的内心，求∠ BOC 的度数 . 10-1. [ 中考· 湖州 ] 如图， 已知 △ ABC 的内切圆 ⊙ O 与 BC 边 相切于点 D， 连接 OB，OD. 若∠ ABC=40°，则 ∠ BOD 的度数是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$