第10讲 圆的三大定理（下）导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第10讲 圆的三大定理（下） 模块一 等弧等弦等角 1.圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 . 圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合 . 2. 圆心角  顶点在圆心的角叫做圆心角，如图，∠AOB是AB所对的圆心角， AB是∠ AOB所对的弧.注意一条弧所对的圆心角只有一个 . 注意： 圆心角的条件： 1.顶点在圆心上； 2.两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心上” 是圆心角的必备条件. 总结： 特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系 1. 60°的圆心角所对的弦等于半径； 2. 90°的圆心角所对的弦等于半径的倍； 3. 120°的圆心角所对的弦等于半径的倍 . 3.等弧等弦等角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 . 如图，若∠ AOB= ∠A′ OB′，则弧AB =弧 A′ B′ ，AB=A′ B′ . 4. 推论  (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 . 5. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等 . 注意： 涉及弦心距的问题，应用时要加上垂直的条件 . 【拓展】 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为 考点1 圆心角的概念 例1 如图， 已知 A， B 是⊙ O 上的两点，∠AOB=120° ，则 OA ∶ AB 的值为_________ . 1-1.如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠B=36°，以点 C 为 圆 心， CA 长为半径的圆交 AB 于点D， 交 BC 于点E， 则弧 AD 所对的圆心角的度数为_______ . 考点2 等弧等弦等角 例2如图， AB， CD 是⊙ O 的两条直径，弦 CE ∥AB. 求证： 弧BC = 弧AE . 2-1.如图，点 C 是⊙ O上的点， CD ⊥半径 OA于点 D， CE ⊥半径 OB于点 E，且 CD=CE. 求证： 弧AC = 弧BC . 考点3 等弧等弦等角的推论 例3 如图，在⊙ O 中， 弧AB = 弧CD，有下列结论： ① AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD； ④ 弧AC = 弧BD 中， 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3-1.如图， 已知 AB，CD 是⊙ O 的两条弦，OE， OF 分别为 AB，CD 的弦心距， 如果AB=CD， 则可得出结论：_________________________________ . (至少填写两个) 模块二 圆周角定理 1.圆周角的定义  顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 . 特征： 圆周角必须满足两个条件 ①顶点在圆上； ②两边都与圆相交 . 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 如图，∠ACB= ∠AOB. 3.推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 4.推论 2 (1)半圆(直径)所对的圆周角是直角； (2)90°的圆周角所对的弦是直径 . 5.“五量关系”定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 考点1 圆周角定理 例1 如图， AB 是 ⊙ O 的直径，弦 BC=BD， 若∠BOD=50°，求∠A的度数 . 1-1. 如图， AB 是 ⊙ O的弦，点 C 在圆上，连接 OA， 已 知 ∠ ABO=30°，则∠ ACB 的度数为( ) A. 40° B. 30° C. 50° D. 60° 考点2 圆周角定理的推论 例2 [中考·兰州]如图，△ ABC 内接于⊙ O， CD是⊙ O 的直径，∠ ACD=40°， 则∠ B= ( ) A.70° B.60° C.50° D.40° 2-1. ［中考·滨州］ 如图，在⊙ O中，弦AB， CD相交于点P. 若∠ A=48°，∠ APD=80°，则∠ B 的大小为( ) A． 32° B． 42° C． 52° D． 62° 考点3 综合证明 例3 如图， AB 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的弦，延长 BD 到点 C，使 AC=AB. 求证： BD=CD. 3-1.如图，△ ABC 中，AB= AC，以AB为直径的⊙ O 分别交 AC， BC 于点E， D，连接ED， BE. (1)求证： DE = BD； (2)若BC = 12， AB = 10，求 BE 的长. 例4 如图，以△ ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC， BC 的交点分别为 D， E，且DE = BE，试判断△ ABC 的形状，并说明理由 . 4-1.如图，四边形ABCD内接于⊙ O， AC 为⊙ O的直径，∠ ADB=∠ CDB. 试判断△ABC的形状，并给出证明. 模块三 圆内接多边形 1. 圆内接多边形  如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 . 3. 推论： 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 . 例5 [中考·常德]如图，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠BOD=100°， 则∠BCD的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 5-1. ［中考· 镇江］ 如图， 四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， AB是直径， DC = CB，若∠C=110 °，则∠ABC的度数等于( ) A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 学科网（北京）股份有限公司 $$