第9讲 圆的三大定理（上）2023-2024学年人教版数学九年级上册

第9讲 圆的三大定理(上) 模块一 圆的概念 1.定义 (1)定义一: 在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.其固定的端点O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径 . (2) 定义二: 圆可以看成是所有到定点(圆心 O )的距离等于定长(半径 r )的点的集合 . 2. 表示法 以点 O 为圆心的圆,记作⊙ O,读作“圆 O”. 3. 圆的特性 (1) 同圆的半径相等 . (2) 到圆心的距离等于半径的点在圆上 . 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦, 其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 半圆 劣弧 优弧 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧; (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆; (3)小于半圆的弧叫做劣弧; (4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆; 半圆既不是劣弧,也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 .容易看出: 半径相等的两个圆是等圆; 反过来,同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关, 和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中; 等弧是全等的,而不仅仅是弧的长度相等 考点1 圆的定义 例1下列说法中,错误的有( ) (1)经过点 P 的圆有无数个; (2)以点 P 为圆心的圆有无数个; (3)半径为 3 cm 且经过点 P 的圆有无数个; (4)以点 P 为圆心,3 cm 长为半径的圆有无数个 . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1-1.下列条件中,能确定唯一一个圆的是( ) A. 以点 O 为圆心 B. 以 2 cm 长为半径 C. 以点 O 为圆心, 5 cm长为半径 D. 半径为 2 cm 且经过点 A 1-2.到点 O 的距离等于 8 cm 的点的集合是以点_为圆心,以_ cm长为半径的圆. 例2 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. E, F, G, H 分别为边 AB, BC, CD, DA 的中点,那么点 E, F,G, H 是否在同一个圆上?请说明理由 . 2-1.如图, BD, CE是 ABC 的高, M 是BC 的中点,试说明点B,C, D, E 在以点 M 为圆心的同一个圆上 . 考点2 圆的相关概念 例3 下列语句中: ①直径是弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧; ⑤半圆是弧,弧不一定是半圆 . 正确的有 _(填序号) . 3-1.如图,在⊙ O 中,点 A, O, D 在一条直线 上, 点 B, O, C 在一条直线上,那么图中有 _条弦 . 模块二 垂径定理 知识点1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. . 知识点2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 . 注意: (1)“垂直于弦的直径”中 的“直径”,其实质是: 过圆心且垂直于弦的线段、直线均可. (2) “两条弧”是指弦所对 的劣弧和优弧或两个半圆. 数学语言: 如图,CD⊥AB于点E, CD是⊙O的直径,那么可用几何语言表述为: 知识点3 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 . 如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(非直径),AB与CD相交于点E,且AE=BE,那么CD垂直于AB,并且AD = BD,AC = BC . 数学语言: 【拓展】 对于圆中的一条直线,如果具备下列五个条件中的任意两个,那么一定具备其他三个: (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(非直径); (4)平分弦所对的劣弧;(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”. 考点1 圆的对称性 例1 如图,AB 是⊙ O 的直径, C, D 是圆上的两点,在 AB 上找一点 P,使 PC+PD 最短,画出 P 点位置,不需要证明 . 1-1.下列说法中,不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与它自身重合 C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 考点2 垂径定理 例2 如图,弦CD垂直于⊙ O的直径AB,垂足为点H,且 CD=2 , BD= ,则 AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2-1.如图,已知 AD 是⊙ O 的直径, BC 是⊙ O 的弦, AD ⊥ BC,垂足为点 E, AE=BC=8,求⊙ O 的直径 . 例3 如图,在⊙ O 中,AB为⊙O的弦,C,D 是直线AB上两点,且AC=BD. 求证: OCD 为等腰三角形 . 3-1.如图,已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C, D. 若大圆的 半 径 R=10, 小圆的半径 r=8,且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6,求AC 的长 . 考点3 垂径定理的推论 例4 如图,AB,CD是⊙O的弦,M,N分别为AB, CD的中点,且∠AMN = ∠CNM. 求证: AB=CD. 4-1.如图, ⊙ O的弦AB=12,M是AB的中点,且OM=2 ,则⊙O的半径等于 _. 例5 如图,要把残破的圆片修复完整 . 已知弧上的三点 A, B, C,用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹) . 5-1.一块圆形宣传标志牌如图所示,点 A,B, C 在 ⊙ O 上, CD垂直平分 AB 于点 D.现测得 AB=8dm, DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为_ . 考点4 垂径定理与实际问题 例6 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( AB),点 O 是这段弧所在圆的圆心,点 C 是AB的中点,半径 OC 与AB 相交于点 D, AB=120 m, CD=20 m,求这段弯路所在圆的半径 . 6-1.半圆形纸片的半径为 2 cm,用如图所示的方法将纸片对折,使对折后半圆弧的中点 M与圆心 O 重合,则折痕CD 的长为 _cm. 学科网(北京)股份有限公司 $$