第4讲 二次函数的图像和性质（上）导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第4讲 二次函数的图像和性质（上） 知识点1 二次函数的定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a， b， c 是常数， a ≠ 0 )的函数，叫做二次函数.其中， x 是自变量， a， b， c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数的特殊形式： （1）只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)； （2）不含一次项，即：y=ax2+c(b=0，c≠0)； （3）不含常数项，即：y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0). 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式； (2)化简后自变量的最高次数是 2； (3)二次项系数不等于0 . 3.建立二次函数模型的一般步骤 1.审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量) ，把问题中的文字或图形语言 转化成数学语言 ； 2. 找相等关系 ：分析常量和变量之间的关系，列出等式 ； 3. 列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它 整理成二次函数的一般形式 . 考点1 二次函数的定义 例1 [ 中考·兰州 ] 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. y=3x－1    B. y=ax2+bx+c  C. s=2t2－2t+1  D. y=x2+ 1-1.已知二次函数y=1－3x+5x2，则其二次项系数 a，一次项系数b，常数项 c 是( ) A.a=1，b=－3，c=5 B.a=1，b=3，c=5 C.a=5，b=3，c=1 D.a=5，b=－3，c=1 考点2 建立二次函数模型表示变量间的关系 例2 某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖300 件 . 为了促销，该网店决定降价销售 . 市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件的成本价为40元，设该款童装每件的售价为 x 元，每星期的销售量为 y 件 . (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)设每星期的销售利润为 W 元，求 W 与 x 之间的函数解析式； (3)若每星期的销售利润为 6480 元，则该款童装每件的售价为多少元？ 2-1.如图，有长为 24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 . 设花圃的边 AB 为 xm，面积为 S m2，则 S 与 x 的函数解析式为_________________(写出 x 的取值范围) . 知识点2 二次函数 y=ax2 (a ≠ 0)的图象和性质 1. 抛物线 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线 y=ax2+bx+c. 2. 顶点： 抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点， 顶点是抛物线的最低点或最高点. 3. 二次函数y=ax2 的图像和性质 y=ax2 a ＞ 0 a ＜ 0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y 轴(或直线 x=0) 增减性 在对称轴的左侧，即x＜0时， y 随 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x＞0时， y 随 x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时， y 随 x 的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x＞0时， y 随x 的增大而减小 最值 当 x=0 时， y 最小值 =0 当 x=0 时， y 最大值 =0 注意： 1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看， “上坡路”就是 y 随 x 的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小. 2. 在二次函数y=ax2(a ≠ 0) 中，a 的正负性决定抛物线的开口方向，|a| 决定开口的大小． 3. 二次函数 y=－ax2(a≠0)与y=ax2( a≠0)的图象关于 x 轴对称 . 考点3 二次函数的图像的画法 例3 在同一平面直角坐标系中作出 y=x2、 y=－ x2 和y= x2 的图象 . 3-1.若二次函数 y=ax2的图象经过点 P( 4，3)，则该图象必过点( ) A. ( 4， －3) B. ( 3， －4) C. (－4， 3) D. (－3， 4) 3-2.如图，函数 y=－2x2的图象是( ) A. ①      B. ②  C. ③      D. ④ 考点4 二次函数的图像和性质 例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③、②与④分别关于 x 轴对称 . (1)比较 a， b， c， d 的大小； (2)说明 a 与 c， b 与 d 的数量关系 . 4-1.若二次函数y=axa²－2 的图象开口向下，则 a 的值为( ) A.2      B. －2  C.4      D. －4 4-2.抛物线 y= x2，y =－4x2， y =－x2，y=5x2 中，开口最大的是( ) A.y=x2  B.y=－4x2 C.y=－x2    D.y=5x2 考点5 二次函数综合 例5[易错题]已知函数 y= (m+2) xm²+m-4 是关于 x 的二次函数 . (1)求满足条件的 m 的值 . (2)当 m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点，这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？ (3)当 m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时， y 随 x 的 增大而减小？ 5-1. [ 易错题 ] 已知二次函数 y= (2 － a) xa² － 14，在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，则a 的值为( ) A.4    B.± 4  C. － 4      D.0 5-2. [ 中考·常州 ] 已 知二次函数y= (a － 1) x2，当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大，则实数 a的取值范围是( ) A.a ＞ 0      B.a ＞ 1 C.a ≠ 1      D.a ＜ 1 5-3. [易错题] 关于二次函数 y=ax2 ( a ≠ 0 )的说法：① x>0 时， y 随 x 的 增大而增大；②a越大，图象开口越小；③图象的对称轴是 y 轴；④当a>0 时， A ( x1，y1 ) ，B ( x2， y2 )是图象上的两点，且满足 x1<x2<0, 则 y1>y2>0．其中正确的是________ (填序号) . 学科网（北京）股份有限公司 $$