第1讲 一元二次方程的解法（上）导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第一讲 一元二次方程的解法（上） 模块一 认识一元二次方程 一、一元二次方程的定义  等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程 . 二、一元二次方程的一般形式 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0( a ≠ 0) ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 其中 ax2是二次项， a是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项 . 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 . 四、检验一元二次方程根的步骤  步骤 1： 将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值 . 步骤 2： 若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根) ； 否则，这个数不是一元二次方程的解(根) . 考法1 一元二次方程的定义 例 1 下列方程：①；② ③ ④ . 其中是一元二次方程的有 (填序号) . 例2 若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 (　　) A．m≠±2 B．m=2 C．m=−2 D．m=±2 1-1.(易错题 )如果方程(m-3) ·xm2-7-x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为(     ) A.±3 B.3 C.-3 D.以上都不对 1-2. 已知关于x的方程(a2-1)x2+(a+1)x=2. (1)当a取何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，此方程为一元二次方程？ 考法2 一元二次方程的系数和根 例3 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： 2-1. 将一元二次方程3x2-2=-4x 化成一般形式 ax2+bx+c=0(a ＞0)后，一次项和常数项分别是(     ) A.-4，2 B.-4x，2  C.4x，-2    D.3x2，2 2-2. 关于 x 的一元二次方程(m-3) x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A.0  B.± 3 C.3  D. -3 例4 判断 x=2， x=3 是不是一元二次方程 x2-x=6 的根 . 2-3. 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a= . 2-4. 若 a 是方程 2x2-x-3=0 的一个解， 则6a2-3a 的值为(     ) A.3        B. -3  C.9        D. -9 2-5. 若 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2-2mx+2n=0 的根，则 m-n 的值为 ． 模块二 解一元二次方程（上） 方法一 直接开平方 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 . 方程 x 2=p 的解(根)的情况  (1)当 p>0时，方程有两个不等的实数根 x1=- ， x2= ； (2)当 p=0时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0； (3)当 p<0时，方程没有实数根 . 方法二 配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 . 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2＝p 的形式，那么就有： (1)当 p>0 时，方程有两个不等的实数根 x1＝- n -，x2＝- n+ ； (2)当 p＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝-n； (3)当 p<0时，因为对任意实数 x，都有 (x+n)2≥0，所以方程无实数根． 考法1 开平方法 例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 9x2-81=0； (2) 36x2-1=0 （3）(x + 3)2 = 5. 例2 解下列方程： （1）(x+5)2=25； （2）4(x-3)2-32=0． 1-1. 解下列方程： （1）2x2=8； （2）9x2-5=3； （3）(x+6)2-9=0； （4）3(x-1)2-6=0； （5）9x2+5=1． 1-2. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) A．x2+9=0 B．-2x2=0 C．x2-3=0 D．(x-2)2=0 1-3.若关于 x 的方程 (x-2)2=a-5 有解，则 a 的取值范围为 ． 1-4.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别是m-1和2m+4,则的值为 . 考法2 配方法 完全平方公式：a2+2ab+b2＝(a+b)2 a2-2ab+b2＝(a-b)2 根据以上公式完成填空： (1) x2–4x+ =(x - )2 (2) x2+12x+ =(x + )2 (3) y2–8y+ =(y - )2 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1＝0； (2)2x2+1＝3x； (3)3x2-6x+4＝0． 2-1.解下列方程： (1)x2-x-＝0； (2)x(x+4)＝8x+12． 2-2.一元二次方程 x2-6x-6=0配方后化为(     ) A.(x-3)2=15 B.(x-3)2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3 2-3.若将一元二次方程 x2-8x-9＝0 化成 (x+n)2=d 的形式，则n= ，d= ． 2-4.若关于 x 的方程4x2-(m-2) x+1=0的左边是一个完全平方式，则 m 等于(     ) A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6 2-5.已知方程 x2-6x+q＝0 配方后是 (x-p)2=7 ，那么方程 x2+6x+q=0 配方后是( ) A．(x-p)2=5 B．(x+p)2=5 C．(x-p)2=7 D．(x+p)2=7 学科网（北京）股份有限公司 $$