第1课 认识三角形-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1课 认识三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识三角形的概念，会用符号、字母表示三角形. 2.了解三角形的按角分类. 3.理解“三角形任何两边的和大于第三边”的性质. 4.了解三角形的角平分线、中线、高线的概念，会利用三角形的角平分线、中线和高线的概念，解决有关角度、面积计算等问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形的有关概念 （1）三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形. （2）三角形的基本元素: ①三角形的三条边:即组成三角形的线段； ②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角； 三角形的一边与另-边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。 ③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点。 (3)三角形的符号: ①三角形用符号“△”表示。顶点是A、 B、C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”; 注意:△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 ②三角形 ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。 （4）三角形按角分类 知识点02 三角形内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是180° 2三角形内角和定理的作用: ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数; ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数: ③求一个三角形中各角之间的关系. 知识点03 三角形的三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 2.三角形三边关系定理的应用：（1）已知两边求第三边的取值范围； （2）判断三条线段是否可构成三角形 知识点04 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线） 1.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2.连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线. 3.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段交做三角形的高线. 注：（1）三角形的三条角平分线、中线、高线（或所在直线）都相交于一点； （2）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部； 直角三角形斜边上的高线在三角形的内部，一条直角边上的高线是另一条直角边； 钝角三角形钝角对边上的高线在三角形的内部，另两条边上的高线均在三角形的外部. ( 能力拓展 )考点01 三角形的有关概念 【典例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 考点02 三角形内角和定理 【典例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 【即学即练2】若三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，则x的值为（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 考点03 三角形的三边关系 【典例3】下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．3，7，5 B．4，8，5 C．5，12，4 D．7，13，8 【即学即练3】在△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜12 B．1＜x＜13 C．6＜x＜7 D．无法确定 考点04 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线） 【典例4】如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（　　） A．AE＝EC B． C．AC＝2CF D．BD⊥CD 【即学即练4】如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝20°，则∠C＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．100° 4．在下列四个图形中，线段BD是△ABC中AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝6m，PB＝5m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A．6m B．8m C．10m D．12m 6．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 7．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 10．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为 　　cm． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点． （1）若AE平分∠BAC，∠DAE＝15°，∠B＝60°，求∠C的度数． （2）在（1）条件下，直接写出∠AEC＝　　． 题组B 能力提升练 12．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 13．如图所示，AC平分∠BAE，AD⊥BE于点D，∠B＝40°，∠E＝70°，则∠CAD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 14．如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 　　． 15．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 16．如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　　； （2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝23°， （1）求∠DAE的度数； （2）探究：小明认为如果条件∠B＝68°，∠C＝23°改成∠B﹣∠C＝45°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 题组C 培优拔尖练 18．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 19．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） ①CH是△ACD边AD上的高； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③AD是△ABE的角平分线； ④AH是△ACF的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　　cm2． 21．如图，点M是射线ON上的一个动点（不与点O重合），点A在射线ON外，且∠AON＝30°，在点M运动过程中，若△AOM为锐角三角形，则∠A的取值范围是（　　） A．60°＜∠A＜90° B．30°＜∠A＜60° C．0°＜∠A＜30° D．0°＜∠A＜90° 22．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，折痕为DE．若∠A＝30°，∠C＝40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED＝　 　． 23．若a、b、c为三角形的三边长，试证明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 认识三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识三角形的概念，会用符号、字母表示三角形. 2.了解三角形的按角分类. 3.理解“三角形任何两边的和大于第三边”的性质. 4.了解三角形的角平分线、中线、高线的概念，会利用三角形的角平分线、中线和高线的概念，解决有关角度、面积计算等问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形的有关概念 （1）三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形. （2）三角形的基本元素: ①三角形的三条边:即组成三角形的线段； ②三角形的角:即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角； 三角形的一边与另-边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。 ③三角形的顶点:即相邻两边的公共端点。 (3)三角形的符号: ①三角形用符号“△”表示。顶点是A、 B、C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”; 注意:△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 ②三角形 ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。 （4）三角形按角分类 知识点02 三角形内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是180° 2三角形内角和定理的作用: ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数; ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数: ③求一个三角形中各角之间的关系. 知识点03 三角形的三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 2.三角形三边关系定理的应用：（1）已知两边求第三边的取值范围； （2）判断三条线段是否可构成三角形 知识点04 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线） 1.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2.连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线. 3.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段交做三角形的高线. 注：（1）三角形的三条角平分线、中线、高线（或所在直线）都相交于一点； （2）锐角三角形的三条高线都在三角形的内部； 直角三角形斜边上的高线在三角形的内部，一条直角边上的高线是另一条直角边； 钝角三角形钝角对边上的高线在三角形的内部，另两条边上的高线均在三角形的外部. ( 能力拓展 )考点01 三角形的有关概念 【典例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的定义判断即可． 【解析】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是理解三角形的定义． 【即学即练1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【思路点拨】由三角形的概念，即可得到答案． 【解析】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD， ∴图中共有5个三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念． 考点02 三角形内角和定理 【典例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 【思路点拨】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数； （2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数． 【解析】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝80°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF＝∠BAC＝40°， ∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°； （2）∵BE⊥AD， ∴∠AEF＝90°， 由（1）可得∠EAF＝40°， ∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°． 【即学即练2】若三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，则x的值为（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【思路点拨】根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题． 【解析】解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为180°， ∴x+y+x﹣y+x＝180， ∴3x＝180， x＝60， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求得x的值是解题的关键． 考点03 三角形的三边关系 【典例3】下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．3，7，5 B．4，8，5 C．5，12，4 D．7，13，8 【思路点拨】根据三角形三边的数量关系“两边之和大于第三边”，由此即可求解． 【解析】解：A、∵3+5＞7， ∴原选项符合构成三角形的条件，故该选项不符合题意； B、∵4+5＞8， ∴原选项符合构成三角形的条件，故该选项不符合题意； C、∵5+4＜12， ∴原选项不符合构成三角形的条件，故该选项符合题意； D、∵7+8＞13， ∴原选项符合构成三角形的条件，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查构成三角形三边的数量关系，理解并掌握三角形三边的数量关系是解题的关键． 【即学即练3】在△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜12 B．1＜x＜13 C．6＜x＜7 D．无法确定 【思路点拨】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7﹣6＜x＜7+6，再解即可． 【解析】解：由题意得：7﹣6＜x＜7+6， 解得：1＜x＜13， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 考点04 三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线） 【典例4】如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（　　） A．AE＝EC B． C．AC＝2CF D．BD⊥CD 【思路点拨】根据三角形的中线的定义，可得点F是AC的中点，即可判断选项A、C，根据角平分线的定义，可得BE平分∠ABC，即可判断选项B，再根据三角形高的定义，判断选项D即可． 【解析】解：A、∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝FC， AE≠EC，故选项A错误，符合题意； B、∵BE是△ABC的角平分线， ∴，故选项B正确，不符合题意； C、∵BF是△ABC的中线， ∴AC＝2CF，故选项C正确，不符合题意； D、∵BD是△ABC的高， ∴BD⊥CD，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线，解题关键是掌握三角形的高、角平分线和中线的定义． 【即学即练4】如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【思路点拨】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的定义即可得到结论． 【解析】解：选项C是三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据三角形的定义即可得到结论． 【解析】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 3．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝20°，则∠C＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．100° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝80°，∠B＝20°代入计算即可． 【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， 而∠A＝80°，∠B＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣20°＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°． 4．在下列四个图形中，线段BD是△ABC中AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的高的概念判断即可． 【解析】解：A、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意； B、线段BD是△ABC中AC边上的高，符合题意； C、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意； D、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 5．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝6m，PB＝5m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A．6m B．8m C．10m D．12m 【思路点拨】根据三角形的三边关系求出AB的范围，判断即可． 【解析】解：在△APB中，PA﹣PB＜AB＜PA+PB，PA＝6m，PB＝5m， 则1m＜AB＜11m， ∴A，B间的距离不可能是12m， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 6．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【思路点拨】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解析】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6． 则该三角形的周长是14． 故选：C． 【点睛】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长． 7．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【思路点拨】根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【解析】解：A、错误．三角形的高不一定在三角形内． B、错误．直角三角形也有三条高． C、正确． D、错误．三角形的高，角平分线，中线都是线段． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，三角形的中线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【思路点拨】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案． 【解析】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D、能确定C正确，故错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点． 9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 【思路点拨】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 【解析】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，B说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，C说法正确，不符合题意； ∵BE≠EC， ∴S△ABE≠S△AEC，D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 10．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为 　6　cm． 【思路点拨】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm即可得出结论． 【解析】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2（cm），即BC﹣AC＝2cm， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点． （1）若AE平分∠BAC，∠DAE＝15°，∠B＝60°，求∠C的度数． （2）在（1）条件下，直接写出∠AEC＝　105°　． 【思路点拨】（1）先求出∠BAD的度数，即可求出∠BAE的度数，于是得出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数； （2）在△ACE中根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∠B＝60°， ∴在△ABD 中，∠BAD＝90°＝60°＝30°， 又∵∠DAE＝15°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+15°＝45°， 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝90°， ∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°； （2）由（1）知∠BAE＝∠CAE＝45°，∠C＝30°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 题组B 能力提升练 12．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【思路点拨】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【解析】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键． 13．如图所示，AC平分∠BAE，AD⊥BE于点D，∠B＝40°，∠E＝70°，则∠CAD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAE的度数，在t△ADE中利用三角形内角和定理求出∠DAE的度数，即可求出∠CAD的度数． 【解析】解：∵∠B＝40°，∠E＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AC平分∠BAE， ∴∠CAE＝＝35°， ∵AD⊥BE， ∴∠ADE＝90°， ∵∠E＝70°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝35°﹣20°＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14．如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 　5＜c＜9　． 【思路点拨】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解析】解：∵a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣2＝0， ∴a＝7，b＝2． ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9． 故答案为：5＜c＜9． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 15．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【思路点拨】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论； （2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解析】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　； （2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 【思路点拨】（1）根据三角形中线的性质，表示出C△BCD、C△ACD，即可解答． （2）根据角平分线的性质，即可解答． 【解析】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴C△BCD＝BC+BD+AD+3+AD+CD，C△ACD＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴C△BCD﹣C△ACD＝1， 故答案为：1． （2）∵BE、CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∴∠BOC＝90°+∠A． 【点睛】本题考查三角形角平分线、中线的性质，掌握三角形角平分线、中线的性质是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝23°， （1）求∠DAE的度数； （2）探究：小明认为如果条件∠B＝68°，∠C＝23°改成∠B﹣∠C＝45°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）先求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得出∠CAE的度数，据此可解决问题． （2）利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题． 【解析】解：（1）∵∠B＝68°，∠C＝23°， ∴∠BAC＝89°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝． ∵AD⊥BC，∠C＝23°， ∴∠CAD＝90°﹣23°＝67°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝67°﹣44.5°＝22.5°． （2）能． ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣∠C﹣[90°﹣]＝， 又∵∠B﹣∠C＝45°， ∴∠DAE＝． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理及巧用整体思想是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 18．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【思路点拨】根据三角形三边关系求解即可． 【解析】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6． 若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以n＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） ①CH是△ACD边AD上的高； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③AD是△ABE的角平分线； ④AH是△ACF的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【解析】解：①∵CF⊥AD于H， ∴CH是△ACD边AD上的高，本小题判断正确； ②∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故本选项判断错误； ③∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线；故本选项判断错误； ④∵CF⊥AD，∠1＝∠2， ∴AH是△ACF的角平分线和高，本小题判断正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 20．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【思路点拨】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解析】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 21．如图，点M是射线ON上的一个动点（不与点O重合），点A在射线ON外，且∠AON＝30°，在点M运动过程中，若△AOM为锐角三角形，则∠A的取值范围是（　　） A．60°＜∠A＜90° B．30°＜∠A＜60° C．0°＜∠A＜30° D．0°＜∠A＜90° 【思路点拨】过点A作AP⊥ON，AQ⊥OA，分别交ON 于点P，Q，求出∠OAP＝60°，即可求解． 【解析】解：如图，过点A作AQ⊥OA，AP⊥ON，分别交ON 于点Q，P， ∵∠AON＝30°， ∴∠OAP＝90°﹣30°＝60°， 若△AOM为锐角三角形，则点M应在点P，Q之间， ∴60°＜∠A＜90°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，直角三角形的性质，作辅助线是解题的关键． 22．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，折痕为DE．若∠A＝30°，∠C＝40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED＝　40°或75°或130°　． 【思路点拨】根据翻折分三种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可． 【解析】解：（1）如图1，当A′D∥AB时， ∴∠AED＝∠A′DE，∠A＝∠A′DC＝30° 由翻折可知，∠ADE＝∠A′DE， ∵∠ADE+∠A′DC+∠A′DE＝180°， ∴∠AED＝＝75°； （2）如图2，当A′D∥BC时， ∴∠ADF＝∠C＝40°，∠AFD＝∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°， 由翻折可知，∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝20°， ∴∠AED＝∠EFD+∠A′DE ＝110°+20° ＝130°， （3）如图3，当A′D∥BC时， ∠A′DC＝∠C＝40°， ∴∠ADA′＝180°﹣40°＝140°， 由翻折可得∠ADE＝∠A′DE＝＝110°， ∴∠AED＝180°﹣30°﹣110°＝40°， 综上所述，∠AED＝40°或75°或130°， 故答案为：40°或75°或130°． 【点睛】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折变换的性质，三角形内角和是180°以及平行线的性质是正确解答的前提． 23．若a、b、c为三角形的三边长，试证明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负． 【思路点拨】根据平方差公式和完全平方公式把（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2变形为（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），再根据三角形的三边关系即可得出答案． 【解析】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2 ＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab） ＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定为负． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$