第8课 用频率估计概率-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第8课 用频率估计概率 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定. 2.通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值. 3.会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率. ( 知识精讲 ) 知识点01 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过大量重复试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率， 注：1．当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题． 2．频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性． ( 能力拓展 )考点01 用频率估计概率 【典例1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝　 　，b＝　 　； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　 　（精确到0.1）； （3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【即学即练1】山西的土地肥沃且阳光充足，适宜玉米的生长，玉米是山西地区主要的经济作物之一．质检中心实验员对某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果记录如表： 每批粒数n 300 500 800 1000 2000 3000 发芽的频数m 284 475 762 948 1902 2848 发芽的频率 0.947 0.95 0.953 0.948 0.951 0.949 则这种玉米种子发芽的概率约为（　　） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在“用频率估计概率”数学实践活动时，九年（1）班同学做抛硬币试验，抛高落地后，记下正面朝上的次数．不断重复这一过程，获得数据如下： 抛掷的次数 200 300 1000 1600 2000 … 5500 落地后正面朝上的次数 105 155 546 768 1045 … 2751 落地后正面朝上的频率 0.53 0.517 0.546 0.48 0.523 … 0.50 经统计发现，正面朝上的频率在一个常数附近摆动，由此估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为（　　） A．0.53 B．0.48 C．0.50 D．无法判断 2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（　　） A．16个 B．14个 C．20个 D．30个 3．在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（　　） A．0.35 B．0.65 C．7 D．13 5．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白球的个数可能是（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 6．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 　 　.（精确到0.1） 7．某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示： 种子个数n 100 200 400 600 800 1000 发芽种子个数m 94 179 361 541 752 901 发芽种子的频率精确到0.001） 0.940 0.895 0.903 0.902 0.904 0.901 则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为 　 　（精确到0.01）； 8．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为 　 　.（结果精确到0.01） 9．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b （1）a＝　　，b＝　　； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由； （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 10．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为 　　，n的值为 　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率 　　． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了400件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 题组B 能力提升练 11．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．2m2 B．5m2 C．6m2 D．7m2 12．李明同学利用转盘（如图1）做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图2所示的统计图，则最有可能符合这一结果的实验是（　　） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 13．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 14．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．若盒子中共装80个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是 　　． 15．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 　　． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 … ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 16．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 题组C 培优拔尖练 17．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．袋子中有1个红球和2个黄球（除颜色外其他无差别），从中随机取出一个球是黄球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 18．某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（　　） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是0.5 C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 19．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为　　． 20．在一个不透明的布袋中装有红，白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球试验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，不断重复上述过程，如表是实验得到的一组统计数据： 摸球的次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 摸到红球的频数 36 65 126 177 305 594 1226 1801 摸到红球的频率 0.72 0.65 0.63 0.59 0.61 0.59 0.61 0.60 （1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的 　折线统计图　（填写一种），能使我们更好地观察摸到红球频率的变化情况； （2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近 　　；（精确到0.1） ②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 　　；（精确到0.1） （3）试估算布袋中红球的只数． 21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　　； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8课 用频率估计概率 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定. 2.通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值. 3.会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率. ( 知识精讲 ) 知识点01 用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过大量重复试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率， 注：1．当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题． 2．频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性． ( 能力拓展 )考点01 用频率估计概率 【典例1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝　0.58　，b＝　118　； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　0.6　（精确到0.1）； （3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【思路点拨】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解析】解：（1）a＝58÷100＝0.58，b＝200×0.59＝118， 故答案为：0.58，118； （2）由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）15÷0.6﹣15＝10（个）， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【即学即练1】山西的土地肥沃且阳光充足，适宜玉米的生长，玉米是山西地区主要的经济作物之一．质检中心实验员对某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果记录如表： 每批粒数n 300 500 800 1000 2000 3000 发芽的频数m 284 475 762 948 1902 2848 发芽的频率 0.947 0.95 0.953 0.948 0.951 0.949 则这种玉米种子发芽的概率约为（　　） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【思路点拨】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【解析】解：观察表格得到这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近， 则这种玉米发芽的概率是0.95， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在“用频率估计概率”数学实践活动时，九年（1）班同学做抛硬币试验，抛高落地后，记下正面朝上的次数．不断重复这一过程，获得数据如下： 抛掷的次数 200 300 1000 1600 2000 … 5500 落地后正面朝上的次数 105 155 546 768 1045 … 2751 落地后正面朝上的频率 0.53 0.517 0.546 0.48 0.523 … 0.50 经统计发现，正面朝上的频率在一个常数附近摆动，由此估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为（　　） A．0.53 B．0.48 C．0.50 D．无法判断 【思路点拨】据表格中的数据，可以估计出“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率． 【解析】解：由表格中的数据发现：随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越接近0.50， 所以估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为0.50， 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率． 2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（　　） A．16个 B．14个 C．20个 D．30个 【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解析】解：由题意可得：＝0.3， 解得：x＝14， 经检验：x＝14是分式方程的解． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 3．在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解析】解：根据题意得： ＝0.2， 解得：a＝15， 经检验：a＝15是原分式方程的解， 答：a的值约为15； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键． 4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（　　） A．0.35 B．0.65 C．7 D．13 【思路点拨】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为20×0.65＝13． 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白球的个数可能是（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【思路点拨】总个数乘以白色球频率的稳定值． 【解析】解：口袋中白球的个数可能是80×（1﹣25%﹣45%）＝24（个）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 6．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 　0.6　.（精确到0.1） 【思路点拨】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【解析】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率为0.6． 故答案为：0.6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 7．某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示： 种子个数n 100 200 400 600 800 1000 发芽种子个数m 94 179 361 541 752 901 发芽种子的频率精确到0.001） 0.940 0.895 0.903 0.902 0.904 0.901 则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为 　0.90　（精确到0.01）； 【思路点拨】根据表格信息，估算概率即可． 【解析】解：由表格可知：任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为0.90， 故答案为：0.90． 【点睛】本题考查利用频率估算概率，通过表格信息，正确得出概率是解题的关键． 8．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 391 根据以上数据，可以估计“钉尖着地”的概率为 　0.39　.（结果精确到0.01） 【思路点拨】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答即可． 【解析】解：根据表格计算钉尖着地的频率为：0.36，0.37，0.38，0.38，0.39，0.39，0.39， 观察发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.39． 故答案为：0.39． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 9．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b （1）a＝　0.70　，b＝　0.70　； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由； （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【思路点拨】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率； （2）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7； （3）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可． 【解析】解：（1）a＝＝0.70，b＝＝0.70； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，因为：在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； （3）10000×0.70×90%＝6300（棵）， 答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 10．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为 　475　，n的值为 　0.95　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率 　0.05　． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了400件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【思路点拨】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可； （2）用1减去合格品频率的稳定值即可； （3）总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可． 【解析】解：（1）m＝500×0.95＝475，n＝950÷1000＝0.95， 故答案为：475，0.95； （2）可估计估计任抽一件该产品是合格品的概率为0.95， 所以1﹣0.95＝0.05， 答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05； （3）400×0.05×2＝40（元）， 答：估计要在他奖金中扣除多少材料损失费40元． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 题组B 能力提升练 11．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．2m2 B．5m2 C．6m2 D．7m2 【思路点拨】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.3，设不规则图案的面积为x m2，根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【解析】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.3，长方形的面积为5×4＝20m2， 设不规则图案的面积为x m2， 则， 解得：x＝6， ∴不规则图案的面积大约为6m2． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率和用频率估计概率． 12．李明同学利用转盘（如图1）做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图2所示的统计图，则最有可能符合这一结果的实验是（　　） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【思路点拨】根据统计图可知，试验结果在0.3附近波动，即其概率P≈0.3，计算四个选项的概率，约为0.3者即为正确答案． 【解析】解：A、转动转盘后，出现比5小的数的概率为，故选项不符合题意； B、转动转盘后，出现奇数的概率为＝0.5，故选项不符合题意； C、转动转盘后，出现能被3整除的数的概率为＝0.3，故选项符合题意； D、转动转盘后，出现能被5整除的数的概率为＝0.2，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 13．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 【思路点拨】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用360°乘概率即可得出答案． 【解析】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为0.3， 所以转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是360°×0.3＝108°． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 14．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．若盒子中共装80个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是 　28　． 【思路点拨】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图，即可得出答案． 【解析】解：随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35， ∴80×0.35＝28， 故答案为：28． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 15．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 　②③　． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 … ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 【思路点拨】根据利用频率估计概率得到实验的概率为，再分别计算出每一项的概率，判断是否与表中概率是否相符即可． 【解析】解：利用频率估计概率得到实验的概率为， ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为＝，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为＝，不符合题意． ∴符合表格数据的试验可能是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 16．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.50　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【思路点拨】（1）根据题意容易得出结果； （2）由40×0.5＝20，40﹣20＝20，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解析】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50； 故答案为：0.50； （2）20×0.5＝10（个），20﹣10＝10（个）； 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：＝， 解得：x＝5； 答：需要往盒子里再放入5个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中． 题组C 培优拔尖练 17．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．袋子中有1个红球和2个黄球（除颜色外其他无差别），从中随机取出一个球是黄球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【思路点拨】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【解析】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B．袋子中有1个红球和2个黄球（除颜色外其他无差别），从中随机取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 18．某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（　　） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是0.5 C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 【思路点拨】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答． 【解析】解：A、进行多次试验频率才能反映其概率，故选项不符合题意； B、当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率接近0.5，但不一定是0.5，故选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5，故选项符合题意； D、如果实验次数超过10000000时，频率接近0.5，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 19．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为　　． 【思路点拨】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【解析】解：设草鱼有x条，根据题意得： ＝0.5， 解得：x＝350， 由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 20．在一个不透明的布袋中装有红，白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球试验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，不断重复上述过程，如表是实验得到的一组统计数据： 摸球的次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 摸到红球的频数 36 65 126 177 305 594 1226 1801 摸到红球的频率 0.72 0.65 0.63 0.59 0.61 0.59 0.61 0.60 （1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的 　折线统计图　（填写一种），能使我们更好地观察摸到红球频率的变化情况； （2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近 　0.6　；（精确到0.1） ②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 　0.4　；（精确到0.1） （3）试估算布袋中红球的只数． 【思路点拨】（1）利用“扇形统计图”、“条形统计图”和“折线统计图”的特点进行判断； （2）①利用表中的数据变化可确定当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近一个确定的值； ②利用频率估计概率可得到摸到白球的概率； （3）根据概率公式计算． 【解析】解：（1）折线统计图能使我们更好地观察摸到红球频率的变化情况； 故答案为：折线统计图； （2）①当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近0.6； ②从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为1﹣0.6＝0.4； 故答案为：①0.6，②0.4； （3）50×0.6＝30（只）， 所以估计布袋中红球的只数为30只． 【点睛】本题考查了频率估计概率：利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．也考查了折线统计图的特点． 21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【思路点拨】（1）根据题意容易得出结果； （2）由60×0.25＝15，60﹣15＝45，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解析】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15，60﹣15＝45； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15； 经检验x＝15是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$