第7课 简单事件的概率-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第7课 简单事件的概率 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解概率的概念. 2.理解P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0﹤P（随机事件）﹤1. 3.掌握等可能性事件的概率计算公式P(A )=(m≤n),会用公式计算一些简单事件发生的概率. 4.掌握用列表、画树状图计算简单事件发生的概率的方法. ( 知识精讲 ) 知识点01 概率的意义 1. 事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率 2.一般地，必然事情发生的概率为100%，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0.而随机事件发生的概率介于0与1 之间，即0＜P（随机事件）＜1. 知识点02 概率公式 如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n,事件A包含其中的结果数为m(m≤n),那么事件A发生的概率为P(A)=(m≤n) 注：(1)适用的前提条件是事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥. (2)公式中字母m,n的含义:n表示总的等可能结果数;m表示具体事件A包含的等可能结果数.使用公式时 应先统计n的值，再统计m的值. 知识点03 用列表、画树状图求概率 　列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用方法.它可以帮助我们分析问题， 避免重复和遗漏，既直观又条理分明.列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率＝所求情况数与总情况数之比． ( 能力拓展 )考点01 概率的意义 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．概率很小的事件不可能发生 B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1 C．必然事件发生的概率是1 D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 【即学即练1】“明天下雨的概率为80%”，下列对这句话的理解正确的是（　　） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天80%的地方下雨 D．明天下雨的可能性很大 考点02 概率公式 【典例2】一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是 　　； （2）搅匀袋中的球后，从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 【即学即练2】一个不透明的口袋内装有50个大小材质相同但编号不同的小球，把它们按照从1到50的顺序依次编号，将袋中的小球搅匀，然后从中随意取出一个小球，请问： （1）取出的小球编号是偶数的概率是多少？ （2）取出的小球编号是3的倍数的概率是多少？ 考点03 用列表、画树状图求概率 【典例3】《朱仙镇木版年画》特种邮票于2008年发行，一套四枚，内容取自中国四大传统年画之一河南朱仙镇木版年画的经典故事，分别为“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”，面值均为1.2元．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，小明想把珍藏的这四枚邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】在两个不透明的袋子中装有几个除标号外其余均相同的几个小球，A袋中的小球标号分别为2，3，5，7，B袋中的小球标号分别为1，4，5，随机从两个袋中各拿出一个小球，则标号之和为3的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列说法中，正确的是（　　） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 2．某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（　　） A．该事件是确定事件 B．该事件发生的可能性很小 C．该事件发生与不发生的可能性一样大 D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生 3．在一个不透明的袋子中装有1个黄球，2个红球，3个黑球，这些球除颜色外其他都相同，从袋子中随机取一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 4．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行，如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目，现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（　　） A． B． C． D． 6．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 8．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（　　） A． B． C． D． 9．有两辆车按1，2编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是（　　） A．1 B． C． D． 10．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小美的妈妈买了3只红豆粽和5只蛋黄粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小美从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 　　． 11．某路口东西方向交通信号灯的设置时间为：红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口． （1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？ （2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？ 12．有一个十字路口禁止机动车左转和调头，经过该十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向右转．如果这两种情况是等可能的，那么当甲，乙，丙三辆汽车都经过这个十字路口时： （1）甲车右转的概率是 　　； （2）用画树状图的方法求三辆车全部直行的概率． 题组B 能力提升练 13．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 14．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）共60个．通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别在30%和50%附近，由此估计口袋中蓝球的个数约为（　　） A．30 B．18 C．15 D．12 15．有背面完全相同，正面分别有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形、圆的卡片5张，正面朝下将其混合后从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对称图形的概率为（　　） A． B． C． D． 16．从数据π，，0.010010001，，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 17．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 18．如图是某城市道路的部分通行路线示意图，某车辆从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方线路的可能性相同，则该车辆从H口驶出的概率是（　　） A． B． C． D． 19．在一个不透明的盒子中装有白球和黄球共15个，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球有 　　个． 20．从﹣1，2，3这三个数中任取一个数，记作m，那么点（m，﹣2）在第四象限的概率是 　　． 21．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红球m个，白球n个．从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求m与n的数量关系式； （2）若盒子中已有白球5个，再向盒子中放入x个白球，使得从中任意摸出一个白球的概率为，求x的值． 22．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共40个，从中任意摸出一个球，摸到红色球、蓝色球的概率分别为0.2和0.5． （1）试求黄色球的数量； （2）若向箱中再放进8个红球，求从纸箱中任意摸出一球是红球的概率． 23．某班级在“五一数学游园会”上设置了一个转盘游戏，参与者分别转动甲乙两个转盘（如下图，每个转盘中各个扇形的面积都相等），要求每个转盘至少要旋转一周以上，若转盘静止后指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域．游戏规定两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向金色的区域为获奖． （1）请用列表或画树状图列出所有可能的结果； （2）游戏设置者说该游戏的获奖率为50%，你认同这个说法吗？请说明理由． 题组C 培优拔尖练 24．如图，四边形ABCD是平行四边形．已知四个条件：①∠BAD＝∠ADC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC，从中任选一个，可判定▱ABCD是矩形的概率是 　　． 25．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是 　　． 26．某条河流的流向（从左往右）及分支如图，其中阴影是A县所在地区，并有两条河流从A县穿过，现有2艘小船从左往右航行，则2艘小船都穿过A县的概率是（　　） A． B． C． D． 27．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　） A． B． C． D． 28．小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是 　　． 29．某商场在五一期间举办抽奖促销活动，活动规定凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会，抽奖方案为：如图，A、B是两个抽奖转盘（两转盘除表面数字不同外，其他完全相同），抽奖者同时转动A、B两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，只有当两个转盘的指针同时指向标有偶数的区域时才能获得奖品（规定：若指针恰好停留在两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两转盘的指针均指向一个扇形的内部为止）． （1）若只转动转盘A，则转盘A指针指向偶数的概率是 　　； （2）已知某顾客获得了一次抽奖机会，那么他通过抽奖获得奖品的概率是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课 简单事件的概率 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解概率的概念. 2.理解P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0﹤P（随机事件）﹤1. 3.掌握等可能性事件的概率计算公式P(A )=(m≤n),会用公式计算一些简单事件发生的概率. 4.掌握用列表、画树状图计算简单事件发生的概率的方法. ( 知识精讲 ) 知识点01 概率的意义 1. 事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率 2.一般地，必然事情发生的概率为100%，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0.而随机事件发生的概率介于0与1 之间，即0＜P（随机事件）＜1. 知识点02 概率公式 如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n,事件A包含其中的结果数为m(m≤n),那么事件A发生的概率为P(A)=(m≤n) 注：(1)适用的前提条件是事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥. (2)公式中字母m,n的含义:n表示总的等可能结果数;m表示具体事件A包含的等可能结果数.使用公式时 应先统计n的值，再统计m的值. 知识点03 用列表、画树状图求概率 　列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用方法.它可以帮助我们分析问题， 避免重复和遗漏，既直观又条理分明.列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率＝所求情况数与总情况数之比． ( 能力拓展 )考点01 概率的意义 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．概率很小的事件不可能发生 B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1 C．必然事件发生的概率是1 D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 【思路点拨】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可 【解析】解：A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意； B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意； C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意； D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【即学即练1】“明天下雨的概率为80%”，下列对这句话的理解正确的是（　　） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天80%的地方下雨 D．明天下雨的可能性很大 【思路点拨】根据概率的定义解答即可． 【解析】解：“明天下雨的概率为80%”，说明明天下雨的可能性比较大． ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生． 考点02 概率公式 【典例2】一只口袋里放着4个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是 　0　； （2）搅匀袋中的球后，从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （3）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 【思路点拨】（1）根据不可能事件的概率即可得出答案； （2）根据概率公式求解即可； （3）设放入x个红球，根据从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到列出关于x的方程，解之即可得出答案． 【解析】解：（1）事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”是不可能事件，所以发生的概率是0； 故答案为：0； （2）从袋中任意摸出一个球有4+8＝12种等可能结果，其中是红球的有4种结果， 所以从袋中任意取出一个球是红球的概率为＝； （2）设放入了x个红球， 根据题意，得：＝， 解得x＝2， 答：放入2个红球． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【即学即练2】一个不透明的口袋内装有50个大小材质相同但编号不同的小球，把它们按照从1到50的顺序依次编号，将袋中的小球搅匀，然后从中随意取出一个小球，请问： （1）取出的小球编号是偶数的概率是多少？ （2）取出的小球编号是3的倍数的概率是多少？ 【思路点拨】（1）先确定偶数的总情况数，再根据概率公式解决此题； （2）先确定编号是3的倍数的情况数，再根据概率公式解决此题． 【解析】解：（1）由题意，得取出的小球的编号是偶数的情况有25种， 所以取出的小球编号是偶数的概率； （2）由题意，得取出的小球的编号是3的倍数的情况有16种， 所以取出的小球编号是3的倍数的概率． 【点睛】本题主要考查概率公式，倍数，熟练掌握概率公式是解决本题的关键． 考点03 用列表、画树状图求概率 【典例3】《朱仙镇木版年画》特种邮票于2008年发行，一套四枚，内容取自中国四大传统年画之一河南朱仙镇木版年画的经典故事，分别为“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”，面值均为1.2元．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，小明想把珍藏的这四枚邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】画树状图可得出所有等可能的结果数以及小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：将“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的结果有：BC，CB，共2种， ∴小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【即学即练3】在两个不透明的袋子中装有几个除标号外其余均相同的几个小球，A袋中的小球标号分别为2，3，5，7，B袋中的小球标号分别为1，4，5，随机从两个袋中各拿出一个小球，则标号之和为3的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及标号之和为3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：列表如下： 1 4 5 2 （2，1） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，4） （3，5） 5 （5，1） （5，4） （5，5） 7 （7，1） （7，4） （7，5） 共有12种等可能的结果，其中标号之和为3的倍数的结果有：（2，1），（2，4），（5，1），（5，4），（7，5），共5种， ∴标号之和为3的倍数的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列说法中，正确的是（　　） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 【思路点拨】根据概率的意义，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、必然事件的概率为1，故A符合题意； B、0＜随机事件的概率＜1，故B不符合题意； C、概率很小的事件也可能发生，故C不符合题意； D、概率很大的事件不一定会发生，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 2．某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（　　） A．该事件是确定事件 B．该事件发生的可能性很小 C．该事件发生与不发生的可能性一样大 D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生 【思路点拨】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【解析】解：某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是该事件发生的可能性很大，但不一定发生． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 3．在一个不透明的袋子中装有1个黄球，2个红球，3个黑球，这些球除颜色外其他都相同，从袋子中随机取一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解析】解：∵一个不透明的布袋中装有1个黄球，2个红球和3个白球， ∴共有1+2+3＝6（个）， ∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为＝； 故选：C． 【点睛】本考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 4．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行，如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目，现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】用水上项目的个数除以卡片的总数即可． 【解析】解：∵共5张卡片，其中水上项目有：跳水和花样游泳共2个， ∴打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1． 5．如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】转动转盘，停止后指正指向的位置共有7种等可能结果，其中指针指向绿色或黄色的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：∵转动转盘，停止后指正指向的位置共有7种等可能结果，其中指针指向绿色或黄色的有4种结果， ∴指针指向绿色或黄色的概率为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 6．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用概率公式可得答案． 【解析】解：∵共有四种区域文化， ∴随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 7．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【解析】解：∵透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，共有7个球， ∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的知识．熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 8．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种， ∴两次摸出的小球标号相同的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 9．有两辆车按1，2编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【思路点拨】画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐1号车的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【解析】解：画树状图为： 由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐1号车的结果数为1， ∴两位老师同坐1号车的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 10．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小美的妈妈买了3只红豆粽和5只蛋黄粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小美从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 　　． 【思路点拨】根据概率公式计算即可． 【解析】解：小美的妈妈买了3只红豆粽和5只蛋黄粽，共8只粽子， 其中红豆粽有3只， ∴选到红豆粽的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．某路口东西方向交通信号灯的设置时间为：红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口． （1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？ （2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？ 【思路点拨】（1）根据概率公式判断即可； （2）根据概率公式计算即可． 【解析】解：（1）∵红灯20秒，绿灯27秒，27＞20， ∴张师傅遇到绿灯的概率大； （2）∵张师傅遇到红灯的概率为， ∴＝， 解得m＝3， 经检验，m＝3是方程的解， 答：黄灯每次开启3秒． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 12．有一个十字路口禁止机动车左转和调头，经过该十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向右转．如果这两种情况是等可能的，那么当甲，乙，丙三辆汽车都经过这个十字路口时： （1）甲车右转的概率是 　　； （2）用画树状图的方法求三辆车全部直行的概率． 【思路点拨】（1）直接列举，利用概率公式直接求出概率即可； （2）用画树状图法列出所有等可能的结果，再利用概率公式求出概率即可． 【解析】解：（1）甲车可能继续直行，也可能向右转．共2种等可能，甲车右转有1种可能， ∴P（甲车右转）＝， 故答案为：． （2）用A表示直行，用B表示右转，画树状图如下： 由图可知，一共有8种等可能情况，其中三辆车全部直行只有1种可能， ∴P（三辆车全部直行）＝． 【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，掌握列表法和画树状图法是解题的关键． 题组B 能力提升练 13．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 【思路点拨】根据概率、方差、随机事件、必然事件的定义解决此题． 【解析】解：A．中奖率为的奖券10张，那么不一定中奖，也就是说“中奖”是随机事件，故A错误，即A不符合题意． B．根据实际情况，汽车出现故障与否与汽车累计行驶的路程无必然关联，汽车出现故障为随机事件，那么B错误，故B不符合题意． C．根据概率的定义，襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，也就是说襄阳明天下雨的可能性为70%，那么C错误，故C不符合题意． D．平均数代表数据的集中趋势，方差代表数据的稳定性，那么两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，即D正确，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率、方差、随机事件、必然事件，熟练掌握概率、方差、随机事件、必然事件的定义是解决本题的关键． 14．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）共60个．通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别在30%和50%附近，由此估计口袋中蓝球的个数约为（　　） A．30 B．18 C．15 D．12 【思路点拨】根据通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别在30%和50%附近，可得出通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的概率，进而求出篮球的概率，根据三种颜色总数和概率求出篮球个数即可． 【解析】解：根据题意得：1﹣（30%+50%）＝20%， 60×20%＝12（个）， 则估计口袋中蓝球的个数约为12． 故选：D． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．有背面完全相同，正面分别有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形、圆的卡片5张，正面朝下将其混合后从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对称图形的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】卡片共有5张，轴对称图形有等边三角形、菱形、正五边形和圆，根据概率公式求解即可． 【解析】解：∵卡片共有5张，轴对称图形有等边三角形、菱形、正五边形和圆，共4张， ∴从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对称图形的概率为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 16．从数据π，，0.010010001，，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据概率公式求概率，利用概率＝满足条件的情况数与总情况数之比进行计算即可． 【解析】解：一共有6个数，无理数有π、、，共3个， ∴任选一个数，则该数恰好为无理数的概率＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，根据概率公式求概率，解题的关键是掌握无线不循环小数是无理数． 17．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解析】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：B． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．如图是某城市道路的部分通行路线示意图，某车辆从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方线路的可能性相同，则该车辆从H口驶出的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】画树状图可得出所有等可能的结果数以及该车辆从H口驶出的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该车辆从H口驶出的结果有1种， ∴该车辆从H口驶出的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．在一个不透明的盒子中装有白球和黄球共15个，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球有 　10　个． 【思路点拨】用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案． 【解析】解：根据题意，白球的个数为15×＝10（个）， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 20．从﹣1，2，3这三个数中任取一个数，记作m，那么点（m，﹣2）在第四象限的概率是 　　． 【思路点拨】确定使得点（m，﹣2）在第四象限的点m的个数，再由概率公式求解即可． 【解析】解：∵从﹣1，2，3这三个数中任取一个数，记作m， ∴点（m，﹣2）在第四象限的数m有2、3， ∴点（m，﹣2）在第四象限的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式以及点的坐标，熟记概率公式是解题的关键． 21．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红球m个，白球n个．从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求m与n的数量关系式； （2）若盒子中已有白球5个，再向盒子中放入x个白球，使得从中任意摸出一个白球的概率为，求x的值． 【思路点拨】（1）根据概率公式列式整理即可解答； （2）首先确定红球的个数，然后根据概率公式列式计算即可． 【解析】解：（1）根据题意得：， ∴5n＝m+n， ∴m＝4n； （2）当n＝5时，m＝4×5＝20， 放入x个白球后，盒子中总球数有 （25+x）个，其中白球有（5+x）个， ∵从中任意摸出一个白球的概率为 ， ∴， ∴x＝5， 经检验，x＝5是方程的解， 则x的值为5． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 22．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共40个，从中任意摸出一个球，摸到红色球、蓝色球的概率分别为0.2和0.5． （1）试求黄色球的数量； （2）若向箱中再放进8个红球，求从纸箱中任意摸出一球是红球的概率． 【思路点拨】（1）求出摸到黄球的概率，即可得出结论； （2）先求出红球的个数，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：（1）∵摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5， ∴摸到黄球的概率为：1﹣0.2﹣0.5＝0.3， ∴黄色球的数量为：40×0.3＝12（个）； （2）∵红球的个数为40×0.2+8＝16（个）， ∴从纸箱中任意摸出一球是红球的概率＝＝． 【点睛】本题考查了概率公式，熟知概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 23．某班级在“五一数学游园会”上设置了一个转盘游戏，参与者分别转动甲乙两个转盘（如下图，每个转盘中各个扇形的面积都相等），要求每个转盘至少要旋转一周以上，若转盘静止后指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域．游戏规定两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向金色的区域为获奖． （1）请用列表或画树状图列出所有可能的结果； （2）游戏设置者说该游戏的获奖率为50%，你认同这个说法吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向金色的区域的结果数，再利用概率公式可得该游戏获奖的概率，即可得出结论． 【解析】解：（1）列表如下： 红 黄 蓝 金 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，金） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，金） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，金） 由表格可知，共有12种等可能的结果． （2）认同这个说法． 理由：由表格可知，两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向金色的区域的结果有：（红，红），（红，金），（黄，黄），（黄，金），（蓝，蓝），（蓝，金），共6种， ∴该游戏获奖的概率为＝， 即该游戏的获奖率为50%． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 题组C 培优拔尖练 24．如图，四边形ABCD是平行四边形．已知四个条件：①∠BAD＝∠ADC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC，从中任选一个，可判定▱ABCD是矩形的概率是 　　． 【思路点拨】矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）． 【解析】解：根据矩形的判定定理， 可推出平行四边形ABCD是矩形的有①②， ∴从中任选一个，可判定▱ABCD是矩形的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定及概率，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 25．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是 　　． 【思路点拨】骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，投掷这个骰子一次有6种结果，利用构成三角形的条件，其中能与2、4构成等腰三角形的只有一种情况，根据概率公式计算可得． 【解析】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6， 其中能与2、4构成等腰三角形的只有4， ∴能构成等腰三角形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，事件A发生的概率为且0≤P（A）≤1． 26．某条河流的流向（从左往右）及分支如图，其中阴影是A县所在地区，并有两条河流从A县穿过，现有2艘小船从左往右航行，则2艘小船都穿过A县的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及2艘小船都穿过A县的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：将四条河流分别记为a、b、c、d，其中从A县穿过的两条河流为b、c． 列表如下： a b c d a （a，a） （a，b） （a，c） （a，d） b （b，a） （b，b） （b，c） （b，d） c （c，a） （c，b） （c，c） （c，d） d （d，a） （d，b） （d，c） （d，d） 共有16种等可能的结果，其中2艘小船都穿过A县的结果有：（b，b），（b，c），（c，b），（c，c），共4种， ∴2艘小船都穿过A县的概率是＝． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 27．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解． 【解析】解：列表为： ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC CABD CADB DABC DACB BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA 4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12， 故A，B两位同学座位相邻的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是 　　． 【思路点拨】列表得出共有20种等可能结果，其中奶奶和小莹的座位相邻的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解析】解：列表如下， A B C D F A A，B A，C A，D A，F B B，A B，C B，D B，F C C，A C，B C，D C，F D D，A D，B D，C D，F F F，A F，B F，C F，D 共有20种等可能结果，其中奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的结果有8种， ∴则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法以及树状图法球概率，列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 29．某商场在五一期间举办抽奖促销活动，活动规定凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会，抽奖方案为：如图，A、B是两个抽奖转盘（两转盘除表面数字不同外，其他完全相同），抽奖者同时转动A、B两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，只有当两个转盘的指针同时指向标有偶数的区域时才能获得奖品（规定：若指针恰好停留在两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两转盘的指针均指向一个扇形的内部为止）． （1）若只转动转盘A，则转盘A指针指向偶数的概率是 　　； （2）已知某顾客获得了一次抽奖机会，那么他通过抽奖获得奖品的概率是多少？ 【思路点拨】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘A指针指向偶数的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两个转盘的指针同时指向标有偶数的区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）由图可知，转盘A中数字2部分的圆心角为120°， ∴转盘A中数字1部分的圆心角为240°， ∴转动转盘A，共有3种等可能的结果，其中转盘A指针指向偶数的结果有：2，共1种， ∴转盘A指针指向偶数的概率是． 故答案为：． （2）由图可知，转盘B中数字3部分的圆心角为120°， ∴转盘B中数字4部分的圆心角为240°． 列表如下： 3 4 4 1 （1，3） （1，4） （1，4） 1 （1，3） （1，4） （1，4） 2 （2，3） （2，4） （2，4） 共有9种等可能的结果，其中两个转盘的指针同时指向标有偶数的区域的结果有：（2，4），（2，4），共2种， ∴他通过抽奖获得奖品的概率是． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$