第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第二章：函数与基本初等函数 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 4．函数的部分图象大致为（    ）. A． B． C． D． 5．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（        ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若是偶函数，则实数 ． 13．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为. (1)求证：若，则； (2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？ 16．已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 17．已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． (1)已知，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：函数与基本初等函数 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 4．函数的部分图象大致为（    ）. A． B． C． D． 5．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（        ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若是偶函数，则实数 ． 13．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为. (1)求证：若，则； (2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？ 16．已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 17．已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． (1)已知，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：函数与基本初等函数 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意，，而且， 所以. 故选：D 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 4．函数的部分图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案. 【详解】由，得，则的定义域是，排除B； 由， 得， 所以函数是奇函数，排除C； ，排除D. 故选：A． 5．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，故. 令，则. 当时，，单调递减， 则，即. 故. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案. 8．已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（        ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出；B选项，由得，故B错误；D选项，计算出，，故，结合函数的周期得到答案. 【详解】A选项，因为，所以， 又，则有， 因为是奇函数，所以， 可得，即有与， 即， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数. 因为且. 所以， 所以为偶函数. 故A错误， C选项，由是奇函数，则， 因为，所以， 又，是周期为4的周期函数， 故， 所以，所以C错误； B选项，由得，故不是奇函数，所以B错误； D选项，因为，所以， . 所以， 所以，所以D选项正确 故选：D 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项. 【详解】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 10．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】AC 【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D. 【详解】， 的图象关于点对称，即， 对于A，，①， ，②， ②-①得，故A正确； 对于B，，③， ④， ③-④得，的图象关于点对称，故B错误； 对于C，的定义域为且图象关于点对称，，故C正确； 对于D，的定义域为且图象关于点对称，， 由②知，当时，，， 当时，，， ，，， 记，，， 由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，， ，故D错误. 故选：AC. 11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 【答案】BCD 【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C. 【详解】对于A，当，时，，，，故A错误； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 若是无理数，则是无理数，所以，； 若是有理数，则是有理数，所以，； 所以， 故是偶函数，图象关于轴对称，B正确； 对于C，由B可知，，所以， 故是偶函数，图象关于轴对称，C正确； 对于D，设， ，， 则，所以是等边三角形， 又因为，，，所以的顶点均在的图象上，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若是偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】因为是偶函数，所以，据此即可求解,注意检验. 【详解】因为是偶函数，定义域为， 所以，所以， 所以，所以，此时， 满足题意. 故答案为：. 13．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【详解】设，则可看作由复合而成， 由于在上单调递增， 故要使得函数在区间上单调递减， 需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减， 故，解得， 故a的取值范围为， 故答案为： 14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为. (1)求证：若，则； (2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？ 【答案】(1)证明见解析 (2)8个月 【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案； （2）根据题意可得，求解指数不等式即可. 【详解】（1）证明：∵，∴. ∴. 由，得，∴. （2）令，又，， ∴，即至少需要经过8个月． 16．已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解； （2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题意，设（，且）， ∵的图象过点， ∴，解得， 故函数的解析式． （2）∵， ∴， 令，因为，所以， ∴，， 函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点， 则，即，解得， 故实数的取值范围为． 17．已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为非奇非偶函数，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解； （2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论； （3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到， 法一：转化为，令，求得，即可求解； 法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足， 解得，所以函数的定义域为. （2）解：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）解：由“对，不等式恒成立”， 可得， 当时， 由在上单调递减，， 根据题意得，对 法一：可转化为， 令，由在上单调递减得，可得， 实数的取值范围为. 法二：设函数， ①当，即时，在上单调递减， 可得，解得，则； ②当，即时，在上单调递增， 可得，解得，则； ③当，即时，在先减后增， 可得，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 18．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证； (2)先证明单调性，利用单调性求解即可； (3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得所以对任意恒成立，所以为奇函数， （2）任取，且，则.因为当时，，所以. ，即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令得， 令，得， 在区间的最小值为， （3）由， 得， 由得， 由在上单调递增得整理得，即， 当时，，解得；当时，， 当时，，，解集为， 当时，， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． 19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． (1)已知，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 【答案】(1)不满足，理由见解析 (2)，没有正整数解，理由见解析；在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可； （2）通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；任取，计算判断的正负即可证明． 【详解】（1）因为不恒成立， 所以不满足性质； （2）当时，， 此时， 又当时，，所以， 所以， 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有，，， 所以， 明显为单调递增函数， 又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解； 证明：任取，则， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以， 即 所以在上单调递增． 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$