1.1 集合的概念 （教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 1 章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019必修第一册 1.1集合的概念 学习目标 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题。 了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。 会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 目录 CATALOG 01.元素和集合的概念 03.题型强化训练 02.集合的表现方式 04.小结及随堂练习 01 元素和集合的含义 集合的概念 思考一： 日常生活中，“集合”的理解就是“汇聚在一起”那么，在数学的世界，我们如何理解“集合”？ 导入新知 格奥尔格 · 康托尔 （G.Cantor,1845-1918） 德国数学家，集合论创始人， 也是数学无穷大理论的奠基人。 导入新知 思考二： 军训前学校通知：9月1日8:00，高一年级学生到操场集合进行军训。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 校务处通知： 9月1日8:00，高一年级学生到操场集合进行军训。 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合。 学习新知 在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？如： 自然数的集合 有理数的集合 不等式的解的集合 到一个定点的距离 等于定长的点的集合 到一条线段的两个端点距离相等的点的集合 ...... 学习新知 观察下列实例： 1 1～10以内的所有奇数 2 方程x2－9＝0的实数根 3 小于8的素数 4 中国四大发明 5 中国十二生肖 6 到定点O的距离等于1的所有点 1，3，5，7，9 x1=-3，x2=3 2，3，5，7 造纸术、指南针、火药、印刷术 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 圆心是O，半径为1的圆上的点 集合 元素 学习新知 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，“1-10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素； “较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。 一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 应用新知 【情景】军训时教官喊1班集合： 2班学生会不会跑到1班来？ 教官调整了站位后班级里的人有没有发生变化？班级会不会发生改变？ 教官要求报数的目的是什么？一个人是否会报两次？ 我们班的同学能不能构成集合？ 确定性 无序性 互异性 学习新知 集合中元素具的有几个特征： 无序性 集合中的元素无顺序,可以任意排列调换。 确定性 它的每一个元素必须是确定的。即给定一个集合，那么元素与集合的关系只有“属于”及“不属于”两种。 互异性 即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的。 集合的相等： 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 应用新知 例：具有下列特征的对象能否构成一个集合 不能，“体重很重”的标准不明确。 能， 横坐标小于0且纵坐标大于0的点 都是第二象限的点。 不能，“某些”指哪些？标准不明确。 能， 就是小于或等于5的数。 能， 该方程的有理数解为x=0。 应用新知 探究：元素和集合的关系 我们通常用大写拉丁字母A，B，C …表示集合，用小写拉丁字母a，b，c …表示集合中的元素。 已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合。 （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高 一(4)班的一位同学。 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? a是集合A中的元素 b不是集合A中的元素 元素和集合的关系 总结新知 属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。 a∈A a∉A 总结新知 学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法： 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 —— ———— —— —— —— 举例 Q R N Z N* 或 N＋ 0,1,2,3，… 1,2,3，… 0,±1,±2, ±3，… 整数+分数 有理数 无理数 学习新知 【练习】 用符号“∈”或“ ∉”填空。 (1) 2 N. (2) _______ Q. (3) 0 {0}. (4) b {a,b,c}. 【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系。 总结新知 判断元素与集合关系的两种方法 如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的。 对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件。 直接法: 推理法: 提醒: 若元素a属于集合A，则元素a就具有集合A的特征；若a不属于集合A，则元素a就不具有集合A的特征。 02 集合的表现方式 集合的概念 学习新知 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ 1.列举法： “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为： ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ 将集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来的方法叫做列举法。 元素 无序、互异 元素与元素之间用逗号隔开 应用新知 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。例(1)的集合还可以写成： 总结新知 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法。 列举法: 一一列举 列举法 { } 大括号不能缺失 注意: 元素 互异性 确定性 无序性 元素间要用逗号隔开。 学习新知 a 与 {a} 有什么区别？ 是一个元素 是一个集合 学习新知 2.描述法： 你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？ 你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗? 思考: 不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示。但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即∶x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}。 设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为： 我们称这种方法为描述法。 P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质 x为该集合的代表元素 学习新知 学习新知 又如，整数集Z又可以分为奇数集和偶数集，对于每一个 ,如果它能表示为 的形式，那么x除以2的余数为1，它是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么x除以2的余数为1，它能表示为 的形式．所以 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为： 你能用这样的方法表示偶数集吗？ 应用新知 解 解 学习新知 例如: 学习新知 学习新知 总结新知 思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？ 方法四：描述法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫作描述法。 方法二：自然语言表示法 用文字语言表示集合，例如“所有的正方形”组成的集合等； 方法一：字母表示法 用大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N，Q，所有的正方形组成的集合记为A等； 方法三：列举法 把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫作列举法。直观比如：自然数集N={0,1,2,3,4,5,6……}； 总结新知 思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 优点 缺点 举例法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示 描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素 03 题型强化训练 集合的概念 能力提升 题型一： 集合含义有关问题 小结 1.集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意。 2.解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题。 能力提升 小结 考虑集合元素三要素：确定性 无序性 互异性。 题型二： 元素与集合的关系 能力提升 解题思路：集合的相等条件是什么？ 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 题型三： 两个集合相等 【练习3】下列集合中表示同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 能力提升 题型三： 两个集合相等 选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合； 选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合； 选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。 故选B． 能力提升 题型四： 元素与集合的关系 【练习4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并 用列举法表示集合A． 【答案】实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 【解析】若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个 相等的实根。 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意。 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 题后反思 集合与方程的综合问题的解题思路 弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根。 当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论。 求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性。 04 小结及随堂练习 集合的概念 集合 的 概念 课堂总结 课堂总结1 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 集合的概念 确定性：它的每一个元素必须是确定的；互异性：同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列调换。 集合中元素的性质 N：自然数集（非负整数集）； N＋或N﹡：正整数集(非零自然数集)； Z：整数集； Q：有理数集； R：实数集。 常用数集 自然语言 列举法 描述法 集合的表示 课堂总结2 1.集合中元素的三个特性: 确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合就确定了．这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合。 互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系。 课堂总结2 2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a ∉A. 元素间用分隔号“，”； 元素不重复； 元素无顺序； 列举法可表示有限集，也可以表示无限集。 若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 3．在用列举法表示集合时应注意 课堂总结2 4．在用描述法表示集合时应注意 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式； 当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑。 课堂总结3 常用数集 意义 记作 自然数集 全体非负整数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N* 或 N+ 整数集 全体整数组成的集合 Z 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数数组成的集合 R 作业 集合的概念 教材第5页 --- 习题1.1 --- 第1,2题 练习（第5页） 1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手。 （1）是，即线段 AB 的垂直平分线。 （2）不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准。 练习（第5页） 习题1.1 （第5页） 习题1.1 （第5页） 习题1.1 （第5页） （4）｛指南针，活字印刷，造纸术，火药｝ DELL (D) - 习题1.1 （第5页） 习题1.1 （第5页） 5．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，超过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 关系 概念 记作 读作 属于 如果a是集合A的元素， 就说a属于集合A ______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素， 就说a不属于集合A ______ a不属于 集合A 变式：集合 可用列举法表示为______， 集合 可用列举法表示为______. 【答案】          【解析】 由 ， ， ，知x可取的值为0， ， ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以集合 ；由题知集合B表示点集， 所以 . 故答案为： ， . 变式：用列举法表示集合 　　. 【解析】根据 ,且 可得: 时, 时, 时, ; 时, 时, 时, ; 故 . 【点拨】 看集合先确定元素类型(本题中元素是 ，而不是 ，再看元素需要满足的条件； 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合。 【解析】由题意知 ,因为 . 所以 ,则 , 所以 , . 故 . 【答案】0 【练习1】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}， 则a2023＋b2024＝　　　　. 【解析】若 ，则 ，矛盾； 若 ，则 ，矛盾，故 ， 解得 （舍）或 ， 故 ，元素之和为 ，故选：C. 【答案】C 【练习2】已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． $$