第04讲 常用逻辑用语 （4大知识点+4种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第04讲 常用逻辑用语 课程标准 学习目标 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 知识点01. 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【即学即练1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）. 知识点02.充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【即学即练2】（2024春•黄浦区校级期末）设，则是的　 　条件． 知识点03.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即学即练3】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数． 知识点04.从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【即学即练4】已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________. 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判断 【解题策略】 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【例1-1】　(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 【例1-2】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【变式1-1】（2022秋•普陀区校级期末）设p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要． 【变式1-2】已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-3】指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 【变式1-4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 题型02 充分条件与必要条件的应用 【解题策略】 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【变式2-1】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式2-2】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 【变式2-3】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 【变式2-4】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 题型03 充要条件的证明 【解题策略】 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【变式3-1】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【变式3-2】（2021秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件． 【变式3-3】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式3-4】求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 题型04 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 【解题策略】 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【变式4-1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式4-2】对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件． 【变式4-3】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________________________． 【变式4-4】设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B. (1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 一．选择题 1.（2023秋•徐汇区期末）若，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023秋•松江区期末）已知：整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2023秋•浦东新区校级期中）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“” 　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则“”是“”的　　条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 5．（2023秋•浦东新区校级期末）是的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 6．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，是非零常数，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，都是自然数，则“是偶数”是“，都是偶数”的　　条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（2023秋•普陀区校级期末）设，“是偶数”是“是偶数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023秋•闵行区校级月考）设，则“”是“”的　　 A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 11．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二．填空题 12．（2023秋•奉贤区期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 　 　条件． 13．（2022秋•青浦区校级期末）已知、，用反证法证明命题：“若，则、全为零”时的假设是 　 　． 14．（2023秋•静安区校级期末）“”是“”的 　 　条件． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 　 　． 16．（2023秋•闵行区校级期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 　 ． 17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 三．解答题 18．（2023秋•闵行区期中）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数取值范围组成的集合． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 20．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 21.（2022秋•黄浦区校级月考）“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的什么条件？请证明你的结论． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，． （1）若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 23.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 24．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 25．（2024春•浦东新区校级期末）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，0，，，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立．求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 26．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 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充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【即学即练2】（2024春•黄浦区校级期末）设，则是的　 　条件． 【分析】根据 由，一定能得到．但当．不能推出 （如时），从而得到结论． 【解答】解：由，一定能得到， 但当时，不能推出 （如时）， 故是 的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要． 【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法． 知识点03.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即学即练3】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数． 【解答】证明：假设n不是奇数，则n是偶数，设n＝2k，k∈Z， 则n3＝8k3， 因为k∈Z，则k3∈Z， 所以8k3是偶数，即n3为偶数，这与已知n3为奇数矛盾， 所以假设不成立，即n是奇数． 知识点04.从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【即学即练4】已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为条件和条件，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 因此只需. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判断 【解题策略】 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【例1-1】　(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 解　①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件． 【例1-2】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 解　(1)方法一　当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． 方法二　A＝{x|x＝1}＝{1}， B＝{x|x－1＝}＝{1,2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件． 【变式1-1】（2022秋•普陀区校级期末）设p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要． 【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：x＜5能推出x＜6，充分性成立， x＜6不能推出x＜5，必要性不成立， 故p是q成立的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 【变式1-2】已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 【变式1-3】指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 【解析】解　(1)∵x2＝2x＋1⇏x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件． (3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0⇏(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件． 【变式1-4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 【解析】解　(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件． 题型02 充分条件与必要条件的应用 【解题策略】 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【解析】解　由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意， 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0<m<， 综上，m的取值范围是. 【变式2-1】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为，且是的充分条件， 即推得出，所以. 故答案为： 【变式2-2】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 【答案】C 【解析】A＝{x|－1<x<1}， B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}． 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 【变式2-3】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 【答案】－1≤a≤5 【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以即所以－1≤a≤5. 【变式2-4】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】　{a|a≤－9} 【解析】∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤－9. 题型03 充要条件的证明 【解题策略】 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【解析】证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根． 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【变式3-1】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【解析】证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【变式3-2】（2021秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件． 【解答】证明：若n∈Z，n是偶数，则n+1是奇数，（n+1）2是奇数，是充分条件， 若n∈Z，（n+1）2是奇数，则n+1是奇数，则n是偶数，是必要条件， 故：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件． 【变式3-3】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【解析】证明　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式3-4】求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 【解析】证明　(1)充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－； 当a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a>0， 且x1x2＝<0，方程两根一正一负． 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根． (2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意． ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1； 当a＝1时，方程的解为－1，符合题意； 当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根， 则x1x2＝<0，即a<0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 题型04 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 【解题策略】 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【变式4-1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案. 【详解】根据题意可知，但，故是的真子集， 故, 故答案为： 【变式4-2】对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件． 【答案】充要 【解析】由x∈B，显然可得x∈A∪B； 反之，由A⊆B，则A∪B＝B， 所以由x∈A∪B可得x∈B， 故x∈B是x∈A∪B的充要条件． 【变式4-3】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________________________． 【答案】m≤－7或m≥1 【解析】因为p是q成立的必要不充分条件， 所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 【变式4-4】设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B. (1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 【解析】解　(1)由条件A＝{x|－1<x<3}, p是q的充要条件， 得A＝B，即解得m＝2， 所以正实数m的取值范围是{2}． (2)由p是q的充分不必要条件，得AB， 所以或解得m>2， 综上，正实数m的取值范围是m>2. 一．选择题 1.（2023秋•徐汇区期末）若，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据推知与的大小关系，由此可推“”是“”的关系． 【解答】解：根据推知，由此可推“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题． 2．（2023秋•松江区期末）已知：整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：整数能被2整除，若，则不能被6整除，则推不出， 整数能被6整除，一定有整数能被2整除，能推出， 则是的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“” 　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据不等式的基本性质，我们可以判断“” “”的真假；根据不等式解集可能为空集，可判断“” “”的真假，进而得到答案． 【解答】解：若“”时，则不等式等价于，则“”； 即“”是“”的不充分条件； 但当“”时，如：和，“”不成立， 即“”是“”的不必要条件 故“”是“”的既不充分又不必要条件 故选：． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断出“” “”与” “”的真假，是解答本题的关键． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则“”是“”的　　条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可判断． 【解答】解：若，当时，不成立，即充分性不成立， 当成立时，，则一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）是的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得． 【解答】解：当时，可取、符合题意，但此时不能得到，充分性不成立， 当时，有，，即成立，必要性成立， 综上所述，是的必要非充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 6．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，是非零常数，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】由“”不能推出“”成立，且由“”也推不出“”成立，进而判断“”是“”的什么条件． 【解答】解：因为可得， 当，即，当时，成立，所以“”不是“”的充分条件； 当时，因为，所以，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既非充分也非必要条件， 故选：． 【点评】本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，都是自然数，则“是偶数”是“，都是偶数”的　　条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【分析】根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解． 【解答】解：令，，满足是偶数，但，都不是偶数，故充分性不成立， ，都是偶数， 则是偶数，故必要性成立， 故“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题． 8．（2023秋•普陀区校级期末）设，“是偶数”是“是偶数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充要条件的判断即可选出答案． 【解答】解：是偶数等价于是偶数，故为充要条件， 故选：． 【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据既不充分也不必要条件的定义求解即可． 【解答】解：等价于，化简得，即或， 又等价于，即， 则“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查既不充分也不必要条件的应用，属于基础题． 10．（2023秋•闵行区校级月考）设，则“”是“”的　　 A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可． 【解答】解：，或， ，，，， “”是“”的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可． 【解答】解：因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题． 二．填空题 12．（2023秋•奉贤区期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 　 　条件． 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可． 【解答】解：四边形是正方形，则四边形的四个角都是直角，即， 若四边形的四个角都是直角，这个四边形可能是长方形，不一定是正方形， 即推不出，则是的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 13．（2022秋•青浦区校级期末）已知、，用反证法证明命题：“若，则、全为零”时的假设是 　 　． 【分析】把要证结论否定即可． 【解答】解：用反证法证明命题：若，，且，则，全为0时， 要做的假设是证明结论的反面，即，不全为0． 故答案为：，不全为0． 【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题． 14．（2023秋•静安区校级期末）“”是“”的 　 　条件． 【分析】求出的解集，并判断与此解集的推出关系得出结论． 【解答】解：当时，方程为化为，此时成立； 当时，方程为化为，解得舍去； 当时，方程为化为，此时舍去； 当时，方程为化为，此时成立； 故的解集为， 由可推得，反之不成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 　 　． 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可． 【解答】解：由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，解得． 故答案为：， 【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题． 16．（2023秋•闵行区校级期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 　 ． 【分析】任意，使得”是真命题，结合一次函数的性质即可求解． 【解答】解：因为存在，使得”是假命题， 所以任意，使得”是真命题， 根据一次函数的性质可知，当时，，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题． 17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 【答案】a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一) 【解析】因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根， 所以解得a≥2. 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1. 三．解答题 18．（2023秋•闵行区期中）已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数取值范围组成的集合． 【分析】（1）先算出，再根据并集的运算法则算出答案； （2）根据题意，可得是的真子集，从而建立关于的不等式组，算出实数的取值集合． 【解答】解：（1）当时，集合， 结合，可知，； （2）若“”是“”的充分非必要条件，则是的真子集． 可得，解得，实数的取值集合是． 【点评】本题主要考查集合的并集运算、充分必要条件的概念、不等式的解法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出集合，再利用列出不等式，求出的取值范围即可； （2）由“”是“”的必要非充分条件可得，进而列出不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）集合，，， ， 或， 解得或， 即实数的取值范围，，； （2） “”是“”的必要非充分条件， ， 集合，，， （等号不能同时取到）， 解得， 即实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 20．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）解不等式确定，利用并集运算得到答案． （2）确定，再考虑和两种情况，计算得到答案． 【解答】解：（1），则，， 则． （2）是的充分非必要条件，则，是的真子集， 当时，，解得； 当时，且，等号不能同时成立，解得． 综上所述：． 【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21.（2022秋•黄浦区校级月考）“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的什么条件？请证明你的结论． 【解答】解：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根是ac＜0必要不充分条件． 证明：①证充分性不成立， 当a＝1，b＝﹣4，c＝3时，此时方程ax2+bx+c＝0⇔x2﹣4x+3＝0，方程的实数根为1或3， 但此时ac＝3＞0，∴充分性不成立， ②证必要性成立， 当ac＜0时，则Δ＝b2﹣4ac＞0恒成立， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，∴必要性成立． 综上，关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根是ac＜0必要不充分条件． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，． （1）若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据题意，分析命题、为真时的取值范围，由复合命题的真假可得、一真一假，由此分情况讨论，求出的取值范围，即可得答案； （2）根据是的充分条件，得到关于的不等式组，解可得答案． 【解答】解：（1）对于，解可得， 若，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，即，无解， 若假真，即，解可得或， 综合可得：或， 即的取值范围为，，； （2）若是的充分条件，则有，解可得， 即的取值范围为，． 【点评】本题考查命题真假的判断以及充分必要条件的应用，涉及集合之间的关系，属于中档题． 23.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 【解答】证明：（1）先证充分性（即证m＝﹣1⇒A∩B＝{6}）， 当m＝﹣1时，A＝{1，2，6}，又因为B＝{0，6}，所以A∩B＝{6}， 再证必要性（即证A∩B＝{6}⇒m＝﹣1）， 当A∩B＝{6}时，由6∈A，得m+7＝6，因此m＝﹣1， 综上所述，m＝﹣1是A∩B＝{6}的充要条件． （2）假设结论n是奇数不成立，即假设n是偶数， 由n是偶数，可设n＝2k，k∈Z， 因为n2＝（2k）2＝2⋅（2k2），这说明n2是偶数，与已知条件n2是奇数矛盾， 所以，假设不成立，即n是奇数． 24．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 【解析】解　(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1， 所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 25．（2024春•浦东新区校级期末）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，0，，，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立．求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解． 【解答】解：（1）由题意可得：，，，，，， ，，，，，． （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，，均有，， 由任意性可知，，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件． （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围． 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以，． 【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，充要条件的应用，基本不等式的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 26．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【分析】（1）将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案， （2）根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案． （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1），，，， 假设，，，则，且， ， 或， 显然均无整数解， ， ，，， （2）集合，，则恒有， ， 即一切奇数都属于， 又， ”的充分非必要条件是“”， （3）集合，、，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$