专题1.1二次函数的图象、性质与系数之间的关系（七大类型压轴培优）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题1.1二次函数的图象、性质与系数之间的关系 （七大类型压轴培优） 目录 类型一、二次函数的图象与各项系数之间的关系 2 类型二、二次函数与一次函数之间的关系 3 类型三、二次函数与反比例函数之间的关系 4 类型四、利用二次函数的图象判断各代数式的符号 5 类型五、二次函数与一元二次方程之间的关系 6 类型六、二次函数与不等式之间的关系 7 类型七、综合利用二次函数性质进行判断推理 8 压轴能力测评（共15题） 9 1.二次函数的性质： （1）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （2）当a＞0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （3）当a＜0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 2、二次函数中，的含义： 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。 4.函数平移规律 若平移前的解析式为y=a(x-h)+k 向左平移m个单位后解析式为y=a(x-h+m)+k，规律为“左加”； 向右平移m个单位后解析式为y=a(x-h-m)+k，规律为“右减”； 向上平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k+m，规律为“上加”； 向下平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k-m，规律为“下减”； 类型一、二次函数的图象与各项系数之间的关系 【例1】（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 【变式训练一】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二、二次函数与一次函数之间的关系 【例2】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【变式训练二】 4．（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 类型三、二次函数与反比例函数之间的关系 【例3】（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．  B．  C．  D．   【变式训练三】 7．（2023·山东聊城·一模）二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C．D． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，曲线是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，A，C两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点C开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为（    ）    A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 类型四、利用二次函数的图象判断各代数式的符号 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【变式训练四】 10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）抛物线交x轴点于，，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 类型五、二次函数与一元二次方程之间的关系 【例5】（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练五】 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 14．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．若，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六、二次函数与不等式之间的关系 【例6】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数图象对称轴为直线，且经过原点，当时，自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练六】 16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知直线为常数）与抛物线，为常数）相交于点，，与坐标轴相交于点，，且，，，四点的横坐标分别为，0，2，3，则不等式的解为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型七、综合利用二次函数性质进行判断推理 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（    ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 【变式训练七】 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）已知抛物线的顶点为，与轴的交点在线段上，，．下列结论正确的有　　 ①该抛物线必过点；②或．③时，随的增大而增大．④． A．①②③④ B．①③ C．①② D．①②③ 压轴能力测评（共15题） 1．（2024·四川甘孜·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数； ③当时，y随x的增大而减小； ④分式的值小于3． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列五个结论： ①；②若，则；③若点，，，在抛物线上，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若，若，，在抛物线上，且，则． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1二次函数的图象、性质与系数之间的关系 （七大类型压轴培优） 目录 类型一、二次函数的图象与各项系数之间的关系 2 类型二、二次函数与一次函数之间的关系 6 类型三、二次函数与反比例函数之间的关系 10 类型四、利用二次函数的图象判断各代数式的符号 14 类型五、二次函数与一元二次方程之间的关系 19 类型六、二次函数与不等式之间的关系 22 类型七、综合利用二次函数性质进行判断推理 25 压轴能力测评（共15题） 29 1.二次函数的性质： （1）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （2）当a＞0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （3）当a＜0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 2、二次函数中，的含义： 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。 4.函数平移规律 若平移前的解析式为y=a(x-h)+k 向左平移m个单位后解析式为y=a(x-h+m)+k，规律为“左加”； 向右平移m个单位后解析式为y=a(x-h-m)+k，规律为“右减”； 向上平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k+m，规律为“上加”； 向下平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k-m，规律为“下减”； 类型一、二次函数的图象与各项系数之间的关系 【例1】（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意； B、由图象可知，图象开口向下， ∴， 由离对称轴越近的值越大， ∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵抛物线对称轴为直线，且过点， ∴与的另一个交点为， ∴，故选项不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，且经过点，， ∴代入抛物线得：，则， ，则， 由得：，故选项符合题意； 故选：D． 【变式训练一】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数中系数之间的关系，根据题意可知，令时，的值为或3，得出对称轴为直线，用表示即，由题中等式可用表示．将代入函数解析式中判断的正负得出答案． 【详解】解：，， 当时，或， 对称轴为， ， 即， ， ， ， 令代入解析式中得， ， ， ， 当时，． 即顶点在第一象限． 故选：A． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下， ， 当时，，由图象可知交轴正半轴一点， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， ， 即，，， ①正确； ②图象过点， 将代入中有， 时，， ， ， ， ， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， ， ③错误； ④，， ，即， ， 时，， ， ，， ， ， ， ④正确； 即①②④正确，共个． 故选：C． 类型二、二次函数与一次函数之间的关系 【例2】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题．根据一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，得到a的正负与，即可判断二次函数的图象． 【详解】解：∵一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 【变式训练二】 4．（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先根据开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、抛物线与直线的交点位置判定系数的符合及，再利用字母的正负判定抛物线的图象． 【详解】∵抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴的左侧，∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，∴， 联立，得， 解得：，， ∴A点的横坐标为：， ∵A点在第三象限， ∴， 对于抛物线，∵，∴该抛物线的开口向下，选项A和B不符合题意； ∵对称轴为：，∴抛物线的对称轴在轴的左边，选项D不符合题意； 故选： C． 5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，根据点，，特征逐项判断即可，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，关于原点对称， ∴选项、排除， ∵，， 则当时，则 ， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴选项符合题意， 故选：． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键． 可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意． 故选：B． 类型三、二次函数与反比例函数之间的关系 【例3】．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案． 【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限， ， 反比例函数的图象分布在二、四象限， 抛物线的开口向上， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 【变式训练三】 7．（2023·山东聊城·一模）二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知，再由函数图象经过原点可知，由对称轴在轴左侧可知，利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴反比例函数的图象必在二、四象限，故C错误； ∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∵对称轴在轴左侧，即： ∴、符号相同， ∴， ∴经过原点且呈下降趋势， ∴故B、D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根所在的范围． 【详解】根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程的实根所在的范围是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，解题的关键是要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 9．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，曲线是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，A，C两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点C开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为（    ）    A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到3个单位为一个循环，求出q，再结合顶点的纵坐标得到的最大值． 【详解】解：∵曲线是抛物线的一部分， ∴当时，；当时，， ∴，， 把点代入双曲线（），得：， ∴双曲线的解析式为：， ∵A、C两点的纵坐标相等， ∴， ∵， ∴点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，， ∴， 要使取到最大值，则q取最大值3， ∴的最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象与点坐标、找规律，会计算二次函数的顶点坐标和反比例函数的比例系数k是解题的关键． 类型四、利用二次函数的图象判断各代数式的符号 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图像得出，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为，进而得出，当时，，则，推出，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故③不正确，即可判断③；④由图可知，顶点在第二象限，则即可判断④；⑤根据二次函数与x轴交点坐标为，，得出，结合图象得出当时，对应x的值在左侧，右侧，即可判断⑤． 【详解】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵对称轴为直线，x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴，当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④由图可知，顶点在第二象限， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑤， 故选：D． 【变式训练四】 10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）抛物线交x轴点于，，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确． 故选：B． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到，与轴交于负半轴，得到， ∵对称轴在轴右侧，且，即， ∴与异号，即， ∴，选项正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，即，选项错误； ∵原点与对称轴的对应点为， ∴时，，即，选项错误； ∵时，， ∴， 把代入得：，选项正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 类型五、二次函数与一元二次方程之间的关系 【例5】（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；把其中c替换成a，可得，即可判断②；抛物线对称轴，所以时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④； 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ∵, ∴，故结论①错误； ②∵，，把其中c替换成a，，即， 故②正确 ③∵ ∴ ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，故③正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， ∴均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， ∴抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故选：B 【变式训练五】 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故C正确；根据 ，得到抛物线开口向下，然后利用二次函数的增减性即可判断D错误；即可求解． 【详解】解：根据表格中信息，得： 当 时， ，当时 ， ， ∴点，在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意； 根据表格中信息，得： 当 时， ， 当 时，， ∴抛物线的对称轴为 ，故C正确，故本选项不符合题意； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意； 故选：D． 14．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．若，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，先求出抛物线与的交点，再分与两种情况，进行讨论即可得出答案． 【详解】解： ，则， 解得：，， 关于的二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，且， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是或， 故选：A． 15．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，先分情况求解函数与轴的交点坐标，再结合图象列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 解得：，， 当时，， 解得：，， 显然当时，， ∴函数过定点，如图， 显然图象与轴有3个交点，不符合题意； 如图， 此时满足且， 解得：， 故选B 类型六、二次函数与不等式之间的关系 【例6】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数图象对称轴为直线，且经过原点，当时，自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，根据交点确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，根据交点确定不等式的解集是解题的关键． 由题意知，当，，二次函数的对称轴为直线，即，则，当时，可得，，根据交点可确定自变量的取值范围． 【详解】解：由题意知，当，， 二次函数的对称轴为直线，即， ∴， 当时，， 解得，， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，自变量的取值范围是， 故选；C． 【变式训练六】 16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知直线为常数）与抛物线，为常数）相交于点，，与坐标轴相交于点，，且，，，四点的横坐标分别为，0，2，3，则不等式的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，把解不等式问题转化为比较两函数值的大小．几何函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线为常数）与抛物线，为常数）交点、的横坐标分别为，3， 当时，， 即的解集为． 故选：B 17．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与正比例函数图象的综合，图形的对称性，求不等式的解集；由于直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，则直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，由此得点B的横坐标，结合函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图，与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称， ∴B的横坐标是， 由得，表明抛物线在直线的上方时，自变量的范围， 观察图象知，， 故选：A． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键． 类型七、综合利用二次函数性质进行判断推理 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（    ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合a的符号判断范围是解题关键． 令，求出x进而求出对称轴，再根据a的符号判断即可． 【详解】 解：，解得或a， 对称轴为直线， A． 若，当时，时，y随x的增大而减小；时， 时，有y随x的增大而减小的情况，故此选项错误； B． 若，只有当时，则时，y随x的增大而增大成立，故此选项错误； C． 若，开口向下， ，图象完全在对称轴的左侧，则时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D． 若，则时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：C． 【变式训练七】 19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】将代入，得到，进而得到当时，，当时，，当时，，当时，，即可判断， 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是：根据分情况讨论． 【详解】解：∵的图象过点， ∴，整理得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴、、错误，不符合题意，、正确，符合题意， 故选：． 20．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，利用图形解决问题是解题的关键．观察图像可知，，再结合题目一一判断即可． 【详解】解：由题意可得对称轴为直线， 故与，与的函数值相等， 抛物线开口向上，在对称轴坐标单调递增， ， 若，①，则 ②，则， ③，则，故选项A错误； 若，，则，故选项B正确； 若，①，则， ②，则， ③，则， ④，则，故选项C不一定正确； 若，①，则， ②，则，故选项D不一定正确． 故选B． 21．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）已知抛物线的顶点为，与轴的交点在线段上，，．下列结论正确的有　　 ①该抛物线必过点；②或．③时，随的增大而增大．④． A．①②③④ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标、抛物线与轴的交点①当时，，即可求解； ②当时，，则，即可求解； ③由或得：且图象开口向上，进而求解； ④先求出抛物线顶点的纵坐标，由或，即可求解． 【详解】解：①当时，， 故该抛物线必过点， 故①正确，符合题意； ②当时，， 则，则或， 故②正确，符合题意； ③抛物线的顶点为， 则抛物线的对称轴为， 由或得：且图象开口向上， 故时，随的增大而增大，正确，符合题意； ④ 则抛物线顶点的纵坐标 ， ∴， 当时，， 或， ∴， 故④错误，不符合题意． 故选：D． 压轴能力测评（共15题） 一、单选题 1．（2024·四川甘孜·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 4．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 对称轴为直线， ， ， 故①正确， 当时，， ， ， ， 故②错误； 二次函数， 点， 当时，， ， 当时，， ， 当是等腰三角形时，的值有个， 故③正确； 二次函数， 顶点， ， 若，可得， ， ， 若，可得， ， ， 当是直角三角形时，或， 的值有个， 故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系． 【详解】解：， ， 又时，， ， ， 选项C不正确； 抛物线开口向上， ； 又， ， 选项A不正确； ， ， 又， ， 选项D正确； ， 时，， ， 又， ， 选项B不正确． 故选：D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，然后得到二次函数和二次函数的图象关于y轴对称，进而求解即可． 【详解】∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和 ∴， ∴对称轴为 ∵二次函数 ∴对称轴为 ∴二次函数和二次函数的图象关于y轴对称 ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，且开口向下 ∴二次函数的图象可能为 ． 故选：D． 7．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 8．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴和对应的函数值相等， ∴时，，即，所以③错误； ∵， ∴，所以④正确； ∵顶点坐标纵坐标为， ∴， ∴，所以⑤正确． 故选：D． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①错误． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，即， ∴，故②正确． ∵抛物线对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 又，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于．故③正确． 故选：B． 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，由图象得出，，的符号，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；把代入抛物线结合即可判断③；将方程化为，解方程即可判断④；根据，当时，取到最大值，即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线的图象与轴的另一个交点横坐标为，即坐标为， ∴由图象可得，当时，，故②错误； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∴， ∴方程可以化为：， ∴， ∴， 解得：或，故④正确； 当时，，当时，， 由图象可得，当时，取到最大值， ∴，即，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 11．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系数的范围是解决本题的关键． ①利用特殊点和对称轴在轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论； ②将看成一个整体，那么是关于方程的一个根，令得出结论； ③利用抛物线与轴两交点之间的距离，得出、、之间的关系； ④根据已知条件判断随的变化规律，得出结论． 【详解】解：图象经过， ， 若对称轴在轴的左侧则， 当时，，则，此时； 当时，，则，此时． ①正确． ， ， 的一个根为， 的一个根为：， 即． ②正确． 抛物线与轴两交点之间的距离为：， ， 即， ， ③正确． 若， 开口向上，与轴交于正半轴， ， ， 则对称轴， 当时，、的大小关系不确定． ④错误． 综上①②③正确， 故选：A． 12．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；把其中c替换成a，可得，即可判断②；抛物线对称轴，所以时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④； 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ∵, ∴，故结论①错误； ②∵，，把其中c替换成a，，即， 故②正确 ③∵ ∴ ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，故③正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， ∴均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， ∴抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故选：B 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数； ③当时，y随x的增大而减小； ④分式的值小于3． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时y随x的增大而减小判断③；将时，，即，裂项变形即可判断④． 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论①错误； ②令，则， 两根之和，，两根之积，， 、均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， 抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故②正确； ③，，把其中c替换成a，，即 ， ， ，故③正确； ④，抛物线与x轴两个交点均在正半轴， 当时，，即， ， ，， ， ，故④正确． 故选：C． 14．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线的开口方向向下， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 故①的结论正确； 抛物线经过点 故②的结论正确； 抛物线的对称轴为直线 点关于直线对称的对称点为 ， 当时，随的增大而减小 故③的结论不正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点 抛物线一定经过点， 抛物线与轴的交点的横坐标分别为，1， 方程的两根为，， 故④的结论正确； 直线经过点， ， ， ． 函数 ， 当时，函数有最大值， 故⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键． 15．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列五个结论： ①；②若，则；③若点，，，在抛物线上，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若，若，，在抛物线上，且，则． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得，由，进一步得到，即可判断②；由点，，，到对称轴的距离，即可判断③；证明判别式即可判断④． 【详解】解：对称轴， 对称轴在轴右侧， ， ， ， 故①正确； 当时，对称轴， ， 当时，， ， ，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线，， 点，，，在抛物线上，，且， 点到对称轴的距离点到对称轴的距离， ，故③正确； 设抛物线的解析式为， 方程， 整理得，， ， ，， ， 关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确， 抛物线（a，b，c是常数）开口向下，离=对称轴越远，函数值越小； 当时，对称轴，若，，，在抛物线上，且， ， 解得：，故⑤正确， 综上所述：正确的结论是①③④⑤，共四个， 故选：C． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$