2.2 30°、45°、60°角的三角函数值（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（鲁教版）

2.2 30°、45°、60°角的三角函数值（六大题型提分练） 题型一、特殊角的三角函数值 1．（2024·天津和平·三模）的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 3．（2023·河北邯郸·一模）如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（    ）    A． B． C．0 D． 4．（23-24九年级下·湖南怀化·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，则（　　） A．1:2 B． C．:2 D． 5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 题型二、特殊角的三角函数值的混合运算 6．（2024·四川南充·一模）计算：的结果为 ． 7．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）计算： ． 8．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 9．（23-24九年级上·山东淄博·期末）求下列各式的值． (1)； (2)计算：． 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）计算：． 题型三、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 11．（19-20九年级上·四川遂宁·期中）在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 12．（17-18九年级下·全国·单元测试）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足＋(－cosB)2＝0，则∠A的度数为(　　) A．100° B．105° C．90° D．60° 13．（23-24九年级上·河南周口·期末）在中，若满足，则是 三角形． 14．（20-21九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 15．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 题型四、已知角度比较三角函数值的大小 16．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 17．（23-24九年级下·湖北襄阳·开学考试）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 18．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 19．（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 题型五、已知三角函数值判断角的范围 21．（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 24．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 题型六、三角函数的新定义问题 26．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．（2023·四川巴中·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形； （2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积； （3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 一、单选题 1．（2023·安徽·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且、相交于点O，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）在中，若，则的余角度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则的值为（    ）    A．48 B． C． D．36 二、填空题 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算： ． 7．（23-24九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 8．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，已知，，，则 ．    9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为 ．    10．（22-23九年级上·山西·阶段练习）有下列几个数：，0，，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是 ． 11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，在菱形中，，，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形的对角线相交于点于点，且，则的正弦值为 ． 三、解答题 13．（2024·黑龙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 30°、45°、60°角的三角函数值（六大题型提分练） 题型一、特殊角的三角函数值 1．（2024·天津和平·三模）的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为, ∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为， ∴点Q关于原点的对称点M的坐标为，故B正确． 故选：B． 3．（2023·河北邯郸·一模）如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（    ）    A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】此题考查了立方根，零指数幂，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义求出各自的值，判断即可． 【详解】解：，，， 根据题意得：，即， 解得：， ， 可以是1． 故选：D． 4．（23-24九年级下·湖南怀化·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，则（　　） A．1:2 B． C．:2 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．先证是等边三角形，推出，再结合特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， 故选：B． 5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可． 【详解】解：如图：    ， ， ， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值． 题型二、特殊角的三角函数值的混合运算 6．（2024·四川南充·一模）计算：的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算及零指数幂、特殊角的三角函数值的知识，按照实数的运算法则进行运算即可，注意特殊角的三角函数值． 【详解】解： ， 故答案为：3． 7．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值． 先将特殊角度三角函数、0次幂、负整数幂、二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． 9．（23-24九年级上·山东淄博·期末）求下列各式的值． (1)； (2)计算：． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了实数的运算， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案； （2）直接利用立方根的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案； 掌握特殊角的三角函数值，立方根的性质，绝对值的性质、负整数指数幂的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型三、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 11．（19-20九年级上·四川遂宁·期中）在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状． 【详解】解：∵(2sinA-1)2+=0， ∴2sinA-1=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故△ABC为直角三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键． 12．（17-18九年级下·全国·单元测试）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足＋(－cosB)2＝0，则∠A的度数为(　　) A．100° B．105° C．90° D．60° 【答案】B 【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出∠C=45°，∠B=30°，进而得出答案． 【详解】∵|sinC-|+（-cosB）2=0， ∴sinC-=0，-cosB=0， 则sinC=，cosB=， 故∠C=45°，∠B=30°， ∴∠A=180°-45°-30°=105°． 故选B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质和绝对值的性质，正确记忆有关特殊角的三角函数值是解题关键． 13．（23-24九年级上·河南周口·期末）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 14．（20-21九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 【答案】锐角三角形 【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案． 【详解】∵， ∴cos2A-=0，tan-=0， ∴cosA=（负值舍去），tanB=， ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 15．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 题型四、已知角度比较三角函数值的大小 16．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 17．（23-24九年级下·湖北襄阳·开学考试）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，． 又，正弦值随着角的增大而增大， ． 故选D． 18．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可． 【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 19．（2022九年级下·江苏·专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可． 【详解】解：由，得，故①正确； ∵，，∴，∴，故②错误； 当时，，故③错误； ，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 20．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 题型五、已知三角函数值判断角的范围 21．（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 22．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 23．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 24．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解． 【详解】解：， 而， ， ， 锐角的取值范围为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．也考查了特殊角的三角函数值． 25．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α 【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可； （2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可． 【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678， ∴sinα＜sinγ＜sinβ， ∴ α＜γ＜β； （2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024， ∴cosα＜cosγ＜cosβ， ∴ β＜γ＜α． 故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 题型六、三角函数的新定义问题 26．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 27．（2023·四川巴中·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：A．，故此结论不正确； B．，故此结论不正确； C．，故此结论正确； D．，故此结论不正确； 故选：C． 28．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形； （2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积； （3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）△ADC是倍角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据题意证明△ABC是等腰三角形，得出三个内角的度数，得证△ABC 是锐角三角形 （2）分两种情况讨论，①当∠B=2∠C②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，求出△ABC面积 （3）证明△ABD≌△AED，从而证明CE=DE，∠C=∠BDE=2∠ADC，△ADC是倍角三角形 【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36° ∴∠B=∠C=72° ∴∠A=2∠C 即△ABC是锐角三角形 （2）∵∠A>∠B>∠C，∠B=30° ①当∠B=2∠C,得∠C=15° 过C作CH⊥直线AB，垂足为H， 可得∠CAH=45° ∴AH=CH=AC=4． ∴BH= ∴AB=BH-AH=-4 ∴S= ②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A>∠B>∠C矛盾，故不存在。 综上所述，△ABC面积为 （3）∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD=∠EAD ∵AB=AE，AD=AD， ∴△ABD≌△AED． ∴∠ADE=∠ADB，BD=DE． 又∵AB+AC=BD， ∴AE+AC=BD，即CE=BD． ∴CE=DE． ∴∠C=∠BDE=2∠ADC． ∴△ADC是倍角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、三角形面积公式以及倍角三角形的定义，根据题意给出的新定义求解是解题的关键 一、单选题 1．（2023·安徽·模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，含角的直角三角形的特征，三角形函数的应用，根据三角形内结合题意可得，再根据，得到，利用角的正弦即可得出结论． 【详解】解：， 又，即， 可得， 所对的边分别为， ， ， ，， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且、相交于点O，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，，证明是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】如图，连接，， 根据题意，得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）在中，若，则的余角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和，余角的计算；根据“几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零”先由余弦值和正切值求得，，再由三角形内角和求得，再计算余角即可； 【详解】解：∵一个数的绝对值和平方都是非负数， ∴，， ∴，， ∴， ∴的余角=， 故选： B． 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则的值为（    ）    A．48 B． C． D．36 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k,即。也考查了相似三角形的判定与性质及特殊角的三角函数值． 作轴于点C，作轴于点D，如图，证明，利用相似三角形的性质得到，利用反比例函数k的几何意义得到，从而解绝对值方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D. 则， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴.    二、填空题 6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，熟练掌握公式，熟记特殊角的函数值是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，先进行平方差公式，二次根式的除法，特殊角的三角函数值的运算，再合并同类二次根式即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：1． 8．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，已知，，，则 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形以及利用含直角三角形求边长，过点A作交与点D，由已知条件利用三角函数求出，再利用含直角三角形直接求出． 【详解】解：过点A作交与点D．    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解特殊角的三角函数值，根据网格求出三角形的三边，得到是等腰直角三角形，再进行求解． 【详解】解：由勾股定理可得， ，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·山西·阶段练习）有下列几个数：，0，，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、解一元二次方程、简单的概率计算，先根据特殊角的三角函数值求解各数，再解一元二次方程，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：，， 解一元二次方程得， 即5和是一元二次方程的根， ∴从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，在菱形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及含特殊角的三角函数的计算．由四边形为菱形，，可得出，，，进一步可求出，则根据特殊三角函数可求出以及． 【详解】解：设与交于点O，如下图： ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形的对角线相交于点于点，且，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 由矩形的性质和已知条件证得是等边三角形，得的度数即可求得结果。 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即是等边三角形， ， 的正弦值， 故答案为： 三、解答题 13．（2024·黑龙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，先化简分式，再计算出的值代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解䈉此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 首先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． ( 25 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$