2.4用因式分解法求解一元二次方程（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.4用因式分解法求解一元二次方程（七大题型提分练） 题型一、用因式分解法解方程 1．（23-24九年级·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 题型二、用指定方法解方程 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 5．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 6．（23-24九年级·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 题型三、用适当的方法解方程 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）（方程解法的应用）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)； (3)． 题型四、用因式分解法解含绝对值的方程 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）方程 的解是 ． 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程有两个解，则实数m的取值范围是： ． 12．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 题型五、因式分解法与三角形问题 13．（2024九年级·全国·竞赛）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 14．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为5，则m的值为 ． 15．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 题型六、一元二次方程的新定义问题 16．（23-24九年级·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 17．（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）若实数，，我们规定，如． （1）的结果是 （2）若，则的值为 18．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 题型七 、用换元法解方程 19．（23-24九年级·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 20．（23-24九年级·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 21．（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 3．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（    ） A．1或2 B．2或 C．或 D．0或3 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）有个依次排列的整式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①当时，第3项为25；②若第5项与第6项之和为41，则； ③当时，； 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的较大的根是 ． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为 8．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 9．（2023·贵州黔东南·一模）解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 10．（2024九年级·全国·竞赛）若方程和有公共的实数根，则的值有 个． 三、解答题 11．（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 13．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4用因式分解法求解一元二次方程（七大题型提分练） 题型一、用因式分解法解方程 1．（23-24九年级·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （2）原方程可变形为， 即， 所以． （3）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （4）原方程可变形为， 即， 或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可； （2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可； （3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得． 于是，， 解得，； （2） 移项，得， 因式分解，得，于是，， 解得，； （3） 因式分解，得， 于是，， 解得，． 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法． 题型二、用指定方法解方程 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 5．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 6．（23-24九年级·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法、直接开平方法、配方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型三、用适当的方法解方程 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据因式分解法进行求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ； ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解； （2）原方程利用公式法求解； （3）原方程利用因式分解法求解； （4）原方程利用配方法求解． 【详解】（1）两边开平方得：， ∴， ∴，． （2）∵，，，， ∴， ∴，． （3）原方程即为， ∴， 即， 则，， ∴，． （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点、灵活选用解方程的方法是关键． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）（方程解法的应用）用适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用求根公式法求解即可； （3）用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴或 ∴， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， （3）解：∵ ∴ ∴， ∴， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 题型四、用因式分解法解含绝对值的方程 10．（23-24九年级上·江苏南京·期末）方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，分和两种情况，去绝对值，再解方程即可． 【详解】解：当时，变形为， 即， 解得（舍）； 当时，变形为， 即， 解得（舍）； 综上可知，的解是． 故答案为：． 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程有两个解，则实数m的取值范围是： ． 【答案】或/或 【分析】本题考查绝对值方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法，绝对值方程的解法，判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．分三种情况讨论：当时；当时；当，由此可求m的取值范围． 【详解】解：①当时，， 解得或； ②当时，方程无解； ③当时，或， 当时，，， 当时，，， ∵方程有两个解， ∴当时，∴， ∴当时，∴（舍去）， 综上所述：当或时，方程有两个解， 故答案为：或． 12．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 题型五、因式分解法与三角形问题 13．（2024九年级·全国·竞赛）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．将看作整体解方程得或（舍），从而得出，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或（舍）， 则， ∴这个直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为5，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法，可求出原方程的两个实数根，情况讨论：当两个根相等时，求出m的值；当两个根不相等时，求出m的值，再讨论三角形三边关系求出最终m的值． 【详解】解析：由题意，， 解得，． ①当关于x的一元二次方程有两个相等的实数根时，， ∵的周长为5， ∴三角形第三边为3， ∵， ∴1，1，3不能组成三角形， ∴不符合题意，舍去． ②当关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根时， ∵的周长为5， ∴三角形第三边为， ∵， ∴1，2，2能组成三角形． 综上所述，m的值为2． 故答案为：2 15．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为12或3 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 （2）∵，即 解得： 当为直角边时，，解得： 当为斜边时，，解得：（不合题意，舍） 综上：k的值为12或3 题型六、一元二次方程的新定义问题 16．（23-24九年级·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 17．（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）若实数，，我们规定，如． （1）的结果是 （2）若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，正确理解新规定的运算是解题的关键． （1）根据新规定的运算结合二次根式的运算法则计算即可； （2）根据新规定的运算列出方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）由题意得： （2）由题意得： 整理得： 解得： 故答案为：； 18．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 【答案】(1) (2)5 (3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提． （1）根据提供的方法进行计算即可； （2）解方程得到，根据提供的方法得到，再把代入计算即可． （2）根据提供的方法得到，即，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴ ； （3）解：由题意得， 即， 整理得， 解得，． 题型七 、用换元法解方程 19．（23-24九年级·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 20．（23-24九年级·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 21．（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)；；； (2)， 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； （1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； （2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可； 【详解】（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． （2）设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验：，是原方程的解． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， 当腰长为3时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为； 当腰长为4时，则底边长为3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为， 综上所述，的周长为10或11， 故选D． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 【答案】A 【分析】此题考查了无理方程和一元二次方程的解法，根据题意求出，把原方程转化为，因式分解法解一元二次方程，并舍去不合题意的根即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ， 方程两边平方得到， 则， 即， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴方程的根为， 故选：A 3．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（    ） A．1或2 B．2或 C．或 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查了了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入得出，将代入得出，得出关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 得：， 解得：， 故选：D． 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 分别利用解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙的解法错误，移项时未变号解法错误， 丙就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误；； 丁利用解一元二次方程-配方法，计算正确； 故选：D． 5．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）有个依次排列的整式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①当时，第3项为25； ②若第5项与第6项之和为41，则； ③当时，； 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，能用含n的代数式表示是解题的关键．依次求出，…，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； 整式的第3项为：； ； 整式的第4项为：； … 所以（n为正整数）， 整式的第n项为：， 当时， ， 故①正确． ， 解得或， 故②错误． 当时， ， 故③正确． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的较大的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，即可判定求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的较大的根是， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法化为一元二次方程是解题的关键；设，则原方程可化为，再利用因式分解法解方程即可得到答案； 【详解】解；设，则原方程可化为， 整理得， 解得（舍去）或， ， 故答案为：1． 8．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．把原方程变形为，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴或， 解得：． 故答案为： 9．（2023·贵州黔东南·一模）解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【答案】二 【分析】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可． 【详解】解：不正确． 正确的解答过程如下：， ⋯第一步， ⋯第二步 则或， 解得，， ∴第二步出错， 故答案为：二． 10．（2024九年级·全国·竞赛）若方程和有公共的实数根，则的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，把方程和相加得，因式分解得到，进而得到，得到，再把代入方程解答即可求解，通过因式分解把方程转化为是解题的关键． 【详解】解：把方程和相加得， ， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， 或， 解得或， 即的值共有个， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 13．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． ( 31 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$