精品解析：北京市门头沟区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024北京门头沟初一（下）期末 数学 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的， 故选：C． 2. 下列实数中，无理数是（　） A. B. C. 3.14159 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数的概念逐项判断即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 3. 以下调查中，适宜全面调查是（　） A. 了解北京市居民五一假期的出行方式 B. 调查某品牌手机的市场占有率 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 检测永定河水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似的特点逐项判断解答即可． 【详解】解：A、了解北京市居民五一假期的出行方式，适宜抽样调查，不符合题意； B、调查某品牌手机的市场占有率，适宜抽样调查，不符合题意； C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，适宜全面调查，符合题意； D、检测永定河水质情况，适宜抽样调查，不符合题意； 故选：C． 4. 下列图形中，由，能得到的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、的对角与大小相同且与是同位角，所以可以得到，故本选项符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、只能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如果，下列变形正确的是 （　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质，即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项符合题意； C．∵， ∴，故本选项不合题意； D．∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一个“官兵分布”问题：一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数？译文：今有官和兵共1000人，分1000疋布，1个官分4疋，4个兵分1疋，刚好分完，请问官和兵各几人?（疋：量词．同匹，用于计量整卷的绸布或计量马、骡等）如果设官x人，兵y人，根据题意，可列方程组为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据官、兵人数及所分布的总疋数，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵官、兵共1000人， ∴； ∵1官分4疋，4兵分1疋，且共分1000疋布， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 7. 为贯彻全民健身理念，提升学生的身体素质，学校开展了“红色路线健康行”的徒步活动．如图是利用平面直角坐标系画出的徒步路线上主要地点的大致分布图．这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，如果表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，那么表示下岭口的点的坐标是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点坐标得出原点位置是解题关键．直接利用一线天和枯树林的位置进而确定原点的位置．建立平面直角坐标系，再找出下岭口的点的坐标，即可解题． 【详解】解：表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，正东、正北方向为x轴，y轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如下： 表示下岭口的点的坐标是， 故选：A． 8. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④ 【详解】解：①当时，， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②正确； ③方程组中的两个方程相加得， ， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 故④不正确， 综上，正确结论是①②③， 故选：C 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】只有符号不同的两个数互为相反数， 由此可得的相反数是-， 故答案为：-. 11. 把方程写成用含x的式子表示y的形式______． 【答案】## 【解析】 【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝3x﹣1． 【详解】解：∵2x﹣y＝5， ∴﹣y＝1﹣3x， ∴y＝3x﹣1， 故答案为：y＝3x﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键． 12. 如图，直线，相交于点O，射线，垂足为O.如果，那么______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角性质，解题的关键在于领会由垂直得直角这一要点．根据垂直的定义求出，进而得到，再利用对顶角性质求解，即可解题． 【详解】解：射线， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 可以用一个a的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟知这些知识点是解题的关键．根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 所以可作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，是村庄P到公路l的三条路线，其中路线公路l，这三条路线中最短的路线是______，理由是______________________． 【答案】 ①. PB ②. 垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，选择路线才能使路线最短，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短，． 15. 在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，且点P到x轴的距离是2，写出一个符合条件的点P的坐标：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征．根据题意得到点P的纵坐标为2，点P的横坐标为负，即可解题． 【详解】解：点P在第二象限，且点P到x轴的距离是2， 点P的纵坐标为2，点P的横坐标为负， 符合条件的点P的坐标为：， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为，长为， 故小长方形的周长为：， 故答案为：8． 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算出各项的结果后再进行加减运算即可 详解】解： 18. 解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1求得，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为得：． 在数轴上表示解集如下： 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据加减消元进行求解方程组即可． 【详解】解：， ①②得， 解得：， 把代入①解得：， ∴原方程组的解为． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为1，2，3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集是． 它的所有整数解为1，2，3． 21. 如图，，直线l与，分别交于点E，F，平分交于M， 已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，邻补角性质，以及平行线的性质；首先根据邻补角性质得到，利用平行线的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， 平分交于M， ， ， ． 22. 下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解方程组： 解：，得：③， …………第一步 ，得：， …………第二步 解得：． …………第三步 把代入①，得：， …………第四步 解得：． …………第五步 ∴原方程组的解为． …………第六步 （1）这种解二元一次方程组的方法是________________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，小林同学从第___________步开始出现错误； （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）加减消元法，二 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． （1）根据解方程组步骤的特点判断和分析即可． （2）按照解二元一次方程组步骤求解即可 【小问1详解】 解：由题干中解方程的方法可得这种求解二元一次方程组的方法叫加减消元法，以上求解步骤中从第二步消元过程中，合并时加减出现错误， 故答案为：加减消元法，二； 【小问2详解】 解：，得： ③ ，得：， 解得：． 把代入①，得：， 解得：． ∴原方程组的解为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是．将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度后得到三角形，其中点，O，分别为点A，B，C的对应点． （1） _________， _________； （2）在图中画出三角形，并求三角形的面积； （3）将线段沿某个方向平移后得到线段，点A的对应点为，那么点C的对应点F的坐标为________________（用含a的式子表示）． 【答案】（1）2；1 （2）见解析；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点O为点B的对应点可知，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可；利用三角形的面积公式计算三角形的面积即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵点O为点B的对应点， ∴先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形， ∴． 故答案为：2；1． 【小问2详解】 解： 如图，三角形即为所求． 三角形的面积为． 【小问3详解】 解：∵点A的对应点为， ∴点C的对应点F的纵坐标为，横坐标为， ∴点C的对应点F的坐标为． 故答案为：． 24. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴_______（________________________）． ∴_______（______________________）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（_______________________）． 【答案】，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 先由同位角相等推出，根据平行线的性质得到，然后由，根据等量代换可得：，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得到． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 25. 6月5日是世界环境日，为增强学生的环保意识，某学校开展了“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况，调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调研，从该校七年级随机抽取_______名学生进行调查； （2）表中________， ________，第3组所对应的扇形的圆心角的度数是________°； （3）补全频数分布直方图； （4）已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有_________人． 【答案】（1） （2），， （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，频数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用第2组人数除以其所占百分比求解，即可解题； （2）利用调查总人数乘以第1组所占百分比，即可得到，利用调查总人数减去其余组人数，即可得到，利用乘以第3组人数所占比，即可解题； （3）根据（2）中数据补全频数分布直方图即可； （4）利用总人数乘以测试成绩不低于80分的人数所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，（人）， 该校七年级随机抽取名学生进行调查； 故答案为：． 【小问2详解】 解：（人）， （人）， 第3组所对应的扇形的圆心角的度数是， 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问4详解】 解：（人）， 估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有人． 故答案为：． 26. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元． （1）求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ （2）该销售店老板计划购进“神舟”和“天宫”两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价定为90元，每个“天宫”模型的售价定为50元．如果该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，那么需最少购进多少个“神舟”模型． 【答案】（1）每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 （2）最少购进40个“神舟”模型 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元，根据“1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元”建立方程组求解，即可解题； （2）设购进m个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型．根据“该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，”建立不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进m个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型． 由题意得：， 解得：． 满足题意的最小整数解为40． 答：最少购进40个“神舟”模型． 27. 已知，直线和相交于点A，点B，C分别在直线，上，且，点D是直线上一动点，连接，过点D作于E，点F在上，且交直线于M． （1）如图1，当点D在线段上时， ① 依题意补全图1； ② 用等式表示，的数量关系，并加以证明； （2）当点D不在线段上时，直接用等式表示，的数量关系，不用证明． 【答案】（1）①见解析；②，见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质，以及角的运算，熟练掌握平行线的性质和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题干条件即可得出、，再根据平行线的性质，即可得出； （2）根据题干考虑两种情况，即D在线段左侧时与D在线段右侧时的情况，再结合平行线的性质即可得出，的数量关系． 【小问1详解】 解：①依题意补全图1如下： ②， 证明：，， ， ， 又， ， 与为邻补角， ， ； 【小问2详解】 解：或，理由如下： 由（1）可知：、， 本题考虑两种情况： ①当点在线段左侧时； ， ， 又， ， ； ②当点在线段右侧时； ， ， 又， ， 与为互补角， ， ； 或． 28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”． （1）在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________； （2）将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________； ②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）A，C，D （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，新定义，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，求出特殊位置时的值．    （1）根据题干中给出的定义判断即可； （2）①先根将点M平移得出坐标然后根据M在y轴上，求出坐标，再根据点是纵高点，求出不等式的解集即可 ②根据时，得出，，然后根据“纵高点”定义，解不等式组的解集即可； 【小问1详解】 ，，符合“纵高点”定义， ，，，不符合“纵高点”定义， ， ，符合“纵高点”定义， ， ，，符合“纵高点”定义， 故答案为：A，C，D 【小问2详解】 点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ， ①M在y轴上， ， 点是纵高点， ， ，， 解得：或； 故答案为：或； ②当时，线段上任意一点都“纵高点”， ，都是“纵高点”， ， 解得：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京门头沟初一（下）期末 数学 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，无理数（　） A. B. C. 3.14159 D. 3. 以下调查中，适宜全面调查的是（　） A. 了解北京市居民五一假期出行方式 B. 调查某品牌手机的市场占有率 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 检测永定河水质情况 4. 下列图形中，由，能得到的是（　） A. B. C. D. 5. 如果，下列变形正确的是 （　） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一个“官兵分布”问题：一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数？译文：今有官和兵共1000人，分1000疋布，1个官分4疋，4个兵分1疋，刚好分完，请问官和兵各几人?（疋：量词．同匹，用于计量整卷的绸布或计量马、骡等）如果设官x人，兵y人，根据题意，可列方程组为（　） A. B. C. D. 7. 为贯彻全民健身理念，提升学生的身体素质，学校开展了“红色路线健康行”的徒步活动．如图是利用平面直角坐标系画出的徒步路线上主要地点的大致分布图．这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，如果表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，那么表示下岭口的点的坐标是（　） A. B. C. D. 8. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 4的平方根是_______． 10. 的相反数是_____． 11. 把方程写成用含x的式子表示y的形式______． 12. 如图，直线，相交于点O，射线，垂足为O.如果，那么______． 13. 可以用一个a的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是______． 14. 如图，是村庄P到公路l的三条路线，其中路线公路l，这三条路线中最短的路线是______，理由是______________________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，且点P到x轴的距离是2，写出一个符合条件的点P的坐标：______． 16. 如图，是由8个形状、大小都相同小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是______． 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式，并在数轴上表示解集． 19. 解方程组：． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 如图，，直线l与，分别交于点E，F，平分交于M， 已知，求的度数． 22. 下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解方程组： 解：，得：③， …………第一步 ，得：， …………第二步 解得：． …………第三步 把代入①，得：， …………第四步 解得：． …………第五步 ∴原方程组的解为． …………第六步 （1）这种解二元一次方程组的方法是________________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，小林同学从第___________步开始出现错误； （2）写出此题正确的解答过程． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是．将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度后得到三角形，其中点，O，分别为点A，B，C的对应点． （1） _________， _________； （2）在图中画出三角形，并求三角形的面积； （3）将线段沿某个方向平移后得到线段，点A的对应点为，那么点C的对应点F的坐标为________________（用含a的式子表示）． 24. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴_______（________________________）． ∴_______（______________________）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（_______________________）． 25. 6月5日是世界环境日，为增强学生环保意识，某学校开展了“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况，调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调研，从该校七年级随机抽取_______名学生进行调查； （2）表中________， ________，第3组所对应的扇形的圆心角的度数是________°； （3）补全频数分布直方图； （4）已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀约有_________人． 26. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元． （1）求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ （2）该销售店老板计划购进“神舟”和“天宫”两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价定为90元，每个“天宫”模型的售价定为50元．如果该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，那么需最少购进多少个“神舟”模型． 27. 已知，直线和相交于点A，点B，C分别在直线，上，且，点D是直线上一动点，连接，过点D作于E，点F在上，且交直线于M． （1）如图1，当点D在线段上时， ① 依题意补全图1； ② 用等式表示，的数量关系，并加以证明； （2）当点D不在线段上时，直接用等式表示，的数量关系，不用证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”． （1）在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________； （2）将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________； ②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$