精品解析：湖南省永州市冷水滩区、零陵区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

冷水滩区2024年上期义务教育学业质量监测 八年级数学 (试题卷) 温馨提示： 1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．共 26小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题 (共 10 个小题，每小题 3 分，共 3 0 分，请将正确选项填涂到答题卡上) 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“谷雨”、 “大雪”、“小满”、、“立夏”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知y轴上一点P到x轴的距离是2，则点P的坐标是（    ） A. 或 B. C. D. 或 3. 如图，在下列给出的条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（   ）     A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列说法正确的是（    ） A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 一次函数都是正比例函数 D. 频数与频率相等 6. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 7. 如图，李明利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：某人从点A出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了48米，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（   ） A. B. C. D. 10. 如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F．使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接，则下列结论：①；②；③．正确的个数有（    ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 (共 8 个小题，每小题 3 分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内) 11. 如图，点在坐标平面内位置如图所示，则点的坐标为___________． 12. 如图，中，，请添加一个条件_____，可得出该四边形是正方形． 13. 如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是______． 14. 若直线向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是_________． 16. 如图，菱形的周长为16，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为_______． 17. 快车与慢车分别从广州、永州两地同时相向出发，匀速而行，快车到达永州后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达广州，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①广州、永州两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇．其中正确的有______．（填序号） 18. 如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在x，y轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长作正方形，点、分别在x，y轴的正半轴上，依次规律作下去，点的坐标为______． 三、解答题 (本大题共 8 个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程) 19. 如图，在平面直角系中，已知的三个顶点坐标分别是A（−3，4），B（−4，2），C（−2，3）． （1）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出关于y轴的对称的，并写出的坐标； （3）求面积． 20. 已知点在一次函数（b为常数）图象上． （1）求b的值； （2）若点在这个一次函数的图象上，求m的值． 21. 如图，点C在线段上，点A、D在同侧，，，且，，求证：． 22. 将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（不完整），其中30~40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同． 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 ______ 50~60 ______ 60~70 ______ ______ 70~80 20 合计 ______ ______ （1）请把表中的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）若该雷达测速要求时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 23. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形OCED菱形； （2）若AD=2CD，菱形OCED面积是20，求线段AC的长． 24. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 25. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进1个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要100元；购进2个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要170元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为50元，每个“天宫”模型的售价为35元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冷水滩区2024年上期义务教育学业质量监测 八年级数学 (试题卷) 温馨提示： 1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．共 26小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题 (共 10 个小题，每小题 3 分，共 3 0 分，请将正确选项填涂到答题卡上) 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“谷雨”、 “大雪”、“小满”、、“立夏”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，已知y轴上一点P到x轴的距离是2，则点P的坐标是（    ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，确定出P的横坐标是解题的关键．根据P的位置，结合题意确定出P坐标即可． 【详解】解：根据题意得：点P的横坐标为0， 点P到x轴的距离是2， 点P的坐标是或， 故选：A． 3. 如图，在下列给出的条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（   ）     A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 4. 若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据所给函数是关于的一次函数，得出的值，进而确定函数解析式，据此可得出一次函数图象不经过的象限．本题考查一次函数的性质及一次函数的定义，根据一次函数的定义求出的值及熟知一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，且， ∴， 则一次函数的解析式为， ∴随的增大而增大，且与轴交于正半轴， ∴一次函数经过第一、二、三象限， 即该函数图象不经过第四象限． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（    ） A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 一次函数都是正比例函数 D. 频数与频率相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，菱形的性质，一次函数的性质，频率与频数，据此依次判断，熟练掌握各知识点是解题的关键 【详解】解：A.两个锐角对应相等的两个直角三角形的边长不一定相等，则不一定全等，故错误； B.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； C.正比例函数都是一次函数，一次函数中时是正比例函数，故错误； D.在频率分布表中，频数之和等于数据总数，频率之和为1，频率是小组频数与总数的比，故错误； 故选：B 6. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A. 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 7. 如图，李明利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：某人从点A出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了48米，则的度数为（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴正多边形的边数为：， 根据多边形的外角和为， ∴则他每次转动θ的角度为：， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 9. 如图，正方形的面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解题是关键．分别求出点在正方形三边时的函数解析式，进而判断图象即可． 【详解】解：正方形的面积为16， ，， 设点运动的路程为，的面积为， 当点边上时，， ； 函数图象随的增大而增大； 当点在边上时，的高恒为4， ； 函数图象为平行于轴的线段； 当点边上时，， ， 函数图象随的增大而减小， 只有B选项图象符合， 故选：B． 10. 如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F．使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接，则下列结论：①；②；③．正确的个数有（    ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，先证明，利用全等三角形的性质进一步即可判定①，再证明，即可进一步判定②③． 【详解】四边形为正方形 ， 在和中 ， ， 又， ，即，则①正确； 平分，， ， 在和中 ， ∴ 即，故②正确 ∵， ， ， ，则③正确； 故①②③正确， 故选：D． 二、填空题 (共 8 个小题，每小题 3 分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内) 11. 如图，点在坐标平面内位置如图所示，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，根据图形即可得到点的坐标，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图，数形结合即可得到点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，中，，请添加一个条件_____，可得出该四边形是正方形． 【答案】 (或 答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴四边形为矩形， ∴添加条件，可以根据一组邻边相等矩形为正方形，得出四边形是正方形． 添加条件，可以根据对角线互相垂直的矩形为正方形，得出四边形是正方形． 故答案为： (或 答案不唯一)． 13. 如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，作于，由角平分线的性质可得，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若直线向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移．先求出平移后的直线解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移4个单位长度后得到直线，且平移后直线经过点， ∴． 故答案为：0 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，根据图象分别求得每个不等式的解集，即可求解，利用数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】解：由图象可知正比例函数与一次函数交于点， 则由图象得的解集为，的解集为， ∴不等式组的解集是 故答案为：． 16. 如图，菱形的周长为16，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，确定点M的位置是解答的关键．连接，，，先得到点B和点D关于对称，进而得到，当B、M、E共线时取等号，即的最小值为的长，利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，结合勾股定理求得长即可． 【详解】解：连接，，， ∵四边形是菱形， ∴、互相垂直平分，即点B和点D关于对称， ∴， ∴，当B、M、E共线时取等号， 即的最小值为的长． ∵菱形的周长为16， ∴，又， ∴是等边三角形，又E为的中点， ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 17. 快车与慢车分别从广州、永州两地同时相向出发，匀速而行，快车到达永州后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达广州，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①广州、永州两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，根据图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，广州、永州两地之间的路程为，故正确； 由题意和图象可得，快车从广州到达永州的时间为， ∵快车按原路原速返回， ∴快车从永州到达广州的时间为， ∴快车往返全程的时间为， ∵快车比慢车晚到达广州， ∴慢车从永州到达广州的时间为， ∴慢车的速度为，故正确； ∵快车从广州到达永州的时间为， ∴快车的速度为， 设出发小时两车第一次相遇， 则， 解得，故错误； 综上，正确的有， 故答案为：． 18. 如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在x，y轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长作正方形，点、分别在x，y轴的正半轴上，依次规律作下去，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，勾股定理．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【详解】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每4次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在第二象限的角平分线上，则点到坐标轴的距离为 ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 (本大题共 8 个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程) 19. 如图，在平面直角系中，已知的三个顶点坐标分别是A（−3，4），B（−4，2），C（−2，3）． （1）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出关于y轴的对称的，并写出的坐标； （3）求面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）将向上平移6个单位长度得到，顺次连接，得到，则即为所求； （2）找到关于y轴的对称点，顺次连接，得到，则即为所求； （3）用正方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解： 【点睛】本题考查了坐标与图形，画平移图形，画轴对称图形，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键． 20. 已知点在一次函数（b为常数）的图象上． （1）求b的值； （2）若点在这个一次函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求函数图象上点的坐标，是解决问题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2）把代入 ，解方程即得． 【小问1详解】 把点的坐标代入一次函数得： ， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得：一次函数的关系式为 ， 把代入得：， 解得：． 21. 如图，点C在线段上，点A、D在的同侧，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则．由，可得，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（不完整），其中30~40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同． 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 ______ 50~60 ______ 60~70 ______ ______ 70~80 20 合计 ______ ______ （1）请把表中的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）若该雷达测速要求时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 【答案】（1）见解析 （2）违章车辆共有76辆 【解析】 【分析】本题主要考查了频数和频率分布表、频数分布直方图，解题的关键是理解题意、求出汽车总数． （1）先求出总数，然后求出相应的频数和频率，补全频数分布直方图即可； （2）求出汽车时速大于等于60千米的汽车辆数即可． 【小问1详解】 解：汽车总数是：（辆）， 的频率是：， 的频数是：（辆）， 的频数是：（辆）， 的频率是：； 表中的数据填写完整如下： 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 50~60 78 60~70 56 70~80 20 总计 200 1 补全频数分布直方图如下： ； 【小问2详解】 解：∵时速不低于60千米即为违章， ∴（辆）， 答：违章车辆共有76辆． 23. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AD=2CD，菱形OCED面积是20，求线段AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，求出OC＝OD，再根据菱形的判定定理得出即可； （2）连接OE交CD于F，根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，求出∠ADC＝∠DFE＝90°，根据平行线的判定得出AD∥OE，根据平行四边形的判定得出四边形AOED是平行四边形，求出AD＝OE，求出OE＝2CD，根据菱形OCED面积是20得出，求出CD，求出AD，再根据勾股定理求出AC即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形 ， ∴OA=OC=，OB=OD=，AC=BD ， ∴OC=OD ， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形 ， 又∵OC=OD， ∴四边形OCED是菱形 ； 【小问2详解】 解：连接OE交CD于F， ∵由（1）可知四边形OCED是菱形， ∴OE⊥CD， ∴∠DFE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠DFE＝90°， ∴AD∥OE， 又∵DE∥AC， ∴四边形AOED是平行四边形， ∴AD＝OE， 又∵AD＝2CD， ∴OE＝2CD， ∵菱形OCED面积是20， ∴S菱形OCED＝， 解得：CD＝（负数舍去）， ∴AD＝， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， ∴AC＝． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的平行和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键． 24. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】（1）2.5小时 （2）符合航行安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【小问1详解】 解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； 【小问2详解】 答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 25. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进1个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要100元；购进2个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要170元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为50元，每个“天宫”模型的售价为35元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 （2）当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为665元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、不等式的应用和一次函数的应用． （1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进m个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为w元，用m表示w，再根据题意求出m的取值范围，最后求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个“神舟”模型进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． 【小问2详解】 设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． 由 ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为665元． 26. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）30 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解； （）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分, ∴，， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 同（1）可证， ∴， 在正方形中，，， 由折叠知，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $