1.1.5 平面直角坐标系中的距离公式（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

1.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 题型一 两点间的距离公式 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 2．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 3．（20-21高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 题型二：两点间的距离求函数最值 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 4．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 . 题型三 点到直线的距离公式辨析 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 题型四 点到直线的公式的应用 1．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 2．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 4．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 题型五 点到直线的距离公式求直线 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 3．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（    ） A． B． C． D． 题型六 点到直线的距离公式中的对称问题 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 4．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 题型七 两条平行直线之间的距离 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 3．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 4．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 题型八 由两条平行直线之间的距离求直线 1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（多选）（23-24高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 4．（21-22高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 题型九 平行直线中的对称问题 1．（23-24高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 3．（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：，则下述正确的是（    ） A．直线l始终过第二象限 B．时，直线l的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．点到直线l的最大距离为 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 题型十 距离公式的应用 1．（多选）（23-24高二上·重庆长寿·阶段练习）对于直线系，，下列说法正确的有（    ） A．存在定点与中的所有直线距离相等 B．中不存在两条互相平行的直线 C．中存在两条互相垂直的直线 D．存在定点不在中的任意一条直线上 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处. (1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围? (2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值. 3．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 4．（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 1．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 2．已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 4．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 5．平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 7．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 9．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 11．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线的距离为 B．已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 13．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 14．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 15．已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 16．五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 题型一 两点间的距离公式 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 【答案】10 【分析】 根据题意，由两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 则两点间的距离为：. 故答案为：10. 2．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以. 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 3．（20-21高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设所求点的坐标为，然后根据题意列方程组可求得结果. 【详解】设所求点的坐标为，则，且， 两式联立解得或， 所以所求点的坐标为或 故选：BC 题型二：两点间的距离求函数最值 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 2．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为动点到定点距离的和，再利用数形结合求解即可． 【详解】解：设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B.    3．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以x's'w'w'c'w'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd'd078sc ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 4．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据，求出，先计算出，从而得到，得到答案. 【详解】因为，所以， ，两边平方得，即， 解得， 故， 则，的最大值为. 故答案为： 题型三 点到直线的距离公式辨析 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 2．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 3．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标. 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 题型四 点到直线的公式的应用 1．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 2．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出动点在与平行且与的距离为2的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值. 【详解】设中的边上的高为， 因为，， 所以， 所以， 所以动点在与平行且与的距离为2的直线上， 如图所示： 作关于直线的对称点，连接， 则的长就是所求的最短距离， 在中， 因为，， 所以， 即的最小值为：. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D. 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B正确； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D错误； 故选：BC. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案； （2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案. 【详解】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 题型五 点到直线的距离公式求直线 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可． 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 3．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断. 【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等， 又的中点为， 则过点的直线为AD选项； 又的斜率为，则B选项符合条件. 故选：ABD 4．（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分直线和直线与直线相交两种情况求解即可． 【详解】由直线经过点，且一个法向量为，可得， 当直线时，则，即； 当直线与直线相交时，则，在直线的两侧， 则，解得或． 故选：AC． 题型六 点到直线的距离公式中的对称问题 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 3．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 4．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先联立直线和的方程求得交点的坐标，再由直线的点斜式方程，即可求解； （2）设点P的对称点，结合点关于直线对称的条件得到，即可求解. 【详解】（1）联立直线和得：，解得，所以， 又过点P的直线的倾斜角为，则过点P的直线的斜率 由点斜式得， 即过点的直线方程为； （2）由（1）知， 由题意设点P的对称点， 则有， 消去m，得．解得， 故实数k的值为. 题型七 两条平行直线之间的距离 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 2．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 3．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 4．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 题型八 由两条平行直线之间的距离求直线 1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 2．（多选）（23-24高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设出直线方程，根据两平行线间距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线的方程为，由题意可得， 解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：BC 3．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案. 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 4．（21-22高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【详解】（1）由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 （2）设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 题型九 平行直线中的对称问题 1．（23-24高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 3．（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：，则下述正确的是（    ） A．直线l始终过第二象限 B．时，直线l的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．点到直线l的最大距离为 【答案】AD 【分析】直线恒过定点，可判断 A选项；时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，可判断B选项；时，直线关于原点的对称直线为，即，可判断C选项；由图分析得，当直线与点和的连线垂直时，点到直线的距离最大，可判断D . 【详解】直线，可变形为，当时，，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 当时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，故B错误； 当时，直线关于原点的对称直线为，即，故C错误；    如图，由图分析得，当直线与点和的连线垂直时，点到直线的距离最大，最大值 为，故D正确.    故选：AD. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 题型十 距离公式的应用 1．（多选）（23-24高二上·重庆长寿·阶段练习）对于直线系，，下列说法正确的有（    ） A．存在定点与中的所有直线距离相等 B．中不存在两条互相平行的直线 C．中存在两条互相垂直的直线 D．存在定点不在中的任意一条直线上 【答案】ACD 【分析】应用点线距离公式知，点到M的距离且该点不在M上，可判断A、D的正误；利用特殊值法可判断B、C的正误. 【详解】A：由M的方程知：点到M的距离为，故正确； B：当有，当有，即存在平行的直线，故错误； C：当有，当有，即存在垂直的直线，故正确； D：显然存在，有，即不在中的任意一条直线上，故正确； 故选：ACD. 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处. (1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围? (2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值. 【答案】(1) (2)120 【分析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得； （2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得. 【详解】（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系， 当时，则轮船返港的直线为， 因为没有触礁危险，所以原点到的距离， 解得. （2）根据题意可得，，点C在直线上，故点C， 设轮船返港的直线是，则， 所以. 当且仅当时取到最小值. 3．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，    设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】/ 【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可. 【详解】设：，圆心为，半径为 点关于的对称点为 则，解得，即 则“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 1．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 2．已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可. 【详解】 如图，由复数的模的几何意义可知， 满足的点的轨迹是以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）. 而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离. 由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大， 为，即的最大值为. 故选：A. 3．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可． 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 4．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式再结合题意可得. 【详解】设动点，曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数， 所以，显然也满足方程，故曲线关于轴对称， 不关于轴、原点对称，且不过原点. 故选：A. 5．平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，， 解得，所以， 故两平行直线间的距离． 故选：C． 6．已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 【答案】B 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 7．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果. 【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D， 因为N在直线上且在第二象限内，设， 则，又，即， 所以，在中，由三角形的面积公式得：， 所以， 在中，，所以， 即， 在中，，即， 解得：，因为N在第二象限内，所以， 所，所以， 故选：A. 8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 9．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 10．（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 【答案】ACD 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确. 【详解】对于，两条直线的方程分别为与， 当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误； 对于，当，则，解得，故正确； 对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案. 【详解】令、分别在直线：与：上， 设AB的中点M的坐标为，则有： ，两式相加得：， 所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能. 故选：CD 12．（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线的距离为 B．已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】利用平行线间的距离公式可得A正确；若截距都为零也符合题意，即B错误；利用两直线平行可得或，即可知C正确；两点式的前提是分母不为零，即D错误. 【详解】对于A，易知两直线平行，所以距离，A正确； 对于B，直线过原点时也满足题意，所以直线方程还可以是，即B错误； 对于C，因为直线与直线平行， 所以，则，解得或， 由取值的结果可得C正确； 对于D，两点式直线方程的前提是，可得D错误. 故选：AC 13．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案. 【详解】设，则由， 因为，所以， 的最小值为点到线段的距离， 的最小值为. 故答案为： 14．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 15．已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. （2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可. 【详解】（1）直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. （2）由这两条直线平行，得，解得， 则直线为， 所以这两条平行线间的距离. 16．五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，在中，直接求解，从而可得点坐标，求出直线的方程，再与直线的方程联立可求出点的坐标，再用两点间的距离公式可求出的长； （2）由于，，从而可求出的值，进而可表示出四边形的面积，再用三角函数的性质求出其最大值. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由，， 所以， 由，得，所以， 又，则，， 在中，， 所以，所以， 所以直线的方程为，化简得， 又直线的方程为，联立，解得， 所以， 所以线段. （2） ， 又，所以， 所以当且仅当时，. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$