数学·2024年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)（含答题卡）

2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1,答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写请楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 注意事项 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3,请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。 5.正确填涂■ 孙 填空题：本大题共有12题，满分54分 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 9 二、选择题：本大题共有4题，满分18分 13.[A][B][C][D]14.[A][B][C][D]15.[A][B][C][D] 16.[A][B[C][D] 三、解答题：本大题共有5题，满分78分 17.(14分) 蕾 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(14分) 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.设全集U-1,2,3,4,5,集合A-2,4,则A 2 ,:0 2.已知函数f(x)一 ,则/(3)一 11.0 3.不等式x2-2x-3<0的解集为 4.已知f(x)一x十a,且f(x)是奇函数,则a= 5.已知a-(2,5),b-(6,),a/b,则的值为 6.在(x十1)*的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x^{}的系数为 & 7.已知抛物线y{}-4x上有一点P到准线的距离为9,那么点P到x轴的距离为 8.某校举办科学竞技比赛,有A,B,C3种题库,A题库有5000道题,B题库有4000道题,C题 库有3000道题,小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题 库的正确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题,正确率是 斑 一n(mER),则实数m为 10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合 中元素个数的最大值为 11.海上有灯塔O,A,B,货船T,如图,已知A在O的正东方向,B在O的正北方向,O到A,B的 距离相等,BTO-16.5*, ATO-37*,则 BOT= .(结果精确到0.1) 班 12.等比数列a.)的首项a>0,公比q1,记I.-x-ylx,y[a,a]U[a,a]),若对任意 正整数n,L.是闭区间,则o的取值范围是 2024·上海卷 第1页(共4页) 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分)每题有目 只有一个正确选项 13.已知沿海地区气温和海水表层温度相关,且样本相关系数为正数,对此描述正确的是 ) A.沿海地区气温高,海水表层温度就高 B.沿海地区气温高,海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度呈下降趋势 14.下列函数中,最小正周期是2x的是 ) A.y-sinz十cos1 B. v-sinxcos C.y-sin②x十cos*x D.y-sin②x-cos{x 15.定义一个集合O,其元素是空间内的点,任取P,P,P0,存在不全为0的实数a,, 使得&.0P+。OP+OP-0(其中O为坐标原点).已知(1,0.0)0,则(0,0,1)Q的 充分条件是 ( ) A.(0,0,0)-Q B.(-1,0,0)Q C.(0.1,0)C2 D.(0,0,-1)CQ 16.已知定义在R上的函数f(x),集合M一{x。l对于任意xE(一,x。),f(x)<f(x。)),在使得 M一[一1,1]的所有f(x)中,下列说法成立的是 ( ) A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x一2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x一一1处取到极小值 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤 17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 如图,在正四校锥P一ABCD中,O为底面ABCD的中心. (1)若AP-5,AD=32,求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积 (2)若AP一AD,E为PB的中点,求直线BD与平面AEC所成角的大小. 2024·上海卷 第2页(共4页 18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 已知函数f(x)-logx(a>0,a关1) (1)若函数f(x)的图象过点(4,2),求不等式f(2x一2)之f(x)的解集; (2)若存在:使得f(x十1),f(ax),f(x十2)依次成等差数列,求实数a的取值范围 19.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分 6分. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中随机抽取 580人,得到日均体育锻炼时长(单位;小时)与学业成绩的数据如表所示; 学业 日均体育锻炼时长/小时 成绩 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少? (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精确到0.1小时) (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关? n(ad-bc)2} 2024·上海卷第3页(共4页) 20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分 8分. 于P,Q两点. (1)若P的离心率为2,求b. (2)若-2 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交P于点R,若AR·AP-1,求的取值范围. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8 分,已知D是R的一个非空子集,=f(x)是定义在D上的函数,对于点M(a,b),函数s(x) -(x-a){}十(f(x)一b){}.若对于P(x,f(x)),满足s(x)在x三x。处取得最小值,则称P是 M的“f最近点”. 最近点”. (2)若D=R,f(x)一e,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”,且直线 MP与曲线y一/(x)在点P处的切线垂直. (3)若D一R,已知y=f(x)是可导的,y一g(x)的定义域为R且函数值恒为正,/ER,M(一 1.f(t)一g(t)),M(t十1,f(t)十g(t)).若对于任意tER,都存在曲线y=f(x)上的一点P 使得P既是M的“f最近点”,又是M。的“f最近点”,试判断y一f(x)的单调性 2024·上海卷 第4页(共4页第2步：构造函数g(,x),并将原问题进行转化 a(1-)=血-a+ ⑧当0<1<是<2<1时， 设g(x)=lnx 若f)<f(,则1f)-f(n)1<F(） 4,x∈(0，十∞)， -f(x2) 则g(.x)≥0恒成立， 又g(1)=0,所以g(1)=0. 由②知， 第3步：求出a的值 ）-m)√-<- 因为g(x)=1-1 所以f(x)-f(x2)<|x1-x27: 所以g1)=1-号=0，解得a=2 若f(x1)>f(x2),则1f(x)-f(x2)|<f(x1) (3)第1步：判断x1=x2的情况 -: 当=n时，/()-fx)1=x1-x产=0. 第2步：判断f(x)的单调性 0知)-（小√-< 当x1≠x2时，不妨设x1<x2 所以f(x1)-f(x2)<|1-x27. 令了x)=nr+1=0,得=所以fx)在(0，)上 若f()=fx2),则1f()-f(r2)1=0.x1-x22> 单洞递减，在（日）上单调递增. 0,故|f(x1)-f(x2)<|x1-x27. 第6步：得出结论 第3步：讨论0<<<的情元 综上可知，x1,x2∈(0,1)，都有f(x1)-f(x2)|<|x x2/ ①当0<1<<时.fa)>fxf)-fg） 2024年普通高等学校招生全国统一考试 =xiln xi-raln x2, (上海卷) 设r)=xhr+,0<x<1,则/(x)=lnx+1+ 2 1.1,3,5〉A=(1,3,5}. 设m()=lnx+1+, 2后0<r<1,则m()= 2.√5因为3>0，所以f(3)=√5 3.(-1,3)由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x 14Wx-1 <3. Ax VE AxVI 4.0通解：因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),即 (-x)3十a=-(x3+a),得a=0. 令m(x)=0,得工=6，所以m()在(0，言）上单洞递 优解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=a=0. 5.15因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 减，在（后）上单洞递增， 6.10由题意得2"=32，所以n=5,则(x十1)5的通项T,+1 所以r)≥（信）=ln言+1+2=lh后>0.所以4() =C5x3-1",令5一r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数 为C学=10. 在(0,1)上单调递增， 7.4v2设P(x0,yo),因为点P到准线x=一1的距离为9， 所以xlnx1+√<x2lnx2+√r2,xlnx1-x2ln2 所以x0十1=9，则x0=8,y后=4.x0=32,则yo=士4V2,即 <√2-√1· 点P到x轴的距离为4W2. 因为（√x2-√）2-(Wc2-x1)2=2x1-21x2= 80.85(支品) 5000 2√x1(E1-√2)<0， A凝库占50十00+800·B随来占 4000 1 3000 所以√c2-√1<√x2一x, 500+400+3000-3,C题库占5000+1000+300 所以riIn x1-x2lnx2<√2-x,即|f(.x1)-f(x2)|< -x2. 子·则所茶概率P是×0.92+号×0.86+×0.72=Q5 第4步：讨论<<<1的精况 9.2解法一：设=1+bi(6∈R且b≠0)，则十2=1十i十 @当。<<<1时fKfx.f)-f川 -1++0-1++(6)加周为 2 1+b2 =x2ln x2-xiln x1 mER,所以b=0,得2=1，所以m=1十， 设h(x)=xlnx-x,0<x<1,则h'(x)=lnx<0, 所以h(x)在(0,1)上单调违减， =2. 所以xlnx1-x1>rzln r?-xg,即x2lnx2一xlnx1< 解法二：由十兰=m得2一m十2=0，解得=m土 r2一T1· 因为1≤x1<x2<1,所以0<x2-1<1,0<2< 8m,依题意得罗=1，解得m=2. 2 1,.x2-r1<W2-x1 10.329由题意可知集合中最多有一个奇数，其余均为偶 数.个位为0的无重复数字的三位正整数有P号=72（个）： 所以x2lnx2-xlnr1<√r2x1,即|f(x1)-f(x2)|< 个位为2,4,6,8的无重复数字的三位正整数有CC8C= 1-x2. 256(个).所以集合中最多有72十256=328（个）偶数，再 第5多：诗论0<<<<1的情况 加上一个奇数，则集合中元素个数的最大值为328+1 =329. 数学答案一14 11.7.8°设∠BOT=0,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由 第2步：求旋转体体积 OT 正孩定理得nO85n6+在△AOT中，由正 .Rt△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面 半径为3，高为4的圆锥， 弦定理得OA OT sin 37= in(37+90-9),0A=0B,.两式 “流转体的体积为V=号×x×32X4=12元 相除得sin37 _sin(37°+90°-0) sin(16.5+0),sin37”sin(16.5°+ (2)第1步：找线面垂直，定线面角 sin16.5° 0)=sin16.5sin(37°+90°-0)，sin0(cos16.5°-sin16. 5)sin 37=cos 0(cos 37-sin 37)sin 16.5,..tan 0= 1 tan 37-1 ≈0.1376，又0为锐角，0=7.8°. tan16.5-1 12.[2,十oo)显然等比数列{am}遁增，不妨设x≥y,若x,y 如图，连接OE, ∈[a1,a2],则x-y∈[0，a2-a1],若x,y∈[am,am+i],则 AP=AD=AB,E为PB的中，点，.PBLAE x-y∈[0，am+1一am],若x∈[an,am+1],y∈[a1,a2],则 同理，PB⊥CE,文AE∩CE=E,AE,CEC平面AEC, r-y∈am-a2,aw+1一d1】, .PB⊥平面AEC, ,∠BOE是BD与平面AEC所成的角. 002-i1aw-24+1-、 第2步：计算线面角的大小 ,对任意正整数n,In都是闭区间，∴am一a2≤an+1一am, 设AP=AD=2,则BO=V2,BE=1, 如图，又41>0，.g"-2g1+9≥0，即g”-2(q-2)+1≥ 在△BPD中，E.0分别为BP,BD的中点，E0=PD 0,对任意正整数n,上式都成立，则必有？≥2. 13.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关 系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层 -2AP-1. 温度呈上升趋势，故选C. 1.A对子A,y=sinx十eosx=Esim(r+平），其最小正 “△BEO是等腰直角三角形，∴∠BOE=,即BD与平 周期为2，A正确：对于By=nrc0sr=sin2,共 面AEC所成角的大小为无 18.解：(1)第1步：代入求a 最小正周期为r,B错误：对于C,y=sin2x十cos2x=1,为 :f(x)的图象过点(4,2)，∴log4=2,解得a=2. 常值函数，不存在最小正周期，C错误：对于D,y=sinx 第2步：研究函数单调性解不等式 一Cosx=一C0s2x,其最小正周期为r,D错误，故选A. ∴f(x)=log2x,显然其在定义域(0，十o∞)上单调递增， 15.C因为存在不全为0的实数A1,2,A3,使得入1OP+入2 (2.x-2>0 OP+A3OP=0,所以OPi,OP,OP共面.只要三点对 由f(2.x-2)<f(x)有x>0,解得1<x<2. 应的向量共面就有(0,0,1)∈D,否则就能得到(0,0,1)任 2.x-2<x 几.对于选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与 .原不等式的解集为{x1<x<2} 任意向量共线，故三，点对应的向量共面，不能推出(0,0， (2)第1步：由等差数列得方程 1)任n,故A错误；对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0） :f(x+1),f（ax),f(x+2)依次成等差数列，.2f(a.x) ∈D,且(1,0,0)，（一1,0,0）两点对应的向量共线，所以 =f(x+1)+f(x+2), (0,0,1)可以属于2，故B错误：对于选项C,显然，(1,0， 2loga (ar)=log (.r+1)+loga (r+2),>0a>>0,a 0),(0,1,0),(0,0,1)三，点对应的向量不共面，故可以推 ≠1， 出(0,0,1)及Ω，故C正确：对于选项D,(0,0,一1)与(0 0,1)两点对应的向量共线，(1,0,0)，(0,0，一1)，(0,0,1) 第2步：通过对数运算分离出a 三点对应的向量共面，故不能推出(0,0,1)任，故D错 即loga(a.x)2=loga[(r+1)(x+2)].由f(x)=logx是 误，故选C 16.B对于A,因为M=[-1,1],所以f(x)<f(1)在( 单调函数得(ax)2=(cx+1)(x+2),得a2=+3r十2 .2 ∞，1)上恒成立，此时f(一1)<f(1)与f(x)是偶函数矛 -1,x<-1 2x()）+3x+1>0. 盾，故A错误：对于B,不妨取f(x)=x,一1≤x≤1，满 第3步：运用函数的单调性求范国 1,x>1 足f(x)在x一2处取到最大值，故B正确：对于C,若存在 设1=，则1>0，a2=2r2+3+1在1>0时有解，设g0) f(x)在R上单调递增，则对任意xg∈R,当x<xo时都有 f(x)<f(xo),则此时M=R,与M=[-1,1]矛盾，故C =212+31+1,则g(1)在(0，十∞)上单调递增，故g(t)> 错误：对于D,若存在f(x)在x=一1处取到极小值，则存 1,即a2>1,得a>1 在一个0>0，对于任意x满足0<r十1<，都有 ∴.a的取值范国是(1，十∞). f-D<f(x,-1-9∈(-1-0，-D,而由-1∈M 19.解：（们）第1步：计算样本中日均体育锻炼时长不小于1小 时的人数抽取的样本中日均体育般炼时长不小于1小时 以及M的合义知f(-1-受)<(-D,与f(-1)< 的人数为42+3+1+137+40+27=250. 第2步：按比例估计人数 f(x)对于任意x满足0x十1|<6矛盾，故D错误.故 设该地区29000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不 选B. 17.解：(1)第1步：利用勾股定理求AO,PO 小于1小时，附8200解得=12500 在正四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，且PO 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小 ⊥底面ABCD,∴.△AOD为等腰直角三角形，又AD= 时的人数约为12500. 3V2,.AO=3, (2)第1步：根据题中表格数据计算该地区初中学生日均 AP=5,..PO=VAP2-AO=4. 体育锻炼时长 数学答案一15 依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25X 因为A1R=(-xg十1，-y2),A2P=(x1-1,y1), 139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷ 580=540÷580≈0.9. 由A1求.A2P=1,得(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1, 第2步：作答 所以(x2一1)(x1一1)+y1y2=-1,即(my2-3) 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时. (my1-3)+y1y2=-1, (3)第1步：写出2×2列联表 整理，得(n2+1)y1y2-3m(y1十y2)十10=0， 对数据重新组合，得到2X2列联表 3b2 4b2m+10=0 日均体育锻炼时长/小时 所以(m2+D·m-】3m· b2m2-1 学业成绩 [1,2) 其他 合计 娄里：得m+-10=0.降以-4写∈(o,号] 优秀 45 50 95 第4步：根据m的取值范国求出b的取值范国 不优秀 177 308 485 +336得3，所以6 又m≠，所以≠10=10 1 合计 222 358 580 第2步：代入公式计算 0.3u]又>0 提出原假设H。:学业成绩优秀与日均体有锻炼时长不小 于1小时且小于2小时无关 故6的取位花周是0vU(,] 确定显著性水平《=0.05，P(x2≥3.841)≈0.05， 21.解：(1)第1步：利用基本不等式求s(x)的最小值 X-580X45X30877X50 95×485×222×358 -≈3.976>3.841 因为函数∫(x)=1 ,x∈(0，十o∞)，M(0,0). 第3步：得结论 原假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与 所以)=一0m2+(任-0)=2+≥2， 日均体育镜炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 第2步：根据等号成立的条件求点P的坐标 20.解：(1)第1步：由双曲线的方程求a 由双曲线的方程知a=1, 当卫当2-之>0，即=1时 第2步：由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b s(x)取得最小值2，f1)=1,所以P(1,1), c=V1+6, 故对于点M(0,0),存在点P(1,1),使得P是M的“∫最 因为离心率为2，所以二-中-2，得6=3 近点” 1 (2)第1步：求s(x)与(x) (2)第1步：求出等腰三角形MA2P的腰长 因为函数f(x)=e,M(1,0),所以s(x)=(x一1)2+e2r, 当-25时双南线-3等-1且A1,0. 则(x)=2(x-1)+2e2 8 第2步：讨论s(x)的单调性，求出其最小值，得到“∫最近 因为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角。 点” 又△MA2P为等腰三角形，所以|A2P|=|A2M=3. 记n(x)=s'(x)=2(x-1)+2e2r,则m'(.x)=2+4e2r> 第2步：由点在双曲线上与两点间距离公式求点P的 O,所以m(x)在R上严格单调递增， 坐标 因为m(0)=s(0)=0, 设点P(x0,y%),且x0>0,yo>0, 所以当x<0时，m(x)=x(x)<0;当x>0时，m(x) W(.co-1)2+%=3 s'(x)>0. 6-36-1 所以x(x)在（一∞，0）上严格单调递减，在(0，十∞)上严 格单调递增， 8 因此当x=0时，s(x)取到最小值， w=2V2所以P(2,2v@. 又f(0)=e°-1，所以，点M的“f最近点”为P(0,1). 第3步：利用导数的几何意义求切线斜率，根据两直线垂 (3)第1步：设出相关点的坐标 直建立方程 由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q, R关于原点对称」 为判断直线MP与曲线y=f(x)在点P处的切线是否垂 直，可另设P(k,e),则由f'(x)=e',知在P(k,e)处的 设P(x1y1),Q(x2,yg),则R(-x2,一yg). 第2步：设出直线PQ的方程，与双曲线方程联立，写出根 切线I的斜率为e, 与系数的关系 设直线PQ的方程为x=my一2. 南题老如PL,国先台岩昌-一，参理样十e- k-1 =0. (=my-2 联立直线与双曲线的方程得 第4步：构造函数，根据函数的单调性求出点P的坐标 令h(k)=k十e一1，易知h(k)在R上严格单调递增， (m2-1)y2-46my+362=0,且b2n2-1≠0，即m 又h(0)=0,所以方程k+e2-1=0有唯一解k=0,所以 点P(0,1). 综上，存在满足条件的一个点P(0,1) (3)解法一： 由根与系数的关系，得y1十归m2一 4b2m 设/)=-+1)2+(x)-f)+g)2 362 61D+()-0-gg由条件，对 1业=m2-1 任意1ER,存在P(xo,f(xa),使得x0同时是s1(x)和 第3步：由向量的数量积运算求m,b的关系式 s2(x)的最小值点. 数学答案一16 于是，对任意x∈R, s1(x0)≤s1(x) 2024年普通高等学校招生全国统一考试 z(xo)≤s2(x)1 (全国甲卷) (x0-1+1)2+(f(x0)-f()+g(t)2≤ (x-t+1)2+(f(x)-f(t)+g(t)2 1.A因为x=5十i,所以=5-i,所以i(十≈)=10i,故 即 (0-1-1)2+(f(x0)-fu)-g()2)≤1 进A. (x-1-1)2+(f(x)-f()-g(t)2 2.DB=(1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4.9},则C4(A∩B) 特别地，当x=1时， =(2,3,5}.故选D. (.xo-t+1)2+(f(.x0)-ft)+g()2 3.D根据不等式组，画出可行域如图所示，作出直线x一5y ≤1+g2() =0并平移，则当平移后的直线过点A时，：取得最小值， 3 (x0-1-1)2+(f(.xw)-f(t)-g(t) ≤1+g(1) 由80得二，所以A()所以 /4.x-3y-3=0 y=1 两式相加，得(xo一t)2+(fxo)-f(t)2≤0. 3 7 所以x0=1, 2 -5×1=- 故选D 另一方面，求导得 4x-3y-3=0 1(x)=2(x-1+1)+2(f(x)-f()+ g())f(x) x-2y-2= 2(x)=2(.x-t-1)+2(f(.x)-f()- x-51=0 g(t))f() 因为s(x)(i=1,2)的最小值点也是极小值点， 所以s1(x0)=0,s2(x0)=0, 2x+60y-9=0 中18+8r 4.B 由S,=S10,得5(a1十a2_10(a1+a1 两式相减，得g(t)f(x0)=一1. 2 2 0,所以5ag= 代入x0=1,并由g(1)>0,得f(1)= gO<0,1∈R 1 5a+a0,所以u=0,公差4=g号=-号，所以a1 8-5 所以f(x)在R上严格单调递减。 解法二：第1步：先证MP⊥l ad=1-4x(号)）子故选以 先证明一个结论：对于M(a,b),设P(x0,f(xo)为M的 5.C解法一（方程组法）根据焦点坐标可知c=4,根据焦 “f最近点”，曲线y=f(x)在，点P处的切线为l,则MP⊥L 证明： 点在y轴上，可设双南我的方程为兰一茶-1>0.6心 因为s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,所以￥'(x)=2.x-2a 十2f(x)(f(x)一b),所以当x(x)在x=xa处取得最小值 0,9票-1 得 /a=2 (a2+b2=16 b=23所以离心率e==2. 时，s(x0)=0,即x0一a十f(x0)(f(xo）-b)=0, 所以)-b 1 解法二（定义法）根据双曲线的定义，得2a ro-a f(ro)' W(-6-0)2+(4-4)2-√(-6-0)2+(4+4)21= 又直线MP的斜率kp=fo)- ,且切线1的斜率为k 16-10=4, xo-a =f(o),所以kp·=o)-b 根据焦点坐标可知(=4，所以离心率一二=是=2 ro-a f(xo)=一了(x0) 6.Af(x)= ·f(x0)=-1, (e+2sx1+r2)-（e+2m·2红，所以/(0)=3，所 所以MP⊥， (1+x2)2 第2步：证明线段MM2的中点N与点P重合 以曲线y=f(x)在，点(0,1)处的切线方程为y一1=3(x 图为t∈R,M1(1-1,f(t)-g(t),M2(t+1,f(t)+ 0),即3.x一y十1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)， g()),存在对应的点P使得|M1P|2为M1到曲线y (言0)，所以切线与两坐标轴所国成的三肩彩的面软 f(x)的距离平方的最小值，|M2P|2为M2到曲线y f(x)的距离平方的最小值，连接M1M,因为M1(t一1， f(t)-g(t)),M(1+1,f(t)+g(t)), 7,B排除法。由题知函教f(x)的定义城为R,关于原点对 所以设线段MM2的中点为N,则N(1,f(t)),则点N在 称，f(-x)=-(-x)2+(er-er)sin(-x)=-x2+(e 曲线y=f(x)上. 一er)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，函数图象关 若M1,M2到曲线y=f(x)的距离最小时对应的点P与 点N不重合，则|MP<MN|.M2P|<|M2N|, 于y轴对称，兼除A.Cf)=-1+(e-)im1>-1 所以|MP|+|M2P|<1M1N|+|M2N1=|M1M2|. 这与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以点P与点N 十(e-)m吾=-1计号。>0，排除D故选B 必重合. 第3步：用结论判断f(x)的单调性 B格据随意有-复即1一m&-号所以 cos a 又直线MM:的斜率为MM=29=g)>0,k= 2 2③ f(1).所以由k1M·k=g()·了(t)=kMp·k1=一1< tan a=1- 23=28 0,知了(1)<0，所以当1∈R时，有广(1)<0，所以函数 3 f(x)在R上严格单调递减. 一1，故选B. 数学答案一17