第3章 教考衔接4 方法探究、素养呈现 离心率的求法(课件PPT)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

教考衔接4　方法探究、素养呈现 离心率的求法 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 谢谢观看 教考衔接4　方法探究、素养呈现　离心率的求法 1 一、真题展示 1．(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为(　　) A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3) 2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up14(→))⊥eq \o(F1B,\s\up14(→))，eq \o(F2A,\s\up14(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up14(→))，则C的离心率为________． 二、真题溯源 (教科书第128页习题第12题)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于eq \f(2\r(5),5)，求e1和e2的取值范围． 三、类法探究 圆锥曲线离心率问题 (1)求离心率的值：求离心率的值关键是找到a与c的等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率．建立等式关系的常用思路：①利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而求解；②利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解． (2)求离心率的范围：求离心率的范围关键是找到a与c的不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围． ①题目中点的横坐标或者纵坐标有取值范围，如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用a，b，c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；②若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；③通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率； (3)由离心率求参数的范围：由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围． 技法一　定义法 　(1)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5) C．eq \f(5,4) D．eq \f(5,3) (2)设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　) A．eq \f(\r(7),14) B．eq \f(\r(7),7) C．eq \f(2\r(7),7) D．eq \f(3\r(7),14) [自主解答]　(1)因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4，所以离心率e＝eq \f(5,4). (2)因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)， |MF1|＝|F1F2|，即eq \r(4b2＋c2)＝2c， 即4b2＋c2＝4c2,4a2＝7c2，e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(4,7)，故e＝eq \f(2\r(7),7). [答案]　(1)C　(2)C 技法二　几何法 　已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为(　　) A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(15),5) D．eq \f(\r(21),7) [自主解答]　由题意， 可将点P的坐标代入椭圆C的方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(|PF2|2,b2)＝1， 解得|PF2|＝eq \f(b2,a). 如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E， 设Q(x0，y0)， 根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1， ∵eq \f(|PF1|,|F1Q|)＝4，∴eq \f(|F1F2|,|EF1|)＝eq \f(|PF2|,|QE|)＝4， ∴|EF1|＝eq \f(|F1F2|,4)＝eq \f(2c,4)＝eq \f(c,2)，∴x0＝－c－eq \f(c,2)＝－eq \f(3c,2). 又y0＝－|QE|＝－eq \f(|PF2|,4)＝－eq \f(b2,4a)， ∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3c,2)，－\f(b2,4a)))， 将点Q的坐标代入椭圆方程，得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(b2,16a2)＝1. 结合b2＝a2－c2，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(21),7). [答案]　D 技法三　寻求齐次方程(不等式)求离心率 　(1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是双曲线的另一个焦点．若∠PF1Q＝eq \f(π,2)，则双曲线的离心率e等于(　　) A．eq \r(2)－1 B．eq \r(2) C．eq \r(2)＋1 D．eq \r(2)＋2 (2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac<0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________． [自主解答]　(1)由题意可知|PF2|＝eq \f(b2,a)，|F1F2|＝2c.因为∠PF1Q＝eq \f(π,2)，所以|PF2|＝|F1F2|，所以eq \f(b2,a)＝2c，即c2－a2＝2ac，等式两边同除以a2，得e2－1＝2e，即e2－2e－1＝0. 解得e＝eq \r(2)＋1或e＝1－eq \r(2)(舍去)． (2)∵c2－b2＋ac<0，∴c2－(a2－c2)＋ac<0，即2c2－a2＋ac<0，∴eq \f(2c2,a2)－1＋eq \f(c,a)<0，即2e2＋e－1<0，解得－1<e<eq \f(1,2). 又0<e<1， ∴0<e<eq \f(1,2)，∴椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). [答案]　(1)C　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) [跟踪训练] 1．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 解析　如图，由题意知|AB|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq \f(2b2,a)＝3×2c， 即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac， 两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(负值舍去)． 答案　2 2．设点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的取值范围为________． 解析　由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a. 又易知|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即eq \f(8,3)a＋eq \f(2,3)a≥2c，所以eq \f(5,3)a≥c，则eq \f(c,a)≤eq \f(5,3). 又e>1，所以1<e≤eq \f(5,3). 答案　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) $$