3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(课件PPT)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 2b 2a 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 x轴、y轴 原点 (0,1) 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 接近1 接近0 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 学业标准 素养目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重点、难点) 4．会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 导学　椭圆的范围、对称性、顶点 已知椭圆方程，讨论椭圆性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ [提示] 椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式. 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示] 由eq \f(x2,a2)≤1，eq \f(y2,b2)≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. 对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ [提示] 相同点：两图长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． 椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ [提示] 椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ◎结论形成 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 　eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1　(a＞b＞0) 　eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1　(a＞b＞0) 范围 _________________________ _________________________ 顶点 _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ 轴长 短轴长＝________，长轴长＝________ 焦点 (±eq \r(a2－b2)，0) (0，±eq \r(a2－b2)) 焦距 |F1F2|＝　2eq \r(a2－b2)　 对称性 对称轴：____________　对称中心：_______ 离心率 e＝_______∈__________ eq \f(c,a) 2．离心率的作用 当椭圆的离心率越__________，椭圆越扁平；当椭圆离心率越__________，椭圆越接近于圆． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.(　　) (4)设F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　　) 解析　(1)×.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a. (2)×.离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆． (3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或者eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1. (4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤3，|y|≤5 B．|x|≤eq \f(1,3)，|y|≤eq \f(1,5) C．|x|≤5，|y|≤3 D．|x|≤eq \f(1,5)，|y|≤eq \f(1,3) 解析　椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，故|x|≤5，|y|≤3. 答案　C 3．(多选)对于椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，下面说法正确的是(　　) A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为eq \f(1,2) D．焦距为2 解析　椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，其中a＝eq \r(4)＝2，b＝eq \r(3)，则c＝eq \r(a2－b2)＝1，则其长轴长2a＝4.短轴长2b＝2eq \r(3)，焦距2c＝2，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).故选CD． 答案　CD 4．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(6) 解析　由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \o\al(2,2)＝3eeq \o\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1， 所以a＝eq \f(2\r(3),3).故选A． 答案　A 题型一　根据椭圆的方程研究其几何性质 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [自主解答]　由已知得eq \f(x2,\f(1,m2))＋eq \f(y2,\f(1,4m2))＝1(m＞0)，因为0＜m2＜4m2，所以eq \f(1,m2)＞eq \f(1,4m2)，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝eq \f(1,m)，短半轴长b＝eq \f(1,2m)，半焦距c＝eq \f(\r(3),2m)，所以椭圆的长轴长2a＝eq \f(2,m)，短轴长2b＝eq \f(1,m)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2m)，0))，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2m))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2m)))，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq \f(\r(3),2). 研究椭圆几何性质的步骤 一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式． 二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． 三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)， 两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　椭圆的离心率 一题多解　一题多变 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A．eq \f(\r(3),6)　　　　　　　　 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3) [自主解答]　解法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝eq \f(\r(3),3). 解法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq \f(b2,a)，所以|PF2|＝eq \f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，故2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，变形可得eq \r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq \r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)． [答案]　D [母题变式] 1．(变条件)若将例2中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求椭圆C的离心率． 解析　在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c， 椭圆的长轴长为2a， 则在△PF1F2中，有eq \f(m,sin 75°)＝eq \f(n,sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)， ∴eq \f(m＋n,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(sin 60°,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2). 2．(变条件、变结论)若将例2中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围． 解析　由题意，知c＞b， ∴c2＞b2.又b2＝a2－c2， ∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.∴e2＝eq \f(c2,a2)＞eq \f(1,2)， ∴e＞eq \f(\r(2),2). 故椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). [素养聚焦] 本题通过考查椭圆离心率的求法和离心率的取值范围的求法，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 求椭圆离心率的两种常见思路 (1)一是先求a，c，再计算e. (2)二是依据条件中的关系，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解(注意e的范围是0＜e＜1)． [触类旁通] 2．(1)(多选)为使椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，正数m的值可以是(　　) A．1 B．eq \r(3) C．eq \f(8,3) D．eq \f(3,2) 解析　当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m， 所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(2－m,2)＝eq \f(1,4)， 解得m＝eq \f(3,2)，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(m－2,m)＝eq \f(1,4)， 解得m＝eq \f(8,3)，符合题意． 故正数m的值可以是eq \f(3,2)或eq \f(8,3). 答案　CD (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 解析　依题意可得2c≥2b，即c≥b， 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2)，又0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 题型三　由椭圆的几何性质求椭圆的方程 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 (2)离心率e＝eq \f(2,3)，焦距2c＝16的椭圆的标准方程为________________． [自主解答]　(1)设椭圆的短轴长为2b(b＞0)， 长轴长为2a，则2a＋2b＝18， 又因为一个焦点的坐标是(3,0)， 所以椭圆焦点在x轴上，c＝3， 因为c2＝a2－b2，a2－b2＝9，又a＋b＝9， 所以a2＝25，b2＝16， 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. (2)因为椭圆的离心率e＝eq \f(2,3)，焦距2c＝16， 所以c＝8，a＝12，所以b＝eq \r(80)， 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,80)＝1或eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,144)＝1. [答案]　(1)B　(2)eq \f(x2,144)＋eq \f(y2,80)＝1或eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,144)＝1 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [触类旁通] 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 解析　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27， ∴椭圆的方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1,∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1. [知识落实] 由椭圆标准方程研究几何性质、由几何性质求椭圆的标准方程． [技法强化] (1)求椭圆离心率及范围的方法有直接法和方程法，常用分类讨论思想和方程思想． (2)易忽略椭圆离心率的取值范围0<e<1及长轴长与a的关系． $$